Продукт Zappa–Szép

Математическая концепция

В математике , особенно в теории групп , произведение Заппы–Сеп (также известное как произведение Заппы–Редея–Сеп , общее произведение , сшитое произведение , точное разложение на множители или двусвязное произведение ) описывает способ, которым группа может быть построена из двух подгрупп . Это обобщение прямого и полупрямого произведений . Оно названо в честь Гвидо Заппы (1940) и Йенё Сеп (1950), хотя его независимо изучали и другие, включая Б. Х. Неймана (1935), ГА Миллера (1935) и JA де Сегье (1904). ^[1]

Внутренние продукты Zappa – Szép

Пусть G — группа с единичным элементом e , а H и K — подгруппы G. Следующие утверждения эквивалентны:

G = HK и H ∩ K = { e }
Для каждого g из G существует единственный h из H и единственный k из K, такие что g = hk .

Если выполняется одно из этих утверждений (а следовательно, и оба), то говорят , что G является внутренним произведением Заппы –Сепа H и K.

Примеры

Пусть G = GL( n , C ), общая линейная группа обратимых матриц размера n × n над комплексными числами . Для каждой матрицы A из G разложение QR утверждает , что существует уникальная унитарная матрица Q и уникальная верхняя треугольная матрица R с положительными действительными элементами на главной диагонали, такие что A = QR . Таким образом, G является произведением Заппы–Сеп унитарной группы U ( n ) и группы (скажем) K верхних треугольных матриц с положительными диагональными элементами.

Одним из важнейших примеров этого является теорема Филипа Холла 1937 года о существовании систем Силова для разрешимых групп . Это показывает, что каждая разрешимая группа является произведением Заппы–Сепса p' -подгруппы Холла и p -подгруппы Силова , и фактически, что группа является (множественным) произведением Заппы–Сепса некоторого множества представителей ее подгрупп Силова.

В 1935 году Джордж Миллер показал, что любая нерегулярная транзитивная группа подстановок с регулярной подгруппой является произведением Заппы–Сепса регулярной подгруппы и стабилизатора точки. Он приводит PSL(2,11) и знакопеременную группу степени 5 в качестве примеров, и, конечно, каждая знакопеременная группа простой степени является примером. В этой же статье приводится ряд примеров групп, которые не могут быть реализованы как произведения Заппы–Сепса собственных подгрупп, такие как группа кватернионов и знакопеременная группа степени 6.

Внешние продукты Zappa – Szép

Как и в случае прямых и полупрямых произведений, существует внешняя версия произведения Заппы–Сеп для групп, о которых заранее неизвестно, являются ли они подгруппами данной группы. Чтобы мотивировать это, пусть G = HK будет внутренним произведением Заппы–Сеп подгрупп H и K группы G . Для каждого k из K и каждого h из H существуют α( k , h ) из H и β( k , h ) из K такие, что kh = α( k , h ) β( k , h ). Это определяет отображения α : K × H → H и β : K × H → K , которые, как оказывается, обладают следующими свойствами:

α( e , h ) = h и β( k , e ) = k для всех h из H и k из K .
α( k ₁k ₂ , час ) знак равно α( k ₁ , α( k ₂ , час ))
β( k , час ₁час ₂ ) знак равно β(β( k , час ₁ ), час ₂ )
α( k , час ₁час ₂ ) знак равно α( k , час ₁ ) α(β( k , час ₁ ), час ₂ )
β( k ₁k ₂ , час ) знак равно β( k ₁ , α ( k ₂ , час )) β( k ₂ , час )

для всех h ₁ , h ₂ в H , k ₁ , k ₂ в K . Из этого следует, что

Для каждого k из K отображение h ↦ α( k , h ) является биекцией H .
Для каждого h из H отображение k ↦ β( k , h ) является биекцией K .

(Действительно, предположим, что α( k , h ₁ ) = α( k , h ₂ ). Тогда h ₁ = α( k ⁻¹k , h ₁ ) = α( k ⁻¹ , α( k , h ₁ )) = α( k ⁻¹ , α( k , h ₂ )) = h ₂ . Это устанавливает инъективность, а для сюръективности используйте h = α( k , α( k ⁻¹ , h )).)

Более кратко, первые три свойства выше утверждают, что отображение α : K × H → H является левым действием K на (базовом множестве) H и что β : K × H → K является правым действием H на (базовом множестве) K. Если мы обозначим левое действие как h → ^k h и правое действие как k → k ^h , то последние два свойства сводятся к k ⁽ h 1 _h2 ₎ = ^k h ₁^k^{^h}^{^₁} h ₂ и ( k ₁k ₂ ) ^h = k ₁^{^k}^{^₂}^h k ₂^h .

Переворачивая это, предположим, что H и K являются группами (и пусть e обозначает элемент идентичности каждой группы) и предположим, что существуют отображения α : K × H → H и β : K × H → K, удовлетворяющие свойствам выше. На декартовом произведении H × K определим отображение умножения и инверсии, соответственно,

( h1 , k1 ) ( h2 , _k2 ) ₌₍h1α ( _k1 , h2 ₎ , _β ( _k1 , h2 ) k2 ₎
( час , k ) ^-1 знак равно (α( k ^-1 , час ^-1 ), β( k ^-1 , час ^-1 ))

Тогда H × K — это группа, называемая внешним произведением Заппы–Сеп групп H и K. Подмножества H × { e } и { e } × K являются подгруппами , изоморфными H и K соответственно, и H × K — это, по сути, внутреннее произведение Заппы–Сеп групп H × { e } и { e } × K .

Отношение к полупрямым и прямым произведениям

Пусть G = HK — внутреннее произведение Цаппы–Сеп подгрупп H и K . Если H нормальна в G , то отображения α и β задаются соответственно соотношениями α( k , h ) = khk ^{− 1} и β( k , h ) = k . Это легко видеть, поскольку и поскольку в силу нормальности , . В этом случае G — внутреннее полупрямое произведение H и K . $(h_{1}k_{1})(h_{2}k_{2})=(h_{1}k_{1}h_{2}k_{1}^{-1})(k_{1}k_{2})$ $h_{1}k_{1}h_{2}k_{1}^{-1}\in H$ $H$ $k_{1}h_{2}k_{1}^{-1}\in H$

Если, кроме того, K нормален в G , то α( k , h ) = h . В этом случае G является внутренним прямым произведением H и K .

Смотрите также

Дополнение (теория групп)

Ссылки

^ Мартин В. Либек ; Шерил Э. Прегер; Ян Саксл (2010). Регулярные подгруппы примитивных групп перестановок . Американское математическое общество. стр. 1–2. ISBN 978-0-8218-4654-4.

Юпперт, Б. (1967), Endliche Gruppen (на немецком языке), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-03825-2, MR 0224703, OCLC 527050, Глава VI, §4.
Michor, PW (1989), "Вязаные произведения градуированных алгебр Ли и групп", Труды зимней школы по геометрии и физике, Srni , Дополнение Rendiconti Circolo Matematico di Palermo, Сер. II, 22 : 171–175, arXiv : math/9204220 , Bibcode :1992math......4220M.
Миллер, GA (1935), «Группы, являющиеся произведениями двух перестановочных собственных подгрупп», Труды Национальной академии наук , 21 (7): 469–472, Bibcode : 1935PNAS...21..469M, doi : 10.1073/pnas.21.7.469 , PMC 1076628 , PMID 16588002
Szép, J. (1950), «О структуре групп, которые могут быть представлены как произведение двух подгрупп», Acta Sci. Math. Szeged , 12 : 57–61.
Такеучи, М. (1981), «Совпадающие пары групп и бисмаш-произведения алгебр Хопфа», Comm. Algebra , 9 (8): 841–882, doi :10.1080/00927878108822621.
Заппа, Г. (1940), «Sulla costruzione dei gruppi prodotto di Due Data Sottogruppi Permutabili Traloro», Atti Secondo Congresso Un. Мат. Итал. , Болонья{{citation}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка ); Edizioni Cremonense, Рим, (1942) 119–125.
Агоре, АЛ; Чирваситу, А.; Ион, Б.; Милитару, Г. (2007), Проблемы факторизации для конечных групп , arXiv : math/0703471 , Bibcode : 2007math......3471A, doi : 10.1007/s10468-009-9145-6, S2CID 18024087.
Брин, МГ (2005). «О произведении Заппы-Сеп». Сообщения по алгебре . 33 (2): 393–424. arXiv : math/0406044 . doi :10.1081/AGB-200047404. S2CID 15169734.

[LiebeckPraeger2010-1] Мартин В. Либек ; Шерил Э. Прегер; Ян Саксл (2010). Регулярные подгруппы примитивных групп перестановок . Американское математическое общество. стр. 1–2. ISBN 978-0-8218-4654-4.