Неравенство Бесселя
Теорема об ортонормированных последовательностях

В математике , особенно в функциональном анализе , неравенство Бесселя — это утверждение о коэффициентах элемента в гильбертовом пространстве относительно ортонормированной последовательности . Неравенство было выведено Ф. В. Бесселем в 1828 году. [1] х {\displaystyle x}

Пусть будет гильбертовым пространством, и предположим, что есть ортонормированная последовательность в . Тогда для любого в имеет место ЧАС {\displaystyle H} е 1 , е 2 , . . . {\displaystyle e_{1},e_{2},...} ЧАС {\displaystyle H} х {\displaystyle x} ЧАС {\displaystyle H}

∑ к = 1 ∞ | ⟨ х , е к ⟩ | 2 ≤ ‖ х ‖ 2 , {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\left\vert \left\langle x,e_{k}\right\rangle \right\vert ^{2}\leq \left\Vert x\right\Vert ^{2},}

где ⟨·,·⟩ обозначает скалярное произведение в гильбертовом пространстве . [2] [3] [4] Если мы определим бесконечную сумму ЧАС {\displaystyle H}

х ′ = ∑ к = 1 ∞ ⟨ х , е к ⟩ е к , {\displaystyle x'=\sum _{k=1}^{\infty }\left\langle x,e_{k}\right\rangle e_{k},}

состоящий из "бесконечной суммы" векторов, разрешенных в направлении , неравенство Бесселя говорит нам, что этот ряд сходится . Можно думать, что существует , который можно описать в терминах потенциального базиса . х {\displaystyle x} е к {\displaystyle e_{k}} х ′ ∈ ЧАС {\displaystyle x'\in H} е 1 , е 2 , … {\displaystyle e_{1},e_{2},\dots }

Для полной ортонормированной последовательности (то есть для ортонормированной последовательности, которая является базисом ) мы имеем тождество Парсеваля , которое заменяет неравенство на равенство (и, следовательно, на ). х ′ {\displaystyle x'} х {\displaystyle x}

Неравенство Бесселя следует из тождества

0 ≤ ‖ х − ∑ к = 1 н ⟨ х , е к ⟩ е к ‖ 2 = ‖ х ‖ 2 − 2 ∑ к = 1 н Повторно ⁡ ⟨ х , ⟨ х , е к ⟩ е к ⟩ + ∑ к = 1 н | ⟨ х , е к ⟩ | 2 = ‖ х ‖ 2 − 2 ∑ к = 1 н | ⟨ х , е к ⟩ | 2 + ∑ к = 1 н | ⟨ х , е к ⟩ | 2 = ‖ х ‖ 2 − ∑ к = 1 н | ⟨ х , е к ⟩ | 2 , {\displaystyle {\begin{aligned}0\leq \left\|x-\sum _{k=1}^{n}\langle x,e_{k}\rangle e_{k}\right\|^{ 2}&=\|x\|^{2}-2\sum _{k=1}^{n}\operatorname {Re} \langle x,\langle x,e_{k}\rangle e_{k} \rangle +\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}\\&=\|x\|^{2}-2\sum _{ k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}+\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}\\&=\|x\|^{2}-\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2},\end {выровнено}}}

которое справедливо для любого натурального n .

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ "Неравенство Бесселя - Энциклопедия математики".
  2. ^ Сакс, Карен (2001-12-07). Начало функционального анализа. Springer Science & Business Media. стр. 82. ISBN 9780387952246.
  3. ^ Зорич, Владимир А.; Кук, Р. (2004-01-22). Математический анализ II. Springer Science & Business Media. С. 508–509. ISBN 9783540406334.
  4. ^ Веттерли, Мартин; Ковачевич, Елена; Гойал, Вивек К. (2014-09-04). Основы обработки сигналов. Cambridge University Press. стр. 83. ISBN 9781139916578.

В данной статье использованы материалы из книги «Неравенство Бесселя» на сайте PlanetMath , лицензированной по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

Получено с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Bessel%27s_inequality&oldid=1224427938"