Бета-простое распределение
Распределение вероятностей
Бета-премьер
Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры α > 0 {\displaystyle \альфа >0} форма ( реальная ) форма (реальная)
β > 0 {\displaystyle \бета >0}
Поддерживать х ∈ [ 0 , ∞ ) {\displaystyle x\in [0,\infty )\!}
PDF ф ( х ) = х α − 1 ( 1 + х ) − α − β Б ( α , β ) {\displaystyle f(x)={\frac {x^{\alpha -1}(1+x)^{-\alpha -\beta }}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\!}
СДФ я х 1 + х ( α , β ) {\displaystyle I_{{\frac {x}{1+x}}(\альфа ,\бета )}} где находится неполная бета-функция я х ( α , β ) {\displaystyle I_{x}(\альфа,\бета)}
Иметь в виду α β − 1 {\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta -1}}} если β > 1 {\displaystyle \бета >1}
Режим α − 1 β + 1  если  α ≥ 1 , 0 в противном случае {\displaystyle {\frac {\alpha -1}{\beta +1}}{\text{ если }}\alpha \geq 1{\text{, 0 в противном случае}}\!}
Дисперсия α ( α + β − 1 ) ( β − 2 ) ( β − 1 ) 2 {\displaystyle {\frac {\альфа (\альфа +\бета -1)}{(\бета -2)(\бета -1)^{2}}}} если β > 2 {\displaystyle \бета >2}
Асимметрия 2 ( 2 α + β − 1 ) β − 3 β − 2 α ( α + β − 1 ) {\displaystyle {\frac {2(2\альфа +\бета -1)}{\бета -3}}{\sqrt {\frac {\бета -2}{\альфа (\альфа +\бета -1)}}}} если β > 3 {\displaystyle \бета >3}
Избыточный эксцесс 6 α ( α + β − 1 ) ( 5 β − 11 ) + ( β − 1 ) 2 ( β − 2 ) α ( α + β − 1 ) ( β − 3 ) ( β − 4 ) {\displaystyle 6{\frac {\альфа (\альфа +\бета -1)(5\бета -11)+(\бета -1)^{2}(\бета -2)}{\альфа (\альфа +\бета -1)(\бета -3)(\бета -4)}}} если β > 4 {\displaystyle \бета >4}
Энтропия бревно ⁡ ( Б ( α , β ) ) + ( α − 1 ) ( ψ ( β ) − ψ ( α ) ) + ( α + β ) ( ψ ( 1 − α − β ) − ψ ( 1 − β ) + π грех ⁡ ( α π ) грех ⁡ ( β π ) грех ⁡ ( ( α + β ) π ) ) ) {\displaystyle {\begin{align}&\log \left(\mathrm {B} (\alpha ,\beta )\right)+(\alpha -1)(\psi (\beta )-\psi (\alpha ))\\+&(\alpha +\beta )\left(\psi (1-\alpha -\beta )-\psi (1-\beta )+{\frac {\pi \sin(\alpha \pi )}{\sin(\beta \pi )\sin((\alpha +\beta )\pi ))}}\right)\end{align}}} где - дигамма-функция . ψ {\displaystyle \пси}
МГФНе существует
CF е − я т Г ( α + β ) Г ( β ) Г 1 , 2 2 , 0 ( α + β β , 0 | − я т ) {\displaystyle {\frac {e^{-it}\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\beta )}}G_{1,2}^{\,2,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}\alpha +\beta \\\beta ,0\end{matrix}}\;\right|\,-it\right)}

В теории вероятностей и статистике бета -простое распределение (также известное как инвертированное бета-распределение или бета-распределение второго рода [1] ) является абсолютно непрерывным распределением вероятностей . Если имеет бета-распределение , то шансы имеют бета-простое распределение. п ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle p\in [0,1]} п 1 − п {\displaystyle {\frac {p}{1-p}}}

Определения

Бета-простое распределение определяется для двух параметров α и β , имеющих функцию плотности вероятности : х > 0 {\displaystyle x>0}

f ( x ) = x α − 1 ( 1 + x ) − α − β B ( α , β ) {\displaystyle f(x)={\frac {x^{\alpha -1}(1+x)^{-\alpha -\beta }}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}}

где B — бета-функция .

Кумулятивная функция распределения имеет вид

F ( x ; α , β ) = I x 1 + x ( α , β ) , {\displaystyle F(x;\alpha ,\beta )=I_{\frac {x}{1+x}}\left(\alpha ,\beta \right),}

где I — регуляризованная неполная бета-функция .

В то время как связанное бета-распределение является сопряженным априорным распределением параметра распределения Бернулли, выраженного как вероятность, бета-простое распределение является сопряженным априорным распределением параметра распределения Бернулли, выраженного в коэффициентах . Распределение является распределением Пирсона типа VI . [1]

Мода переменной X распределена как . Ее среднее значение равно , если (если среднее значение бесконечно, другими словами, оно не имеет четко определенного среднего значения), а ее дисперсия равна , если . β ′ ( α , β ) {\displaystyle \beta '(\alpha ,\beta )} X ^ = α − 1 β + 1 {\displaystyle {\hat {X}}={\frac {\alpha -1}{\beta +1}}} α β − 1 {\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta -1}}} β > 1 {\displaystyle \beta >1} β ≤ 1 {\displaystyle \beta \leq 1} α ( α + β − 1 ) ( β − 2 ) ( β − 1 ) 2 {\displaystyle {\frac {\alpha (\alpha +\beta -1)}{(\beta -2)(\beta -1)^{2}}}} β > 2 {\displaystyle \beta >2}

Для k -й момент определяется выражением − α < k < β {\displaystyle -\alpha <k<\beta } E [ X k ] {\displaystyle E[X^{k}]}

E [ X k ] = B ( α + k , β − k ) B ( α , β ) . {\displaystyle E[X^{k}]={\frac {\mathrm {B} (\alpha +k,\beta -k)}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}.}

Ибо с этим упрощается k ∈ N {\displaystyle k\in \mathbb {N} } k < β , {\displaystyle k<\beta ,}

E [ X k ] = ∏ i = 1 k α + i − 1 β − i . {\displaystyle E[X^{k}]=\prod _{i=1}^{k}{\frac {\alpha +i-1}{\beta -i}}.}

CDF также можно записать как

x α ⋅ 2 F 1 ( α , α + β , α + 1 , − x ) α ⋅ B ( α , β ) {\displaystyle {\frac {x^{\alpha }\cdot {}_{2}F_{1}(\alpha ,\alpha +\beta ,\alpha +1,-x)}{\alpha \cdot \mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}}

где — гипергеометрическая функция Гаусса 2 F 1  . 2 F 1 {\displaystyle {}_{2}F_{1}}

Альтернативная параметризация

Распределение бета-простых чисел также может быть перепараметризовано с точки зрения его среднего значения μ  > 0 и точности ν  > 0 параметров ( [2] стр. 36).

Рассмотрим параметризацию µ =  α /( β  − 1) и ν =  β  − 2, т. е. α =  µ (1 +  ν ) и β = 2 +  ν . При этой параметризации E[ Y ] =  µ и Var[Y] =  µ (1 +  µ )/ ν .

Обобщение

Для формирования обобщенного бета-простого распределения можно добавить еще два параметра : β ′ ( α , β , p , q ) {\displaystyle \beta '(\alpha ,\beta ,p,q)}

имея функцию плотности вероятности :

f ( x ; α , β , p , q ) = p ( x q ) α p − 1 ( 1 + ( x q ) p ) − α − β q B ( α , β ) {\displaystyle f(x;\alpha ,\beta ,p,q)={\frac {p\left({\frac {x}{q}}\right)^{\alpha p-1}\left(1+\left({\frac {x}{q}}\right)^{p}\right)^{-\alpha -\beta }}{q\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}}

со средним

q Γ ( α + 1 p ) Γ ( β − 1 p ) Γ ( α ) Γ ( β ) if  β p > 1 {\displaystyle {\frac {q\Gamma \left(\alpha +{\tfrac {1}{p}}\right)\Gamma (\beta -{\tfrac {1}{p}})}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}\quad {\text{if }}\beta p>1}

и режим

q ( α p − 1 β p + 1 ) 1 p if  α p ≥ 1 {\displaystyle q\left({\frac {\alpha p-1}{\beta p+1}}\right)^{\tfrac {1}{p}}\quad {\text{if }}\alpha p\geq 1}

Обратите внимание, что если p = q = 1, то обобщенное бета-простое распределение сводится к стандартному бета-простому распределению .

Это обобщение можно получить с помощью следующего обратимого преобразования. Если и для , то . y ∼ β ′ ( α , β ) {\displaystyle y\sim \beta '(\alpha ,\beta )} x = q y 1 / p {\displaystyle x=qy^{1/p}} q , p > 0 {\displaystyle q,p>0} x ∼ β ′ ( α , β , p , q ) {\displaystyle x\sim \beta '(\alpha ,\beta ,p,q)}

Составное гамма-распределение

Составное гамма-распределение [3] является обобщением бета-штрихового распределения, когда добавляется параметр масштаба q , но где p  = 1. Оно так названо, потому что формируется путем объединения двух гамма-распределений :

β ′ ( x ; α , β , 1 , q ) = ∫ 0 ∞ G ( x ; α , r ) G ( r ; β , q ) d r {\displaystyle \beta '(x;\alpha ,\beta ,1,q)=\int _{0}^{\infty }G(x;\alpha ,r)G(r;\beta ,q)\;dr}

где - гамма-PDF с формой и обратным масштабом . G ( x ; a , b ) {\displaystyle G(x;a,b)} a {\displaystyle a} b {\displaystyle b}

Моду, среднее значение и дисперсию составной гаммы можно получить, умножив моду и среднее значение в приведенном выше информационном поле на q , а дисперсию — на q 2 .

Другой способ выражения компаундирования — если и , то . Это дает один способ генерировать случайные переменные с помощью составной гаммы или бета-простых распределений. Другой способ — через отношение независимых гамма-переменных, как показано ниже. r ∼ G ( β , q ) {\displaystyle r\sim G(\beta ,q)} x ∣ r ∼ G ( α , r ) {\displaystyle x\mid r\sim G(\alpha ,r)} x ∼ β ′ ( α , β , 1 , q ) {\displaystyle x\sim \beta '(\alpha ,\beta ,1,q)}

Характеристики

  • Если тогда . X ∼ β ′ ( α , β ) {\displaystyle X\sim \beta '(\alpha ,\beta )} 1 X ∼ β ′ ( β , α ) {\displaystyle {\tfrac {1}{X}}\sim \beta '(\beta ,\alpha )}
  • Если , и , то . Y ∼ β ′ ( α , β ) {\displaystyle Y\sim \beta '(\alpha ,\beta )} X = q Y 1 / p {\displaystyle X=qY^{1/p}} X ∼ β ′ ( α , β , p , q ) {\displaystyle X\sim \beta '(\alpha ,\beta ,p,q)}
  • Если тогда . X ∼ β ′ ( α , β , p , q ) {\displaystyle X\sim \beta '(\alpha ,\beta ,p,q)} k X ∼ β ′ ( α , β , p , k q ) {\displaystyle kX\sim \beta '(\alpha ,\beta ,p,kq)}
  • β ′ ( α , β , 1 , 1 ) = β ′ ( α , β ) {\displaystyle \beta '(\alpha ,\beta ,1,1)=\beta '(\alpha ,\beta )}
  • Если , то . Это свойство можно использовать для генерации бета-простых распределенных переменных. X ∼ Beta ( α , β ) {\displaystyle X\sim {\textrm {Beta}}(\alpha ,\beta )} X 1 − X ∼ β ′ ( α , β ) {\displaystyle {\frac {X}{1-X}}\sim \beta '(\alpha ,\beta )}
  • Если , то . Это следствие из свойства выше. X ∼ β ′ ( α , β ) {\displaystyle X\sim \beta '(\alpha ,\beta )} X 1 + X ∼ Beta ( α , β ) {\displaystyle {\frac {X}{1+X}}\sim {\textrm {Beta}}(\alpha ,\beta )}
  • Если имеет F -распределение , то , или, что эквивалентно, . X ∼ F ( 2 α , 2 β ) {\displaystyle X\sim F(2\alpha ,2\beta )} α β X ∼ β ′ ( α , β ) {\displaystyle {\tfrac {\alpha }{\beta }}X\sim \beta '(\alpha ,\beta )} X ∼ β ′ ( α , β , 1 , β α ) {\displaystyle X\sim \beta '(\alpha ,\beta ,1,{\tfrac {\beta }{\alpha }})}
  • Для параметризации гамма-распределения I:
    • Если независимы, то . Обратите внимание , что все параметры масштаба соответствуют их распределениям. X k ∼ Γ ( α k , θ k ) {\displaystyle X_{k}\sim \Gamma (\alpha _{k},\theta _{k})} X 1 X 2 ∼ β ′ ( α 1 , α 2 , 1 , θ 1 θ 2 ) {\displaystyle {\tfrac {X_{1}}{X_{2}}}\sim \beta '(\alpha _{1},\alpha _{2},1,{\tfrac {\theta _{1}}{\theta _{2}}})} θ 1 , θ 2 , θ 1 θ 2 {\displaystyle \theta _{1},\theta _{2},{\tfrac {\theta _{1}}{\theta _{2}}}}
  • Для параметризации гамма-распределения II:
    • Если независимы, то . Это параметры скорости, а — параметр масштаба. X k ∼ Γ ( α k , β k ) {\displaystyle X_{k}\sim \Gamma (\alpha _{k},\beta _{k})} X 1 X 2 ∼ β ′ ( α 1 , α 2 , 1 , β 2 β 1 ) {\displaystyle {\tfrac {X_{1}}{X_{2}}}\sim \beta '(\alpha _{1},\alpha _{2},1,{\tfrac {\beta _{2}}{\beta _{1}}})} β k {\displaystyle \beta _{k}} β 2 β 1 {\displaystyle {\tfrac {\beta _{2}}{\beta _{1}}}}
    • Если и , то . Являются параметрами скорости для гамма-распределений, но является параметром масштаба для бета-штрихов. β 2 ∼ Γ ( α 1 , β 1 ) {\displaystyle \beta _{2}\sim \Gamma (\alpha _{1},\beta _{1})} X 2 ∣ β 2 ∼ Γ ( α 2 , β 2 ) {\displaystyle X_{2}\mid \beta _{2}\sim \Gamma (\alpha _{2},\beta _{2})} X 2 ∼ β ′ ( α 2 , α 1 , 1 , β 1 ) {\displaystyle X_{2}\sim \beta '(\alpha _{2},\alpha _{1},1,\beta _{1})} β k {\displaystyle \beta _{k}} β 1 {\displaystyle \beta _{1}}
  • β ′ ( p , 1 , a , b ) = Dagum ( p , a , b ) {\displaystyle \beta '(p,1,a,b)={\textrm {Dagum}}(p,a,b)} распределение Дагум
  • β ′ ( 1 , p , a , b ) = SinghMaddala ( p , a , b ) {\displaystyle \beta '(1,p,a,b)={\textrm {SinghMaddala}}(p,a,b)} Распределение Сингха -Маддалы .
  • β ′ ( 1 , 1 , γ , σ ) = LL ( γ , σ ) {\displaystyle \beta '(1,1,\gamma ,\sigma )={\textrm {LL}}(\gamma ,\sigma )} Логистическое распределение журнала .
  • Распределение бета-простых чисел является частным случаем распределения Пирсона типа 6 .
  • Если X имеет распределение Парето с минимумом и параметром формы , то . x m {\displaystyle x_{m}} α {\displaystyle \alpha } X x m − 1 ∼ β ′ ( 1 , α ) {\displaystyle {\dfrac {X}{x_{m}}}-1\sim \beta ^{\prime }(1,\alpha )}
  • Если X имеет распределение Ломакса , также известное как распределение Парето типа II, с параметром формы и параметром масштаба , то . α {\displaystyle \alpha } λ {\displaystyle \lambda } X λ ∼ β ′ ( 1 , α ) {\displaystyle {\frac {X}{\lambda }}\sim \beta ^{\prime }(1,\alpha )}
  • Если X имеет стандартное распределение Парето типа IV с параметром формы и параметром неравенства , то , или, что эквивалентно, . α {\displaystyle \alpha } γ {\displaystyle \gamma } X 1 γ ∼ β ′ ( 1 , α ) {\displaystyle X^{\frac {1}{\gamma }}\sim \beta ^{\prime }(1,\alpha )} X ∼ β ′ ( 1 , α , 1 γ , 1 ) {\displaystyle X\sim \beta ^{\prime }(1,\alpha ,{\tfrac {1}{\gamma }},1)}
  • Обратное распределение Дирихле является обобщением бета-простого распределения.
  • Если , то имеет обобщенное логистическое распределение . В более общем случае, если , то имеет масштабированное и смещенное обобщенное логистическое распределение. X ∼ β ′ ( α , β ) {\displaystyle X\sim \beta '(\alpha ,\beta )} ln ⁡ X {\displaystyle \ln X} X ∼ β ′ ( α , β , p , q ) {\displaystyle X\sim \beta '(\alpha ,\beta ,p,q)} ln ⁡ X {\displaystyle \ln X}
  • Если , то следует распределение Коши, которое эквивалентно распределению Стьюдента со степенями свободы 1. X ∼ β ′ ( 1 2 , 1 2 ) {\displaystyle X\sim \beta '\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)} ± X {\displaystyle \pm {\sqrt {X}}}

Примечания

  1. ^ Джонсон и др. (1995), стр. 248
  2. ^ Бургиньон, М.; Сантос-Нето, М.; де Кастро, М. (2021). «Новая модель регрессии для положительных случайных величин с перекошенным и длинным хвостом». Metron . 79 : 33–55 . doi :10.1007/s40300-021-00203-y. S2CID  233534544.
  3. ^ Дубей, Сатья Д. (декабрь 1970 г.). «Составные гамма-, бета- и F-распределения». Метрика . 16 : 27–31 . doi :10.1007/BF02613934. S2CID  123366328.

Ссылки

  • Джонсон, Н. Л., Коц, С., Балакришнан, Н. (1995). Непрерывные одномерные распределения , том 2 (2-е издание), Wiley. ISBN 0-471-58494-0 
  • Бургиньон, М.; Сантос-Нето, М.; де Кастро, М. (2021), «Новая модель регрессии для положительных случайных величин с перекошенным и длинным хвостом», Metron , 79 : 33–55 , doi :10.1007/s40300-021-00203-y, S2CID  233534544


  • Статья MathWorld
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Beta_prime_distribution&oldid=1263960463"