Байесовская оценка шаблонов в вычислительной анатомии

Основной автор этой статьи, по-видимому, тесно связан с ее темой. Возможно, потребуется очистка для соответствия политике Википедии в отношении контента, в частности нейтральной точки зрения . Пожалуйста, обсудите подробнее на странице обсуждения . ( Декабрь 2017 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

Статистический анализ формы и статистическая теория формы в вычислительной анатомии (CA) выполняются относительно шаблонов, поэтому это локальная теория статистики формы. Оценка шаблона в вычислительной анатомии из популяций наблюдений является фундаментальной операцией, повсеместно распространенной в дисциплине. Несколько методов оценки шаблона, основанных на байесовской вероятности и статистике в модели случайных орбит CA, появились для подмногообразий ^{[1] [2]} и плотных объемов изображений. ^[3]

Линейная алгебра является одним из центральных инструментов современной инженерии. Центральным для линейной алгебры является понятие орбиты векторов, в которой матрицы образуют группы (матрицы с обратными и тождественными), которые действуют на векторы. В линейной алгебре уравнения, описывающие элементы орбиты, векторы линейны относительно векторов, на которые действуют матрицы. В вычислительной анатомии пространство всех форм и фигур моделируется как орбита, похожая на орбиту векторов в линейной алгебре, однако группы не действуют линейно, как матрицы, а фигуры и формы не являются аддитивными. В вычислительной анатомии сложение по существу заменяется законом композиции.

Центральная группа, действующая CA, определенная на объемах в, представляет собой диффеоморфизмы , которые являются отображениями с 3-компонентами , законом композиции функций , с обратным .${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}\doteq Дифференциал}$${\displaystyle \phi (\cdot )=(\phi _{1}(\cdot ),\phi _{2}(\cdot ),\phi _{3}(\cdot ))}$${\displaystyle \phi \circ \phi ^{\prime }(\cdot )\doteq \phi (\phi ^{\prime }(\cdot ))}$${\displaystyle \phi \circ \phi ^{-1}(\cdot )=\phi (\phi ^{-1}(\cdot ))=id}$

Группы и группы знакомы инженерному сообществу благодаря всеобщей популяризации и стандартизации линейной алгебры как базовой модели.

Популярное групповое действие — на скалярных изображениях, с действием справа через инверсию.${\displaystyle I(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}}$

${\displaystyle \phi \cdot I(x)=I\circ \phi ^{-1}(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}.}$

Для подмногообразий , параметризованных картой или погружением , диффеоморфное действие — поток положения${\displaystyle X\subset {\mathbb {R} }^{3}\in {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle m(u),u\in U}$

${\displaystyle \phi \cdot m(u)\doteq \phi \circ m(u),u\in U.}$

Определено несколько групповых действий в вычислительной анатомии .

Для изучения деформируемой формы в КА более общая группа диффеоморфизмов была группой выбора, которая является бесконечномерным аналогом. Группы диффеоморфизмов высокой размерности, используемые в вычислительной анатомии, генерируются посредством гладких потоков , которые удовлетворяют лагранжевой и эйлеровой спецификации полей потоков, удовлетворяющих обыкновенному дифференциальному уравнению:${\displaystyle \phi _{t},t\in [0,1]}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\phi _{t}=v_{t}\circ \phi _{t},\ \phi _{0}=id\ ;}$

Лагранжев поток

с векторными полями на называемыми эйлеровой скоростью частиц в положении потока. Векторные поля являются функциями в функциональном пространстве, смоделированном как гладкое гильбертово пространство с векторными полями, имеющими 1-непрерывную производную . Для , с обратным для потока, заданным как${\displaystyle v\doteq (v_{1},v_{2},v_{3})}$${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle v_{t}={\dot {\phi }}_{t}\circ \phi _{t}^{-1},t\in [0,1]}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\phi _{t}^{-1}=-(D\phi _{t}^{-1})v_{t},\ \phi _{0}^{-1}=id\ ,}$

Eulerianflow

и матрица Якоби для потоков задана как${\displaystyle 3\times 3}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \ D\phi \doteq \left({\frac {\partial \phi _{i}}{\partial x_{j}}}\right).}$

Потоки были впервые введены ^{[4] [5]} для больших деформаций при сопоставлении изображений; — мгновенная скорость частицы в момент времени . с векторными полями, называемыми эйлеровой скоростью частиц в положении потока. Подход к моделированию, используемый в CA, обеспечивает непрерывное условие дифференцируемости векторных полей путем моделирования пространства векторных полей как воспроизводящего ядра гильбертова пространства (RKHS) с нормой, определяемой 1-1, дифференциальным оператором , обратным Грину . Норма в соответствии с тем, где для обобщенной функции или распределения, то . Поскольку — дифференциальный оператор, конечность квадрата нормы включает производные от дифференциального оператора, подразумевая гладкость векторных полей.${\displaystyle {\dot {\phi }}_{t}(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$${\displaystyle A:V\rightarrow V^{*}}$${\displaystyle K=A^{-1}}$${\displaystyle \|v\|_{V}^{2}\doteq \int _{X}Av\cdot vdx,v\in V,}$${\displaystyle \sigma (v)\doteq Av\in V^{*}}$${\displaystyle (\sigma \mid w)\doteq \int _{{\mathbb {R} }^{3}}\sum _{i}w_{i}(x)\sigma _{i}(dx)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \int _{X}Av\cdot vdx<\infty }$

Для обеспечения гладких потоков диффеоморфизмов с обратными, векторные поля должны быть по крайней мере 1-временно непрерывно дифференцируемыми в пространстве ^{[6] [7]} , которые моделируются как элементы гильбертова пространства с использованием теорем вложения Соболева , так что каждый элемент имеет 3-квадратно-интегрируемые производные. Таким образом, вкладывают гладко в 1-временно непрерывно дифференцируемые функции. ^{[6] [7]} Группа диффеоморфизмов — это потоки с векторными полями, абсолютно интегрируемыми в норме Соболева:${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$${\displaystyle v_{i}\in H_{0}^{3},i=1,2,3,}$${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$

${\displaystyle Diff_{V}\doteq \{\varphi =\phi _{1}:{\dot {\phi }}_{t}=v_{t}\circ \phi _{t},\phi _{0}=id,\int _{0}^{1}\|v_{t}\|_{V}\,dt<\infty \}\ .}$

Группа Диффеоморфизмов

Центральной статистической моделью вычислительной анатомии в контексте медицинской визуализации является модель источника-канала теории Шеннона ; ^{[8] [9] [10]} источник - это деформируемый шаблон изображений , выходы каналов - это датчики изображений с наблюдаемыми . Изменение анатомических конфигураций моделируется отдельно от медицинских методов визуализации: компьютерной аксиальной томографической машины, машины МРТ , ПЭТ- машины и других. Теория Байеса моделирует априорную вероятность на источнике изображений на и условную плотность на наблюдаемом изображении , обусловленную на . Для изображений с действием группы диффеоморфизма априорная вероятность на группе индуцирует априорную вероятность на изображениях , записанную как плотности, логарифмически-апостериорная вероятность принимает вид${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$${\displaystyle I^{D}\in {\mathcal {I}}^{\mathcal {D}}}$${\displaystyle \pi _{\mathcal {I}}(\cdot )}$${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$${\displaystyle p(\cdot |I)\ {\text{on}}\ I^{D}\in {\mathcal {I}}^{\mathcal {D}}}$${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle I\doteq \phi \cdot I_{\mathrm {temp} },\phi \in Diff_{V}}$${\displaystyle \pi _{Diff_{V}}(\cdot )}$${\displaystyle \pi _{\mathcal {I}}(\cdot )}$

${\displaystyle \log p(\phi \cdot I\mid I^{D})\simeq \log p(I^{D}\mid \phi \cdot I)+\log \pi _{\operatorname {Diff} _{V}}(\phi )\ .}$

Оценка максимальной апостериорной оценки (MAP) является центральной в современной статистической теории . Параметры интереса принимают множество форм, включая (i) тип заболевания, например, нейродегенеративные или нейроразвивающие заболевания, (ii) тип структуры, например, корковые или подкорковые структуры в задачах, связанных с сегментацией изображений, и (iii) реконструкция шаблона из популяций. Учитывая наблюдаемое изображение , оценка MAP максимизирует апостериорную:${\displaystyle \theta \in \Theta }$${\displaystyle I^{D}}$

${\displaystyle {\hat {\theta }}\doteq \arg \max _{\theta \in \Theta }\log p(\theta \mid I^{D}).}$

Это требует вычисления условных вероятностей . Модель орбиты множественного атласа рандомизирует счетный набор атласов . Модель изображений на орбите принимает форму многомодального распределения смеси${\displaystyle p(\theta \mid I^{D})={\frac {p(I^{D},\theta )}{p(I^{D})}}}$${\displaystyle \{I_{a},a\in {\mathcal {A}}\}}$

${\displaystyle p(I^{D},\theta )=\textstyle \sum _{a\in {\mathcal {A}}}p(I^{D},\theta \mid I_{a})\pi _{\mathcal {A}}(a)\ .}$

Изучение подкорковой нейроанатомии было в центре внимания многих исследований. После первоначальных публикаций Чернански и коллег об изменении гиппокампа при шизофрении, ^{[14] [15] [16] [17]} болезни Альцгеймера, ^{[18] [19] [20]} и депрессии, ^{[21] [22]} многие статистические исследования нейроанатомической формы были завершены с использованием шаблонов, созданных из всех подкорковых структур для депрессии, ^[23] болезни Альцгеймера, ^{[11] [12] [24 ] [25] [26] [27]} биполярного расстройства, СДВГ, ^[28] аутизма, ^[29] и болезни Хантингтона. ^{[30] [31]} Шаблоны были созданы с использованием данных оценки байесовских шаблонов, полученных Ма, Юнесом и Миллером. ^[32]

На прилагаемом рисунке показан пример шаблонов подкорковых структур, созданных с помощью магнитно-резонансной томографии с взвешиванием T1 Тангом и др. ^{[11] [12] [13]} для изучения болезни Альцгеймера в популяции субъектов ADNI.

В настоящее время проведено множество исследований гипертрофии сердца и роли структурных интеграций в функциональной механике сердца. Сиамак Ардекани работал над популяциями анатомии сердца, реконструируя системы координат атласа из популяций. ^{[34] [35] [36]} На рисунке справа показан метод вычислительной анатомии сердца, используемый для выявления региональных различий в радиальной толщине в конечно-систолической фазе сердца между пациентами с гипертрофической кардиомиопатией (слева) и гипертонической болезнью сердца (справа). Цветная карта, размещенная на общем шаблоне поверхности (серая сетка), представляет область (базилярную перегородку и переднюю эпикардиальную стенку), которая в среднем имеет значительно большую радиальную толщину у пациентов с гипертрофической кардиомиопатией по сравнению с гипертонической болезнью сердца (ссылка ниже). ^[33]

Генерация шаблонов эмпирическим путем из популяций является фундаментальной операцией, повсеместно распространенной в этой дисциплине. Несколько методов, основанных на байесовской статистике, появились для подмногообразий и плотных объемов изображений. Для случая плотного объема изображений, учитывая наблюдаемую, проблема состоит в оценке шаблона в орбите плотных изображений . Процедура Ма берет начальный гипершаблон в качестве отправной точки и моделирует шаблон в орбите при неизвестном для оценки диффеоморфизме , с параметрами для оценки логарифмическими координатами , определяющими геодезическое отображение гипершаблона .${\displaystyle I^{D_{1}},I^{D_{2}},\dots }$${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$${\displaystyle I_{0}\in {\mathcal {I}}}$${\displaystyle I\doteq \phi _{0}\cdot I_{0}}$${\displaystyle \theta \doteq v_{0}}$${\displaystyle \mathrm {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{0})\cdot I_{0}=I\in {\mathcal {I}}}$

В байесовской модели случайных орбит вычислительной анатомии наблюдаемые изображения МРТ моделируются как условно гауссовское случайное поле со средним полем , со случайным неизвестным преобразованием шаблона. Задача оценки MAP заключается в оценке неизвестного шаблона с учетом наблюдаемых изображений МРТ.${\displaystyle I^{D_{i}}}$${\displaystyle \phi _{i}\cdot I}$${\displaystyle \phi _{i}}$${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$

Процедура Ма для плотных изображений берет начальный гипершаблон в качестве отправной точки и моделирует шаблон на орбите под неизвестным для оценки диффеоморфизмом . Наблюдаемые моделируются как условные случайные поля, условно -гауссовское случайное поле со средним полем . Неизвестная переменная, которая должна быть явно оценена MAP, — это отображение гипершаблона , а другие отображения рассматриваются как помехи или скрытые переменные, которые интегрируются с помощью процедуры Байеса. Это достигается с помощью алгоритма максимизации ожидания (EM) .${\displaystyle I_{0}\in {\mathcal {I}}}$${\displaystyle I\doteq \phi _{0}\cdot I_{0}}$${\displaystyle I^{D_{i}}}$${\displaystyle \phi _{i}\cdot I\doteq \phi _{i}\cdot \phi _{0}\cdot I_{0}}$${\displaystyle \phi _{0}}$

Модель орбиты используется путем связывания неизвестных потоков, которые должны быть оценены, с их логарифмическими координатами через риманов геодезический логарифм и экспоненциальный для вычислительной анатомии начальное векторное поле в касательном пространстве в тождестве так, что , с отображением гипершаблона. Задача оценки MAP становится${\displaystyle v_{i},i=1,\dots }$ ${\displaystyle \mathrm {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{i})\doteq \phi _{i}}$${\displaystyle \mathrm {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{0})}$

${\displaystyle \max _{v_{0}}p(I^{D},\theta =v_{0})=\int p(I^{D},\theta =v_{0}\mid v_{1},v_{2},\dots )\pi (v_{1},v_{2},\dots )\,dv}$

Алгоритм EM принимает в качестве полных данных координаты векторного поля, параметризующие отображение, и итеративно вычисляет условное ожидание${\displaystyle v_{i},i=1,\dots }$

${\displaystyle {\begin{matrix}Q(\theta =v_{0};\theta ^{\text{old}}=v_{0}^{\text{old}})&=-E(\log p(I^{D},\theta =v_{0}\mid v_{1},v_{2},\dots )|I^{D},\theta ^{\text{old}})\\&=-\|({\bar {I}}^{\text{old}}-I_{0}\circ \mathrm {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{0})^{-1}){\sqrt {\beta ^{\text{old}}}}\|^{2}-\|v_{0}\|_{V}^{2}\end{matrix}}}$

• Вычислить новый шаблон, максимизирующий Q-функцию, установив${\displaystyle \theta ^{\text{new}}\doteq v_{0}^{\text{new}}=\arg \max _{\theta =v_{0}}Q(\theta ;\theta ^{\text{old}}=v_{0}^{\text{old}})=-\|({\bar {I}}^{\text{old}}-I_{0}\circ \mathrm {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{0})^{-1}){\sqrt {\beta ^{\text{old}}}}\|^{2}-\|v_{0}\|_{V}^{2}}$
• Вычислить приближение моды для ожидания, обновив ожидаемые значения для значений моды:

${\displaystyle v_{i}^{\text{new}}=\arg \max _{v:{\dot {\phi }}=v\circ \phi }-\int _{0}^{1}\|v_{t}\|_{V}^{2}\,dt-\|I^{D_{i}}-I_{0}\circ \mathrm {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{0}^{\text{old}})^{-1}\circ \mathrm {Exp} _{\mathrm {id} }(v)^{-1}\|^{2}.i=1,2,\dots }$

${\displaystyle \beta ^{\text{new}}(x)=\sum _{i=1}^{n}|D\mathrm {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{i}^{\text{new}})(x)|,{\text{ with }}{\bar {I}}^{\text{new}}(x)={\frac {\sum _{i=1}^{n}I^{D_{i}}\circ \mathrm {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{i}^{\text{new}})|D\mathrm {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{i}^{\text{new}})(x)|}{\beta ^{\text{old}}(x)}}}$