Полином Бернштейна–Сато

В этой статье есть встроенные цитаты , но они не отформатированы должным образом . Пожалуйста, улучшите эту статью, исправив их . Ссылки в скобках устарели ; преобразуйте их в сокращенные сноски. ( Май 2024 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

В математике полином Бернштейна –Сато — это полином, связанный с дифференциальными операторами , независимо введенный Джозефом Бернштейном  (1971) и Микио Сато и Такуро Шинтани (1972, 1974), Сато (1990). Он также известен как b-функция , b-полином и полином Бернштейна , хотя он не связан с полиномами Бернштейна, используемыми в теории приближений . Он имеет приложения к теории особенностей , теории монодромии и квантовой теории поля .

Северино Коутиньо (1995) дает элементарное введение, в то время как Арман Борель  (1987) и Масаки Касивара  (2003) дают более продвинутые объяснения.

Если — многочлен от нескольких переменных, то существует ненулевой многочлен и дифференциальный оператор с многочленными коэффициентами, такие, что${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle б(с)}$${\displaystyle P(s)}$

${\displaystyle P(s)f(x)^{s+1}=b(s)f(x)^{s}.}$

Полином Бернштейна–Сато является моническим полиномом наименьшей степени среди таких полиномов . Его существование можно показать с помощью понятия голономных D-модулей .${\displaystyle б(с)}$

Кашивара (1976) доказал, что все корни полинома Бернштейна–Сато являются отрицательными рациональными числами .

Полином Бернштейна–Сато также может быть определен для произведений степеней нескольких полиномов (Sabbah 1987). В этом случае это произведение линейных множителей с рациональными коэффициентами. ^{[ необходима цитата ]}

Неро Будур, Мирча Мустаца и Морихико Сайто  (2006) обобщили многочлен Бернштейна–Сато на произвольные многообразия.

Обратите внимание, что полином Бернштейна–Сато можно вычислить алгоритмически. Однако такие вычисления в общем случае сложны. Существуют реализации связанных алгоритмов в системах компьютерной алгебры RISA/Asir, Macaulay2 и SINGULAR .

Даниэль Андрес, Виктор Левандовский и Хорхе Мартин-Моралес (2009) представили алгоритмы вычисления полинома Бернштейна–Сато аффинного многообразия вместе с реализацией в системе компьютерной алгебры SINGULAR .

Кристина Беркеш и Антон Лейкин (2010) описали некоторые алгоритмы вычисления полиномов Бернштейна–Сато на компьютере.

• Если тогда${\displaystyle f(x)=x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\,}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\partial _{i}^{2}f(x)^{s+1}=4(s+1)\left(s+{\frac {n}{2}}\right)f(x)^{s}}$

поэтому полином Бернштейна–Сато равен

${\displaystyle b(s)=(s+1)\left(s+{\frac {n}{2}}\right).}$

• Если тогда${\displaystyle f(x)=x_{1}^{n_{1}}x_{2}^{n_{2}}\cdots x_{r}^{n_{r}}}$

${\displaystyle \prod _{j=1}^{r}\partial _{x_{j}}^{n_{j}}\quad f(x)^{s+1}=\prod _{j=1}^{r}\prod _{i=1}^{n_{j}}(n_{j}s+i)\quad f(x)^{s}}$

так

${\displaystyle b(s)=\prod _{j=1}^{r}\prod _{i=1}^{n_{j}}\left(s+{\frac {i}{n_{j}}}\right).}$

• Полином Бернштейна–Сато от x ²  +  y ³ равен

${\displaystyle (s+1)\left(s+{\frac {5}{6}}\right)\left(s+{\frac {7}{6}}\right).}$

• Если t _ij — n ² переменных, то полином Бернштейна–Сато det( t _ij ) задается выражением

${\displaystyle (s+1)(s+2)\cdots (s+n)}$

что следует из

${\displaystyle \Омега (\det(t_{ij})^{s})=s(s+1)\cdots (s+n-1)\det(t_{ij})^{s-1}}$

где Ω — омега-процесс Кэли , который, в свою очередь, следует из тождества Капелли .

• Если - неотрицательный полином, то , изначально определенный для s с неотрицательной действительной частью, может быть аналитически продолжен до мероморфной функции распределения от s путем многократного использования функционального уравнения${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f(x)^{s}}$

${\displaystyle f(x)^{s}={1 \over b(s)}P(s)f(x)^{s+1}.}$

Он может иметь полюса, когда b ( s  +  n ) равно нулю для неотрицательного целого числа n .

• Если f ( x ) является многочленом, не тождественно равным нулю, то он имеет обратный g , который является распределением; ^[a] другими словами, f g  = 1 как распределения. Если f ( x ) неотрицательно, обратный можно построить с помощью многочлена Бернштейна–Сато, взяв постоянный член разложения Лорана f ( x ) ^s при s  = −1. Для произвольного f ( x ) просто возьмите обратный${\displaystyle {\bar {f}}(x)}$${\displaystyle {\bar {f}}(x)f(x).}$
• Теорема Мальгранжа–Эренпрайса утверждает, что каждый дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами имеет функцию Грина . Применяя преобразования Фурье, это следует из того факта, что каждый многочлен имеет обратный по распределению оператор, что доказано в предыдущем абзаце.
• Павел Этингоф  (1999) показал, как использовать полином Бернштейна для строгого определения размерной регуляризации в массивном евклидовом случае.
• Функциональное уравнение Бернштейна-Сато используется в вычислениях некоторых более сложных видов сингулярных интегралов, встречающихся в квантовой теории поля Федор Ткачёв (1997). Такие вычисления необходимы для точных измерений в физике элементарных частиц, как это практикуется, например, в ЦЕРНе (см. статьи, цитирующие (Ткачёв 1997)). Однако наиболее интересные случаи требуют простого обобщения функционального уравнения Бернштейна-Сато на произведение двух полиномов , где x имеет 2-6 скалярных компонент, а пара полиномов имеет порядки 2 и 3. К сожалению, определение методом грубой силы соответствующих дифференциальных операторов и для таких случаев до сих пор оказалось чрезмерно громоздким. Разработка способов обойти комбинаторный взрыв алгоритма грубой силы имела бы большую ценность в таких приложениях.${\displaystyle (f_{1}(x))^{s_{1}}(f_{2}(x))^{s_{2}}}$${\displaystyle P(s_{1},s_{2})}$${\displaystyle b(s_{1},s_{2})}$

• Андрес, Даниэль; Левандовский, Виктор; Мартин-Моралес, Хорхе (2009). "Главное пересечение и полином Бернштейна-Сато аффинного многообразия". Труды международного симпозиума 2009 года по символическим и алгебраическим вычислениям . Ассоциация вычислительной техники . С. 231–238. arXiv : 1002.3644 . doi : 10.1145/1576702.1576735. ISBN 9781605586090. S2CID  2747775.
• Беркеш, Кристин; Лейкин, Антон (2010). «Алгоритмы для полиномов Бернштейна--Сато и идеалов множителей». Труды Международного симпозиума по символическим и алгебраическим вычислениям 2010 года . С. 99–106. arXiv : 1002.1475 . doi :10.1145/1837934.1837958. ISBN 9781450301503. S2CID  33730581.
• Бернстайн, Джозеф (1971). «Модули над кольцом дифференциальных операторов. Изучение фундаментальных решений уравнений с постоянными коэффициентами». Функциональный анализ и его приложения . 5 (2): 89–101. doi :10.1007/BF01076413. MR  0290097. S2CID  124605141.
• Будур, Неро; Мустаца, Мирча ; Сайто, Морихико (2006). «Многочлены Бернштейна-Сато произвольных многообразий». Compositio Mathematica . 142 (3): 779–797. arXiv : math/0408408 . Bibcode : 2004math......8408B. doi : 10.1112/S0010437X06002193. MR  2231202. S2CID  6955564.
• Борель, Арманд (1987). Алгебраические D-модули . Перспективы в математике. Том 2. Бостон, Массачусетс: Academic Press . ISBN 0-12-117740-8.
• Coutinho, Severino C. (1995). A primer of algebraic D-modules . London Mathematical Society Student Texts. Vol. 33. Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press . ISBN 0-521-55908-1.
• Этингоф, Павел (1999). «Заметка о размерной регуляризации». Квантовые поля и струны: курс для математиков. Том 1. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. С. 597–607. ISBN 978-0-8218-2012-4. МР  1701608.(Принстон, Нью-Джерси, 1996/1997)
• Кашивара, Масаки (1976). «B-функции и голономные системы. Рациональность корней B-функций». Inventiones Mathematicae . 38 (1): 33–53. Bibcode :1976InMat..38...33K. doi :10.1007/BF01390168. MR  0430304. S2CID  17103403.
• Кашивара, Масаки (2003). D-модули и микролокальное исчисление . Переводы математических монографий. Том 217. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-2766-6. МР  1943036.
• Саббах, Клод (1987). «Proximé évanescente. I. Полярная структура D-модуля». Математическая композиция . 62 (3): 283–328. МР  0901394.
• Сато, Микио ; Шинтани, Такуро (1972). «О дзета-функциях, связанных с предоднородными векторными пространствами». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 69 (5): 1081–1082. Bibcode : 1972PNAS...69.1081S. doi : 10.1073/pnas.69.5.1081 . JSTOR  61638. MR  0296079. PMC  426633. PMID  16591979 .
• Сато, Микио ; Синтани, Такуро (1974). «О дзета-функциях, связанных с предоднородными векторными пространствами». Annals of Mathematics . Вторая серия. 100 (1): 131–170. doi :10.2307/1970844. JSTOR  1970844. MR  0344230.
• Сато, Микио (1990) [1970]. "Теория предоднородных векторных пространств (алгебраическая часть)". Nagoya Mathematical Journal . 120 : 1–34. doi : 10.1017/s0027763000003214 . MR  1086566. Английский перевод лекции Сато из заметки Шинтани
• Ткачёв, Фёдор В. (1997). «Алгебраические алгоритмы для многоконтурных вычислений. Первые 15 лет. Что дальше?». Nucl. Instrum. Methods A . 389 (1–2): 309–313. arXiv : hep-ph/9609429 . Bibcode :1997NIMPA.389..309T. doi :10.1016/S0168-9002(97)00110-1. S2CID  37109930.