пространство Берковича

В математике пространство Берковича , введенное Берковичем  (1990), является версией аналитического пространства над неархимедовым полем (например, p -адическим полем ), уточняя понятие Тейта о жестком аналитическом пространстве .

В комплексном случае алгебраическая геометрия начинается с определения комплексного аффинного пространства как Для каждого мы определяем кольцо аналитических функций на как кольцо голоморфных функций , т.е. функций на , которые можно записать в виде сходящегося степенного ряда в окрестности каждой точки .${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$${\displaystyle U\subset \mathbb {C} ^{n},}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U},}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$

Затем мы определяем локальное модельное пространство для${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}\in {\mathcal {O}}_{U}}$

${\displaystyle X:=\{x\in U:f_{1}(x)=\cdots =f_{n}(x)=0\}}$

с Комплексное аналитическое пространство — это локально окольцованное -пространство , которое локально изоморфно локальному модельному пространству.${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}={\mathcal {O}}_{U}/(f_{1},\ldots ,f_{n}).}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle (Y,{\mathcal {O}}_{Y})}$

Когда — полное неархимедово поле, мы имеем, что полностью несвязно . В таком случае, если мы продолжим с тем же определением, что и в комплексном случае, мы не получим хорошую аналитическую теорию. Беркович дал определение, которое дает хорошие аналитические пространства над таким , а также возвращает обычное определение над${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbb {C} .}$

Помимо определения аналитических функций над неархимедовыми полями, пространства Берковича также имеют хорошее базовое топологическое пространство .

Полунорма на кольце — это непостоянная функция такая, что${\displaystyle A}$${\displaystyle |\!-\!|:A\to \mathbb {R} _{\geq 0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|0|&=0\\|1|&=1\\|f+g|&\leqslant |f|+|g|\\|fg|&\leqslant |f||g|\end{aligned}}}$

для всех . Он называется мультипликативным , если и называется нормой , если подразумевает .${\displaystyle f,g\in A}$${\displaystyle |fg|=|f||g|}$${\displaystyle |f|=0}$${\displaystyle f=0}$

Если – нормированное кольцо с нормой , то спектр Берковича кольца , обозначаемый , представляет собой множество мультипликативных полунорм на , ограниченных нормой кольца .${\displaystyle A}$${\displaystyle \|\!-\!\|}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathcal {M}}(A)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

Спектр Берковича снабжен самой слабой топологией, такой что для любого отображения${\displaystyle f\in A}$

${\displaystyle {\begin{cases}\varphi _{f}:{\mathcal {M}}(A)\to \mathbb {R} \\|\cdot |\mapsto |f|\end{cases}}}$

является непрерывным .

Спектр Берковича нормированного кольца непуст , если не равен нулю , и компактен , если является полным.${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

Если — точка спектра , то элементы с образуют простой идеал . Поле дробей частного по этому простому идеалу является нормированным полем, пополнение которого — полное поле с мультипликативной нормой; это поле обозначается , а образ элемента обозначается . Поле порождается образом .${\displaystyle x}$${\displaystyle A}$${\displaystyle f}$${\displaystyle |f|_{x}=0}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathcal {H}}(x)}$${\displaystyle f\in A}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle {\mathcal {H}}(x)}$${\displaystyle A}$

Наоборот, ограниченное отображение из в полное нормированное поле с мультипликативной нормой, которое генерируется образом, дает точку в спектре .${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

Спектральный радиус${\displaystyle f,}$

${\displaystyle \rho (f)=\lim _{n\to \infty }\left\|f^{n}\right\|^{\frac {1}{n}}}$

равно

${\displaystyle \sup _{x\in {\mathcal {M}}(A)}|f|_{x}.}$

• Спектр поля, полного относительно оценки, представляет собой одну точку, соответствующую его оценке.
• Если — коммутативная C*-алгебра , то спектр Берковича совпадает со спектром Гельфанда . Точка спектра Гельфанда по сути является гомоморфизмом в , а ее абсолютное значение — соответствующая полунорма в спектре Берковича.${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {C} }$
• Теорема Островского показывает, что спектр Берковича целых чисел (с обычной нормой) состоит из степеней обычной оценки, для простого числа или . Если является простым числом, то и если то Когда все они совпадают с тривиальной оценкой, которая есть на всех ненулевых элементах. Для каждого (простого числа или бесконечности) мы получаем ветвь, гомеоморфную действительному интервалу , ветви встречаются в точке, соответствующей тривиальной оценке. Открытые окрестности тривиальных оценок таковы, что они содержат все, кроме конечного числа ветвей, и их пересечение с каждой ветвью открыто.${\displaystyle |f|_{p}^{\varepsilon }}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle p}$${\displaystyle 0\leqslant \varepsilon \leqslant \infty ,}$${\displaystyle p=\infty }$${\displaystyle 0\leqslant \varepsilon \leqslant 1.}$${\displaystyle \varepsilon =0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle p}$

Если — поле с нормированием , то n -мерное аффинное пространство Берковича над , обозначаемое , представляет собой множество мультипликативных полунорм относительно продолжения нормы на .${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}}$${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$${\displaystyle k}$

Аффинное пространство Берковича снабжено слабейшей топологией, такой, что для любого отображение, переводящее в , непрерывно. Это не спектр Берковича, а возрастающее объединение спектров Берковича колец степенных рядов, сходящихся в некотором шаре (поэтому оно локально компактно).${\displaystyle f\in k}$${\displaystyle \varphi _{f}:\mathbb {A} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle |\cdot |\in \mathbb {A} ^{n}}$${\displaystyle |f|}$

Мы определяем аналитическую функцию на открытом подмножестве как отображение${\displaystyle U\subset \mathbb {A} ^{n}}$

${\displaystyle f:U\to \prod _{x\in U}{\mathcal {H}}(x)}$

с , что является локальным пределом рациональных функций, т.е. таким, что каждая точка имеет открытую окрестность со следующим свойством:${\displaystyle f(x)\in {\mathcal {H}}(x)}$${\displaystyle x\in U}$${\displaystyle U'\subset U}$

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\,\exists g,h\in {\mathcal {k}}[x_{1},\ldots ,x_{n}]:\qquad \forall x'\in U'\left(h(x')\neq 0\ \,\land \ \left|f(x')-{\frac {g(x')}{h(x')}}\right|<\varepsilon \right).}$

Продолжая с теми же определениями, что и в комплексном случае, можно определить кольцо аналитических функций, локальное модельное пространство и аналитические пространства над любым полем с оценкой (также можно определить подобные объекты над нормированными кольцами). Это дает разумные объекты для полей, полных относительно нетривиальной оценки, и кольца целых чисел${\displaystyle \mathbb {Z} .}$

В случае, если это даст те же объекты, что описаны в разделе мотивации.${\displaystyle k=\mathbb {C} ,}$

Не все эти аналитические пространства являются аналитическими пространствами над неархимедовыми полями.

Одномерное аффинное пространство Берковича называется аффинной прямой Берковича . Когда — алгебраически замкнутое неархимедово поле, полное относительно его оценки, можно описать все точки аффинной прямой.${\displaystyle k}$

Существует каноническое вложение .${\displaystyle k\hookrightarrow \mathbb {A} _{k}^{1}}$

Пространство является локально компактным, хаусдорфовым и однозначно линейно связным топологическим пространством, содержащим в качестве плотного подпространства .${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$${\displaystyle k}$

Можно также определить проективную прямую Берковича , присоединив к , подходящим образом, точку на бесконечности. Полученное пространство является компактным, хаусдорфовым и однозначно линейно связным топологическим пространством, которое содержит в качестве плотного подпространства.${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}(k)}$

• Бейкер, Мэтью; Конрад, Брайан ; Дасгупта, Самит ; Кедлая, Киран С .; Тейтельбаум, Джереми (2008), Такур, Динеш С .; Сэвитт, Дэвид (ред.), p-адическая геометрия, University Lecture Series, т. 45, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-4468-7, г-н  2482343
• Бейкер, Мэтью; Румели, Роберт (2010), Теория потенциала и динамика на проективной прямой Берковича, Математические обзоры и монографии, т. 159, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-4924-8, г-н  2599526
• Беркович, Владимир Г. (1990), Спектральная теория и аналитическая геометрия над неархимедовыми полями, Математические обзоры и монографии, т. 33, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-1534-2, МР  1070709
• Беркович, Владимир Г. (1993), «Этальные когомологии для неархимедовых аналитических пространств», Publications Mathématiques de l'IHÉS (78): 5–161 , ISSN  1618-1913, MR  1259429

• Пространство Берковича в n Lab
• Летняя школа Института математики де Жюсье «Пространства Берковича» 2010 г.