Двурогий

В геометрии двурогая кривая , также известная как кривая треуголки из-за ее сходства с двурогой , является рациональной четвертой кривой, определяемой уравнением ^[1]. Она имеет две вершины и симметрична относительно оси Y. ^[2]$${\displaystyle y^{2}\left(a^{2}-x^{2}\right)=\left(x^{2}+2ay-a^{2}\right)^{2}.}$$

В 1864 году Джеймс Джозеф Сильвестр изучал кривую в связи с классификацией уравнений пятой степени ; он назвал кривую двурогой, потому что у нее есть два каспа. Эту кривую в дальнейшем изучал Артур Кейли в 1867 году. ^[3]$${\displaystyle y^{4}-xy^{3}-8xy^{2}+36x^{2}y+16x^{2}-27x^{3}=0}$$

Двурогая кривая — это плоская алгебраическая кривая степени четыре и рода ноль. Она имеет две особенности возврата в действительной плоскости и двойную точку в комплексной проективной плоскости в . Если мы переместимся и в начало координат и выполним мнимое вращение на , заменив и на в двурогой кривой, мы получим Эта кривая, улитка , имеет обычную двойную точку в начале координат и два узла в комплексной плоскости в и . ^[4]${\displaystyle (x=0,z=0)}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle z=0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle ix/z}$${\displaystyle x}$${\displaystyle 1/z}$${\displaystyle у}$$${\displaystyle \left(x^{2}-2az+a^{2}z^{2}\right)^{2}=x^{2}+a^{2}z^{2}.}$$${\displaystyle x=\pm i}$${\displaystyle z=1}$

Параметрические уравнения двурогой кривой имеют вид$${\displaystyle {\begin{align}x&=a\sin \theta \\y&=a\,{\frac {(2+\cos \theta )\cos ^{2}\theta }{3+\sin ^{2}\theta }}\end{align}}}$$${\displaystyle -\pi \leq \theta \leq \pi.}$

• Список кривых

• Вайсштейн, Эрик В. «Двурогий». MathWorld .