Неравенство Бендиксона

В математике неравенство Бендиксона — количественный результат в области матриц, полученный Иваром Бендиксоном в 1902 году. ^[1]^[2] Неравенство накладывает ограничения на мнимые и действительные части характеристических корней (собственных значений) действительных матриц. ^[3] Частный случай этого неравенства приводит к результату, что характеристические корни действительной симметричной матрицы всегда действительны.

Неравенство, относящееся к мнимым частям характеристических корней действительных матриц (теорема I в ^[1] ), формулируется как:

Пусть — действительная матрица и . Если — любой характеристический корень , то $A=\left(a_{ij}\right)$ $n\times n$ $\alpha =\max _{1\leq i,j\leq n}{\frac {1}{2}}\left|a_{ij}-a_{ji}\right|$ $\лямбда$ $А$

\left|\operatorname {Im} (\lambda )\right|\leq \alpha {\sqrt {\frac {n(n-1)}{2}}}.\,{}

^[4]

Если симметрично , то и, следовательно, неравенство подразумевает, что должно быть действительным. $А$ $\альфа =0$ $\лямбда$

Неравенство, относящееся к действительным частям характеристических корней действительных матриц (теорема II в ^[1] ), формулируется как:

Пусть и — наименьший и наибольший характеристические корни , тогда $м$ $М$ ${\tfrac {A+A^{H}}{2}}$

m\leq \operatorname {Re} (\lambda )\leq M

.

Смотрите также

Теорема Гершгорина о круге

Ссылки

^ abc Бендиксон, Ивар (1902). «Sur les racines d'une Equation Fundamentale». Акта Математика . 25 : 359–365 . doi : 10.1007/bf02419030 . ISSN 0001-5962. S2CID 121330188.
^ Мирский, Л. (3 декабря 2012 г.). Введение в линейную алгебру. Courier Corporation. стр. 210. ISBN 9780486166445. Получено 14 октября 2018 г.
^ Фарнелл, AB (1944). «Пределы для характеристических корней матрицы». Бюллетень Американского математического общества . 50 (10): 789– 794. doi : 10.1090/s0002-9904-1944-08239-6 . ISSN 0273-0979.
^ Аксельссон, Ове (29 марта 1996 г.). Методы итерационного решения. Cambridge University Press. стр. 633. ISBN 9780521555692. Получено 14 октября 2018 г.

[:0-1] Бендиксон, Ивар (1902). «Sur les racines d'une Equation Fundamentale». Акта Математика . 25 : 359–365 . doi : 10.1007/bf02419030 . ISSN 0001-5962. S2CID 121330188.

[2] Мирский, Л. (3 декабря 2012 г.). Введение в линейную алгебру. Courier Corporation. стр. 210. ISBN 9780486166445. Получено 14 октября 2018 г.

[3] Фарнелл, AB (1944). «Пределы для характеристических корней матрицы». Бюллетень Американского математического общества . 50 (10): 789– 794. doi : 10.1090/s0002-9904-1944-08239-6 . ISSN 0273-0979.

[4] Аксельссон, Ове (29 марта 1996 г.). Методы итерационного решения. Cambridge University Press. стр. 633. ISBN 9780521555692. Получено 14 октября 2018 г.