Теория импульса элемента лопасти

В этой статье есть несколько проблем. Помогите улучшить ее или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалять эти сообщения ) Для проверки данной статьи необходимы дополнительные цитаты .Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на надежные источники . Материалы без ссылок могут быть оспорены и удалены. Найти источники:  "Теория импульса элемента лезвия" – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( Май 2013 )( Узнайте, как и когда удалить это сообщение ) Эта статья может оказаться слишком сложной для понимания большинством читателей .Пожалуйста, помогите улучшить его, чтобы сделать его понятным для неспециалистов , не удаляя технические детали. ( март 2013 г. )( Узнайте, как и когда удалить это сообщение ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение )

Теория импульса элемента лопасти — это теория, которая объединяет как теорию элемента лопасти , так и теорию импульса . Она используется для расчета локальных сил на лопасти винта или ветряной турбины. Теория элемента лопасти объединяется с теорией импульса, чтобы облегчить некоторые трудности при расчете индуцированных скоростей на роторе.

В этой статье подчеркивается применение теории лопастного элемента к наземным ветряным турбинам, но принципы применимы и к пропеллерам. В то время как площадь трубки потока уменьшается пропеллером, она увеличивается ветряной турбиной. Для любого приложения очень упрощенным, но полезным приближением является модель «импульса» или «диска привода» Ранкина – Фруда (1865, ^[1] 1889 ^[2] ). В этой статье объясняется применение «предела Беца» к эффективности наземной ветряной турбины.

Теория элемента лопасти Фруда (1878) ^[3] представляет собой математический процесс для определения поведения винтов , позднее уточненный Глауэртом (1926). Бец (1921) предоставил приблизительную поправку к теории импульса «привода-диска Рэнкина–Фруда» ^[4] для учета внезапного вращения, придаваемого потоку приводным диском (NACA TN 83, «Теория винтового винта» и NACA TM 491, «Проблемы с винтом»). В теории импульса элемента лопасти угловой момент включен в модель, что означает, что след (воздух после взаимодействия с ротором) имеет угловой момент. То есть воздух начинает вращаться вокруг оси z сразу после взаимодействия с ротором (см. диаграмму ниже). Угловой момент необходимо учитывать, поскольку ротор, который является устройством, извлекающим энергию из ветра, вращается в результате взаимодействия с ветром.

«Предел Беца», еще не использующий вклад Беца в учет вращательного потока с акцентом на пропеллеры, применяет теорию « диска привода » Ренкина-Фруда для получения максимальной эффективности стационарной ветровой турбины. Следующий анализ ограничен осевым движением воздуха:

В нашей трубке потока у нас есть жидкость, текущая слева направо, и диск привода, который представляет ротор. Мы предположим, что ротор бесконечно тонок. ^[5] Сверху мы можем видеть, что в начале трубки потока поток жидкости нормален к диску привода. Жидкость взаимодействует с ротором, тем самым передавая энергию от жидкости ротору. Затем жидкость продолжает течь вниз по течению. Таким образом, мы можем разбить нашу систему/трубку потока на две части: диск до привода и диск после привода. До взаимодействия с ротором полная энергия в жидкости постоянна. Более того, после взаимодействия с ротором полная энергия в жидкости постоянна.

Уравнение Бернулли описывает различные формы энергии, которые присутствуют в потоке жидкости, где чистая энергия постоянна, т.е. когда жидкость не передает никакой энергии какой-либо другой сущности, такой как ротор. Энергия состоит из статического давления , гравитационной потенциальной энергии и кинетической энергии . Математически мы имеем следующее выражение:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\rho v^{2}+P+\rho gh={\text{const.}}}$

где — плотность жидкости, — скорость жидкости вдоль линии тока, — статическая энергия давления, — ускорение силы тяжести, — высота над землей. Для целей этого анализа мы предположим, что гравитационная потенциальная энергия не меняется при течении жидкости слева направо, так что мы имеем следующее:${\displaystyle \ро}$${\displaystyle v}$${\displaystyle P}$${\displaystyle г}$${\displaystyle ч}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\rho v^{2}+P=\mathrm {const.} }$

Таким образом, если у нас есть две точки на линии тока, точка 1 и точка 2, и в точке 1 скорость жидкости вдоль линии тока равна , а давление в точке 1 равно , а в точке 2 скорость жидкости вдоль линии тока равна , а давление в точке 2 равно , и между точками 1 и 2 из жидкости не извлекается энергия, то мы имеем следующее выражение:${\displaystyle v_{1}}$${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle v_{2}}$${\displaystyle P_{2}}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\rho v_{1}^{2}+P_{1}={\frac {1}{2}}\rho v_{2}^{2}+ П_{2}}$

Теперь вернемся к нашей исходной схеме. Рассмотрим поток до актюатора. Далеко вверх по течению скорость жидкости равна ; затем скорость жидкости уменьшается, а давление увеличивается по мере приближения к ротору. ^[4] В соответствии с законом сохранения массы, массовый расход через ротор должен быть постоянным. Массовый расход, , через поверхность площадью определяется следующим выражением:${\displaystyle v_{\infty}}$${\displaystyle {\точка {м}}}$${\displaystyle А}$

${\displaystyle {\dot {m}}=\rho Av}$

где — плотность, а — скорость жидкости вдоль линии тока. Таким образом, если массовый расход постоянен, увеличение площади должно приводить к уменьшению скорости жидкости вдоль линии тока. Это означает, что кинетическая энергия жидкости уменьшается. Если поток расширяется, но не переносит энергию, то применяется закон Бернулли. Таким образом, уменьшение кинетической энергии компенсируется увеличением энергии статического давления. ${\displaystyle \ро}$${\displaystyle v}$

Итак, перед ротором у нас следующая ситуация: далеко вверх по течению давление жидкости такое же, как атмосферное, ; непосредственно перед взаимодействием с ротором давление жидкости увеличилось, и поэтому кинетическая энергия уменьшилась. Это можно описать математически с помощью уравнения Бернулли:${\displaystyle P_{\infty}}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\rho v_{\infty }^{2}+P_{\infty }={\frac {1}{2}}\rho \left(v_{\infty }(1-a)\right)^{2}+P_{D+}}$

где мы записали скорость жидкости в роторе как , где - коэффициент осевой индукции. Давление жидкости на стороне выше по потоку от диска привода равно . Мы рассматриваем ротор как диск привода, который бесконечно тонок. Таким образом, мы предположим, что скорость жидкости через диск привода не изменилась. Поскольку энергия была извлечена из жидкости, давление должно было уменьшиться.${\displaystyle v_ {\infty }(1-a)}$${\displaystyle а}$${\displaystyle P_{D+}}$

Теперь рассмотрим пост-ротор: сразу после взаимодействия с ротором скорость жидкости все еще равна , но давление упало до значения ; далеко вниз по течению давление жидкости достигло равновесия с атмосферой; это было достигнуто в естественном и динамически медленном процессе уменьшения скорости потока в трубке тока для поддержания динамического равновесия (т.е. далеко вниз по течению. Предполагая отсутствие дальнейшей передачи энергии, мы можем применить Бернулли для вниз по течению:${\displaystyle v_ {\infty }(1-a)}$${\displaystyle P_{D-}}$${\displaystyle P\rightarrow P_{\infty }}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\rho \left(v_{\infty }(1-a)\right)^{2}+P_{D-}={\frac {1}{2}}\rho v_{w}^{2}+P_{\infty }}$

где

${\displaystyle v_{w}=}$Скорость далеко вниз по течению в кильватерной струе

Таким образом, мы можем получить выражение для разности давлений между передней и задней частью ротора:

${\displaystyle P_{D+}-P_{D-}={\frac {1}{2}}\rho (v_{\infty }^{2}-v_{w}^{2})}$

Если на площади приводного диска имеется разность давлений, то на приводной диск действует сила, которую можно определить по формуле :${\displaystyle F=\Delta PA}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\rho (v_{\infty }^{2}-v_{w}^{2})A_{D}}$

где - площадь приводного диска. Если ротор - единственное, что поглощает энергию из жидкости, то скорость изменения осевого импульса жидкости - это сила, действующая на ротор. Скорость изменения осевого импульса можно выразить как разницу между начальной и конечной осевыми скоростями жидкости, умноженную на массовый расход:${\displaystyle A_{D}}$

${\displaystyle F={\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} t}}={\dot {m}}(v_{\infty }-v_{w})=\rho A_{D}v_{D}(v_{\infty }-v_{w})=\rho A_{D}(1-a)v_{\infty }(v_{\infty }-v_{w})}$

Таким образом, мы можем прийти к выражению для скорости жидкости далеко вниз по течению:

${\displaystyle v_{w}=(1-2a)v_{\infty }}$

Эта сила действует на ротор. Мощность, отбираемая от жидкости, равна силе, действующей на жидкость, умноженной на скорость жидкости в точке отбора мощности:

${\displaystyle \mathrm {Power} _{ext}=Fv_{D}=2a(1-a)^{2}v_{\infty }^{3}\rho A_{D}}$

Предположим, что мы заинтересованы в нахождении максимальной мощности, которую можно извлечь из жидкости. Мощность в жидкости определяется следующим выражением:

${\displaystyle \mathrm {Power} ={\frac {1}{2}}\rho Av^{3}}$

где — плотность жидкости, как и прежде, — скорость жидкости, а — площадь воображаемой поверхности, через которую течет жидкость. Мощность, извлекаемая из жидкости ротором в описанном выше сценарии, составляет некоторую часть этого выражения мощности. Мы будем называть эту часть коэффициентом мощности, . Таким образом, извлекаемая мощность определяется следующим выражением:${\displaystyle \rho }$${\displaystyle v}$${\displaystyle A}$${\displaystyle C_{p}}$${\displaystyle \mathrm {Power} _{ext}}$

${\displaystyle \mathrm {Power} _{ext}=\mathrm {Power} \times C_{p}}$

Наш вопрос заключается в следующем: какова максимальная ценность использования модели Беца?${\displaystyle C_{p}}$

Вернемся к нашему выведенному выражению для мощности, передаваемой от жидкости к ротору ( ). Мы видим, что извлекаемая мощность зависит от коэффициента осевой индукции. Если мы продифференцируем по , то получим следующий результат:${\displaystyle \mathrm {Power} _{ext}}$${\displaystyle \mathrm {Power} _{ext}}$${\displaystyle a}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathrm {Power} _{ext}}{\mathrm {d} a}}=2v_{\infty }^{3}\rho A_{D}\times \left((1-a)^{2}-2a(1-a)\right)}$

Если мы максимизировали наше извлечение мощности, мы можем установить указанное выше на ноль. Это позволяет нам определить значение, которое дает максимальное извлечение мощности. Это значение равно a . Таким образом, мы можем найти, что . Другими словами, ротор не может извлечь более 59 процентов мощности из жидкости.${\displaystyle a}$${\displaystyle 1/3}$${\displaystyle C_{P~max}=16/27}$

По сравнению с моделью Ренкина-Фруда, теория импульса элемента лезвия учитывает угловой момент ротора. Рассмотрим левую часть рисунка ниже. У нас есть трубка тока, в которой находится жидкость и ротор. Мы предположим, что нет взаимодействия между содержимым трубки тока и всем, что находится за ее пределами. То есть мы имеем дело с изолированной системой. В физике изолированные системы должны подчиняться законам сохранения. Примером такого закона является сохранение углового момента. Таким образом, угловой момент внутри трубки тока должен сохраняться. Следовательно, если ротор приобретает угловой момент посредством взаимодействия с жидкостью, что-то еще должно приобрести равный и противоположный угловой момент. Как уже упоминалось, система состоит только из жидкости и ротора, жидкость должна приобретать угловой момент в следе. Поскольку мы связали изменение осевого импульса с некоторым коэффициентом индукции , мы свяжем изменение углового момента жидкости с тангенциальным коэффициентом индукции .${\displaystyle a}$${\displaystyle a'}$

Рассмотрим следующую установку. ^[5]

Мы разобьем область ротора на кольцевые кольца бесконечно малой толщины. Мы делаем это для того, чтобы можно было предположить, что факторы осевой индукции и факторы тангенциальной индукции постоянны по всему кольцевому кольцу. Предположение этого подхода заключается в том, что кольцевые кольца независимы друг от друга, т.е. между жидкостями соседних кольцевых колец нет взаимодействия.

Давайте теперь вернемся к Бернулли:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\rho v_{1}^{2}+P_{1}={\frac {1}{2}}\rho v_{2}^{2}+P_{2}}$

Скорость — это скорость жидкости вдоль линии тока. Линия тока не обязательно может проходить параллельно определенной оси координат, например оси z. Таким образом, скорость может состоять из компонентов в осях, составляющих систему координат. Для этого анализа мы будем использовать цилиндрические полярные координаты . Таким образом , .${\displaystyle (r,~\theta ,~z)}$${\displaystyle v^{2}=v_{r}^{2}+v_{\theta }^{2}+v_{z}^{2}}$

ПРИМЕЧАНИЕ: Фактически мы будем работать в цилиндрических координатах для всех аспектов, например${\displaystyle \mathbf {F} =F_{r}{\hat {\mathbf {r} }}+F_{\theta }{\hat {\theta }}+F_{z}{\hat {\mathbf {z} }}}$

Теперь рассмотрим установку, показанную выше. Как и прежде, мы можем разбить установку на два компонента: восходящий и нисходящий.

${\displaystyle P_{\infty }+{\frac {1}{2}}\rho v_{u}^{2}=P_{D+}+{\frac {1}{2}}\rho v_{D}^{2}}$

где - скорость жидкости вдоль линии тока далеко вверх по течению, а - скорость жидкости непосредственно перед ротором. Записанное в цилиндрических полярных координатах, мы имеем следующее выражение:${\displaystyle v_{u}}$${\displaystyle v_{D}}$

${\displaystyle P_{\infty }+{\frac {1}{2}}\rho v_{\infty }^{2}=P_{D+}+{\frac {1}{2}}\rho (v_{\infty }(1-a))^{2}}$

где и — z-компоненты скорости далеко вверх по течению и прямо перед ротором соответственно. Это в точности то же самое, что и уравнение вверх по течению из модели Беца.${\displaystyle v_{\infty }}$${\displaystyle v_{\infty }(1-a)}$

Как видно из рисунка выше, поток расширяется по мере приближения к ротору, что является следствием увеличения статического давления и сохранения массы. Это означало бы, что вверх по течению. Однако для целей данного анализа этот эффект будет проигнорирован.${\displaystyle v_{r}\neq 0}$

${\displaystyle P_{D-}+{\frac {1}{2}}\rho v_{D}^{2}=P_{\infty }+{\frac {1}{2}}\rho v_{w}^{2}}$

где — скорость жидкости сразу после взаимодействия с ротором. Это можно записать как . Радиальная составляющая скорости будет равна нулю; это должно быть верно, если мы собираемся использовать подход с кольцевым кольцом; предположение об обратном означало бы интерференцию между кольцевыми кольцами в некоторой точке ниже по течению. Поскольку мы предполагаем, что нет никаких изменений осевой скорости поперек диска, . Угловой момент должен сохраняться в изолированной системе. Таким образом, вращение следа не должно затухать. Таким образом, в сечении ниже по течению является постоянным. Таким образом, Бернулли упрощает в сечении ниже по течению:${\displaystyle v_{D}}$${\displaystyle v_{D}^{2}=v_{D,~r}^{2}+v_{D,~\theta }^{2}+v_{D,~z}^{2}}$${\displaystyle v_{D,~z}=(1-a)v_{\infty }}$${\displaystyle v_{\theta }}$

${\displaystyle P_{D-}+{\frac {1}{2}}\rho v_{D,~z}^{2}=P_{\infty }+{\frac {1}{2}}\rho v_{w,~z}^{2}=P_{D-}+{\frac {1}{2}}\rho (v_{\infty }(1-a))^{2}}$

Другими словами, уравнения Бернулли вверх и вниз по потоку от ротора такие же, как выражения Бернулли в модели Беца. Поэтому мы можем использовать такие результаты, как извлечение мощности и скорость следа, которые были получены в модели Беца, т.е.

${\displaystyle v_{w,z}=(1-2a)v_{\infty }}$

${\displaystyle \mathrm {Power} =2a(1-a)^{2}v_{\infty }^{3}\rho A_{D}}$

Это позволяет нам рассчитать максимальную мощность, извлекаемую для системы, которая включает вращающийся след. Можно показать, что это дает то же значение, что и модель Беца, т.е. 0,59. Этот метод подразумевает признание того, что крутящий момент, создаваемый в роторе, определяется следующим выражением:

${\displaystyle \delta \mathbf {Q} =2\pi r\delta r\times \rho U_{\infty }(1-a)\times 2a'r\omega }$

с необходимыми терминами, определенными ниже.

Рассмотрим поток жидкости вокруг аэродинамического профиля. Поток жидкости вокруг аэродинамического профиля приводит к возникновению подъемной силы и силы сопротивления. По определению, подъемная сила — это сила, которая действует на аэродинамический профиль перпендикулярно кажущейся скорости потока жидкости, наблюдаемой аэродинамическим профилем. Сопротивление — это силы, которые действуют по касательной к кажущейся скорости потока жидкости, наблюдаемой аэродинамическим профилем. Что мы подразумеваем под кажущейся скоростью? Рассмотрим диаграмму ниже:

Скорость, воспринимаемая лопастью ротора, зависит от трех факторов: осевой скорости жидкости, ; тангенциальной скорости жидкости из-за ускорения вокруг аэродинамического профиля, ; и самого движения ротора, . То есть, кажущаяся скорость жидкости определяется следующим образом:${\displaystyle v_{\infty }(1-a)}$${\displaystyle a'\omega r}$${\displaystyle \omega r}$

${\displaystyle \mathbf {v} =\omega r(1+a'){\hat {\mathbf {\theta } }}+v_{\infty }(1-a){\hat {\mathbf {z} }}}$

Таким образом, кажущаяся скорость ветра — это просто величина этого вектора, то есть:

${\displaystyle |\mathbf {v} |^{2}=(\omega r(1+a'))^{2}+(v_{\infty }(1-a))^{2}=W^{2}}$

Мы также можем вычислить угол из приведенного выше рисунка:${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \sin \phi ={\frac {v_{\infty }(1-a)}{W}}}$

Предположим, что мы знаем угол , тогда мы можем вычислить его, просто используя соотношение ; затем мы можем вычислить коэффициент подъемной силы и коэффициент сопротивления , из которых мы можем вычислить подъемную силу и силу сопротивления, действующие на лопасть.${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha =\phi -\beta }$${\displaystyle c_{L}}$${\displaystyle c_{D}}$

Рассмотрим кольцевое кольцо, которое частично занято элементами лопаток. Длина каждой секции лопатки, занимающей кольцевое кольцо, составляет (см. рисунок ниже).${\displaystyle \delta r}$

Подъемная сила, действующая на те части лопастей/аэродинамических поверхностей, каждая из которых имеет хорду, определяется следующим выражением:${\displaystyle c}$

${\displaystyle \delta L={\frac {1}{2}}\rho NW^{2}c\times c_{L}(\alpha )\delta r}$

где - коэффициент подъемной силы, который является функцией угла атаки, а - количество лопастей. Кроме того, сопротивление, действующее на ту часть лопастей/аэродинамических профилей с хордой, определяется следующим выражением:${\displaystyle c_{L}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle c}$

${\displaystyle \delta D={\frac {1}{2}}\rho NW^{2}c\times c_{D}(\alpha )\delta r}$

Помните, что эти вычисленные силы нормальны и касательны к кажущейся скорости. Нас интересуют силы в осях и . Поэтому нам нужно рассмотреть диаграмму ниже:${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}}$${\displaystyle {\hat {\theta }}}$

Таким образом, мы можем видеть следующее:

${\displaystyle \delta F_{\theta }=\delta L\sin \phi -\delta D\cos \phi }$

${\displaystyle \delta F_{z}=\delta L\cos \phi +\delta D\sin \phi }$

${\displaystyle F_{\theta }}$— сила, отвечающая за вращение лопастей ротора; — сила, отвечающая за изгиб лопастей.${\displaystyle F_{z}}$

Вспомним, что для изолированной системы чистый угловой момент системы сохраняется. Если ротор приобрел угловой момент, то и жидкость в следе должна его приобрести. Предположим, что жидкость в следе приобретает тангенциальную скорость . Таким образом, крутящий момент в воздухе определяется как${\displaystyle v_{\theta }=2a'\omega r}$

${\displaystyle |\mathbf {\delta {Q}} |=\rho (2\pi r\delta r)U_{\infty }(1-a)\times (2\Omega a'r^{2})}$

Благодаря сохранению момента импульса, это уравновешивает крутящий момент на лопастях ротора; таким образом,

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\rho W^{2}Nc(c_{l}\sin \phi -c_{d}\cos \phi )r\delta r=\rho (2\pi r\delta r)U_{\infty }(1-a)\times (2\Omega a'r^{2})}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}W^{2}Nc(c_{l}\sin \phi -c_{d}\cos \phi )=4\pi U_{\infty }(1-a)\times \Omega a'r^{2}}$

Кроме того, скорость изменения линейного импульса в воздухе уравновешивается силой изгиба вне плоскости, действующей на лопасти, . Из теории импульса скорость изменения линейного импульса в воздухе следующая:${\displaystyle \delta F_{z}}$

${\displaystyle \delta F_{z}=\rho (2\pi r\delta r)U_{\infty }(1-a)\times (v_{\infty }-v_{w})}$

что может быть выражено как

${\displaystyle \delta F_{z}=\rho (4\pi r\delta r)U_{\infty }^{2}a(1-a)}$

Уравновешивая это с силой изгиба вне плоскости, получаем

${\displaystyle {\frac {1}{2}}W^{2}Nc(c_{l}\cos \phi +c_{d}\sin \phi )=\rho (4\pi r\delta r)U_{\infty }^{2}a(1-a)}$

Давайте теперь дадим следующие определения:

${\displaystyle C_{y}=c_{l}\sin \phi -c_{d}\cos \phi }$

${\displaystyle C_{x}=c_{l}\cos \phi +c_{d}\sin \phi }$

Итак, мы имеем следующие уравнения:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}W^{2}NcC_{y}=4\pi U_{\infty }(1-a)\times \Omega a'r^{2}}$

( 1 )

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\rho W^{2}NcC_{x}=4\pi \rho \left[(a'\Omega r)^{2}+U_{\infty }^{2}a(1-a)\right]r}$

( 2 )

Обратимся к следующему уравнению, которое можно увидеть из анализа приведенного выше рисунка:

${\displaystyle \sin \phi ={\frac {U_{\infty }}{W}}(1-a)\rightarrow \sin ^{2}\phi =\left({\frac {U_{\infty }}{W}}(1-a)\right)^{2}}$

( 3 )

Таким образом, с помощью этих трех уравнений можно получить следующий результат путем некоторых алгебраических преобразований: ^[5]

${\displaystyle {\frac {a}{1-a}}={\frac {C_{x}\sigma _{r}}{4\sin ^{2}\phi }}}$

Аналогичным образом можно вывести выражение для . Это позволяет нам понять, что происходит с ротором и жидкостью. Уравнения такого рода затем решаются итеративными методами.${\displaystyle a'}$

• Предполагается, что каждое кольцевое кольцо независимо от любого другого кольцевого кольца. ^[6]
• Не учитывает расширение следа.
• Не учитывает потери на конце , хотя можно включить поправочные коэффициенты. ^[7]
• Не учитывает рыскание , хотя его можно заставить это делать.
• На основе устойчивого потока (нетурбулентного).