Бициклическая полугруппа

В математике бициклическая полугруппа является алгебраическим объектом, важным для структурной теории полугрупп . Хотя на самом деле это моноид , его обычно называют просто полугруппой. Возможно, его проще всего понять как синтаксический моноид , описывающий язык Дика сбалансированных пар скобок. Таким образом, он находит общие приложения в комбинаторике , например, для описания бинарных деревьев и ассоциативных алгебр .

Первое опубликованное описание этого объекта было дано Евгением Ляпиным в 1953 году. Альфред Х. Клиффорд и Гордон Престон утверждают, что один из них, работая с Дэвидом Ризом , открыл его независимо (без публикации) в какой-то момент до 1943 года.

Существует по крайней мере три стандартных способа построения бициклической полугруппы и различные обозначения для ее обозначения. Ляпин называл ее P ; Клиффорд и Престон использовали ; а в большинстве последних работ наблюдается тенденция к использованию B . В этой статье будет использоваться современный стиль.${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Бициклическая полугруппа является фактором свободного моноида по двум образующим p и q по конгруэнтности , порожденной отношением p q = 1. Таким образом, каждый элемент полугруппы является строкой из этих двух букв, при условии, что подпоследовательность " p q " не появляется. Операция полугруппы - это конкатенация строк, которая, очевидно, ассоциативна . Затем можно показать, что все элементы B на самом деле имеют вид q ^a p ^b для некоторых натуральных чисел a и b . Операция композиции упрощается до

( q ^a p ^b ) ( q ^c p ^d ) = q ^{a + c − min{ b , c }} p ^{d + b − min{ b , c }} .

Способ, которым ограничиваются эти показатели, предполагает, что « структуру p и q » можно отбросить, оставив только операции над частью « a и b ». Таким образом, B — это полугруппа пар натуральных чисел (включая ноль) с операцией ^[1]

( а , б ) ( с , г ) = ( а + с − мин{ б , в }, d + b − мин{ б , в }).

Этого достаточно, чтобы определить B так, чтобы это был тот же объект, что и в исходной конструкции. Так же, как p и q изначально генерировали B с пустой строкой в ​​качестве моноидной идентичности, эта новая конструкция B имеет генераторы (1, 0) и (0, 1) с идентичностью (0, 0) .

Можно показать, что любая полугруппа S, порожденная элементами e , a и b, удовлетворяющая приведенным ниже утверждениям, изоморфна бициклической полугруппе.

• а е = е а = а
• б е = е б = б
• а б = е
• б а ≠ е

Не совсем очевидно, что это должно быть так – возможно, самая сложная задача – понять, что S должно быть бесконечным. Чтобы увидеть это, предположим, что a (скажем) не имеет бесконечного порядка, поэтому a ^{k + h} = a ^h для некоторых h и k . Тогда a ^k = e , и

б = еб = ак б = ак ⁻¹ е = ак ⁻¹ ,​^{​ ​​}

так

б а = а ^к = е ,

что не допускается – поэтому существует бесконечно много различных степеней числа a . Полное доказательство приведено в книге Клиффорда и Престона.

Обратите внимание, что оба определения, данные выше, удовлетворяют этим свойствам. Третий способ вывода B использует две соответствующим образом выбранные функции для получения бициклической полугруппы как моноида преобразований натуральных чисел. Пусть α , β , и ι — элементы полугруппы преобразований натуральных чисел, где

• ι ( н ) = н
• α ( n ) = n + 1
• β ( n ) = 0, если n = 0, и n − 1 в противном случае.

Эти три функции обладают требуемыми свойствами, поэтому полугруппа, которую они порождают, — это B. [ ^2]

Бициклическая полугруппа обладает тем свойством, что образ любого гомоморфизма φ из B в другую полугруппу S либо циклический , либо является изоморфной копией B. Элементы φ ( a ), φ ( b ) и φ ( e ) из S всегда будут удовлетворять условиям выше (потому что φ является гомоморфизмом) с возможным исключением того, что φ ( b ) φ ( a ) может оказаться φ ( e ). Если это не так, то φ ( B ) изоморфна B ; в противном случае это циклическая полугруппа, порожденная φ ( a ). На практике это означает, что бициклическая полугруппа может быть найдена во многих различных контекстах.

Идемпотенты B — это все пары ( x , x ) , где x — любое натуральное число (используя упорядоченную парную характеристику B ). Поскольку они коммутируют, а B является регулярным (для каждого x существует y, такой что x y x = x ), бициклическая полугруппа является инверсной полугруппой . (Это означает, что каждый элемент x из B имеет уникальный обратный y , в «слабом» полугрупповом смысле, что x y x = x и y x y = y .)

Каждый идеал B является главным: левый и правый главные идеалы ( m , n ) являются

• ( m , n ) B = {( s , t ) : s ≥ m } и
• B ( m , n ) = {( s , t ) : t ≥ n }.

Каждый из них содержит бесконечно много других, поэтому B не имеет минимальных левых или правых идеалов.

В терминах соотношений Грина , B имеет только один D -класс (он бипростой ), и, следовательно, имеет только один J -класс (он простой ). Отношения L и R задаются как

• ( a , b ) R ( c , d ) тогда и только тогда, когда a = c ; и
• ( a , b ) L ( c , d ) тогда и только тогда, когда b = d . ^[3]

Это подразумевает, что два элемента являются H -связанными тогда и только тогда, когда они идентичны. Следовательно, единственные подгруппы B — это бесконечно много копий тривиальной группы, каждая из которых соответствует одному из идемпотентов.

Диаграмма «яйцевого ящика» для B бесконечно велика; верхний левый угол начинается:

(0, 0)	(1, 0)	(2, 0)	...
(0, 1)	(1, 1)	(2, 1)	...
(0, 2)	(1, 2)	(2, 2)	...
...	...	...	...

Каждая запись представляет собой синглтон H -класса; строки являются R -классами, а столбцы являются L -классами. Идемпотенты B появляются вниз по диагонали, в соответствии с тем фактом, что в регулярной полугруппе с коммутирующими идемпотентами каждый L -класс и каждый R -класс должны содержать ровно один идемпотент.

Бициклическая полугруппа является «простейшим» примером бипростой инверсной полугруппы с единицей; есть много других. Там, где определение B из упорядоченных пар использовало класс натуральных чисел (который является не только аддитивной полугруппой, но и коммутативной решеткой относительно операций min и max), вместо этого могло появиться другое множество с подходящими свойствами, а операции «+», «−» и «max» могли быть изменены соответствующим образом.

• Четырехспиральная полугруппа
• Специальные классы полугрупп

• Алгебраическая теория полугрупп , А. Х. Клиффорд и Г. Б. Престон. Американское математическое общество, 1961 (том 1), 1967 (том 2).
• Полугруппы: введение в теорию структур , Пьер Антуан Грийе. Marcel Dekker, Inc., 1995.
• Канонический вид элементов ассоциативной системы, заданной определяющими соотношениями , Евгений Сергеевич Ляпин, Ленинградский государственный пед. ин-т, зап. 89 (1953), стр. 45–54.
• Холлингс, CD (2007). «Некоторые первые заманчивые шаги в теорию полугрупп». Журнал математики . 80. Математическая ассоциация Америки: 331–344. JSTOR  27643058.