неравенство Безиковича

В математике неравенство Безиковича — геометрическое неравенство, связывающее объем множества и расстояния между определенными подмножествами его границы. Неравенство было впервые сформулировано Абрамом Безиковичем . [1]

Рассмотрим n-мерный куб с римановой метрикой . Пусть [ 0 , 1 ] н {\displaystyle [0,1]^{n}} г {\displaystyle г}

г я = г я с т г ( { х я = 0 } , { х я = 1 } ) {\displaystyle d_{i}=dist_{g}(\{x_{i}=0\},\{x_{i}=1\})}

обозначают расстояние между противоположными гранями куба. Неравенство Безиковича утверждает, что

∏ я г я ≤ В о л ( [ 0 , 1 ] н , г ) {\displaystyle \prod _{i}d_{i}\leq Vol([0,1]^{n},g)}

Неравенство можно обобщить следующим образом. Для заданного n-мерного риманова многообразия M со связной границей и гладкого отображения , такого, что ограничение f на границу M является отображением степени 1 на , определим ф : М → [ 0 , 1 ] н {\displaystyle f:M\rightarrow [0,1]^{n}} ∂ [ 0 , 1 ] н {\displaystyle \partial [0,1]^{n}}

г я = г я с т М ( ф − 1 ( { х я = 0 } ) , ф − 1 ( { х я = 1 } ) ) {\displaystyle d_{i}=dist_{M}(f^{-1}(\{x_{i}=0\}),f^{-1}(\{x_{i}=1\}))}

Затем . ∏ я г я ≤ В о л ( М ) {\displaystyle \prod _{i}d_{i}\leq Vol(M)}

Неравенство Безиковича использовалось для доказательства систолических неравенств на поверхностях. [2] [3]

Примечания

  1. ^ А. С. Безикович, О двух задачах Лёвнера, J. ​​London Math. Soc. 27 (1952) 141–144.
  2. ^ Михаил Громов. Заполнение римановых многообразий. Журнал дифференциальной геометрии, 18 (1983), № 1, 1-147. doi :10.4310/jdg/1214509283
  3. ^ П. Папашоглу, Константы Чигера поверхностей и изопериметрические неравенства, Trans. Amer. Math. Soc. 361 (2009) 5139–5162.

Ссылки

  • Бураго Дмитрий , Бураго Юрий и Иванов Сергей. (2001). Курс метрической геометрии. Аспирантура по математике 33.
  • Бураго Ю. и Залгаллер В.А. Геометрические неравенства. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Основные принципы математических наук], 285. Серия Спрингера в советской математике. Шпрингер-Верлаг, Берлин, 1988 г.
  • Миша Громов. Метрические структуры для римановых и неримановых пространств . Основано на французском оригинале 1981 года. С приложениями М. Каца, П. Пансу и С. Семмеса. Перевод с французского Шона Майкла Бейтса. Progress in Mathematics, 152. Birkhäuser Boston, Inc., Бостон, Массачусетс, 1999. xx+585 стр. ISBN 0-8176-3898-9 . 
  • Бураго, Д. и Иванов, С. (2002). Об асимптотическом объеме финслеровых торов, минимальных поверхностях в нормированных пространствах и симплектическом заполняющем объеме. Annals of Mathematics, 156(3), вторая серия, 891-914. doi:10.2307/3597285
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Besicovitch_inequality&oldid=1246627110"