Модель абелевой песчаной кучи

Модель абелевой кучи песка (ASM) — более популярное название оригинальной модели Бака–Танга–Визенфельда (BTW). Модель BTW была первым обнаруженным примером динамической системы, демонстрирующей самоорганизованную критичность . Она была представлена ​​Пером Баком , Чао Тангом и Куртом Визенфельдом в статье 1987 года. ^[1]

Три года спустя Дипак Дхар обнаружил, что модель кучи песка BTW следует абелевой динамике, и поэтому назвал эту модель моделью абелевой кучи песка. ^[2]

Модель представляет собой клеточный автомат . В своей первоначальной формулировке каждый участок на конечной сетке имеет связанное значение, которое соответствует наклону кучи. Этот наклон нарастает по мере того, как «песчинки» (или «щепки») случайным образом размещаются на куче, пока наклон не превысит определенное пороговое значение, после чего этот участок разрушается, перенося песок на соседние участки, увеличивая их наклон. Бак, Тан и Визенфельд рассмотрели процесс последовательного случайного размещения песчинок на сетке; каждое такое размещение песка на определенном участке может не иметь никакого эффекта или может вызвать каскадную реакцию, которая затронет многие участки.

Дхар показал, что окончательная устойчивая конфигурация песчинки после окончания лавины не зависит от точной последовательности опрокидываний, которые следуют во время лавины. Как прямое следствие этого факта, показано, что если две песчинки добавляются к устойчивой конфигурации в двух разных порядках, например, сначала на участке A, а затем на участке B, и сначала на участке B, а затем на участке A, то окончательная устойчивая конфигурация песчинок оказывается точно такой же. Когда песчинка добавляется к устойчивой конфигурации песчинки, это приводит к лавине, которая в конечном итоге прекращается, приводя к другой устойчивой конфигурации. Дхар предположил, что добавление песчинки можно рассматривать как оператор, когда он действует на одну устойчивую конфигурацию, он создает другую устойчивую конфигурацию. Дхар показал, что все такие операторы сложения образуют абелеву группу, отсюда и название — модель абелевой песчинки. ^{[3] [4]} С тех пор модель изучалась на бесконечной решетке, на других (неквадратных) решетках и на произвольных графах (включая направленные мультиграфы ). ^[5] Она тесно связана с игрой в доллар , вариантом игры с подбрасыванием фишек, представленной Биггсом. ^[6]

Модель песочной кучи представляет собой клеточный автомат, изначально определенный на прямоугольной сетке ( шахматной доске ) стандартной квадратной решетки . Каждой вершине ( сайту , полю ) сетки мы сопоставляем значение ( песчинки , уклон , частицы ) , называемое (начальной) конфигурацией песочной кучи.${\displaystyle N\times M}$${\displaystyle \Gamma \subset \mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$${\displaystyle (x,y)\in \Gamma}$${\displaystyle z_{0}(x,y)\in \{0,1,2,3\}}$${\displaystyle z_{0}\in \{0,1,2,3\}^{\Gamma }}$

Динамика автомата на итерации тогда определяется следующим образом:${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$

1. Выбрать случайную вершину в соответствии с некоторым распределением вероятностей (обычно равномерным).${\displaystyle (x_{i},y_{i})\in \Гамма }$
2. Добавим к этой вершине одну песчинку, оставив номера песчинок для всех остальных вершин неизменными, т.е. установим и для всех .
   ${\displaystyle z_{i}(x_{i},y_{i})=z_{i-1}(x_{i},y_{i})+1}$
   ${\displaystyle z_{i}(x,y)=z_{i-1}(x,y)}$${\displaystyle (x,y)\neq (x_{i},y_{i})}$
3. Если все вершины устойчивы , т.е. для всех , то конфигурация также считается устойчивой. В этом случае продолжаем со следующей итерации.${\displaystyle z_{i}(x,y)<4}$${\displaystyle (x,y)\in \Gamma}$${\displaystyle z_{i}}$
4. Если хотя бы одна вершина нестабильна , т.е. для некоторых , то вся конфигурация считается нестабильной. В этом случае выберите любую нестабильную вершину наугад. Опрокиньте эту вершину, уменьшив ее номер зерна на четыре и увеличив номера зерна каждого из ее (максимум четырех) непосредственных соседей на единицу, т.е. установите , и если . Если вершина на границе домена опрокидывается, это приводит к чистой потере зерен (два зерна в углу сетки, одно зерно в противном случае).${\displaystyle z_{i}(x_{u},y_{u})\geq 4}$${\displaystyle (x_{u},y_{u})\in \Gamma}$${\displaystyle z_{i}}$${\displaystyle (x_{u},y_{u})\in \Gamma}$
   ${\displaystyle z_{i}(x_{u},y_{u})\rightarrow z_{i}(x_{u},y_{u})-4,}$
   ${\ displaystyle z_ {i} (x_ {u} \ pm 1, y_ {u} \ pm 1) \ rightarrow z_ {i} (x_ {u} \ pm 1, y_ {u} \ pm 1) +1}$${\displaystyle (x_{u}\pm 1,y_{u}\pm 1)\in \Гамма }$
   
5. Из-за перераспределения зерен опрокидывание одной вершины может сделать другие вершины нестабильными. Таким образом, повторяйте процедуру опрокидывания до тех пор, пока все вершины в конечном итоге не станут стабильными, и продолжайте со следующей итерации.${\displaystyle z_{i}}$

Сбрасывание нескольких вершин в течение одной итерации называется лавиной . Каждая лавина гарантированно в конечном итоге остановится, т. е. после конечного числа сбрасываний достигается некоторая устойчивая конфигурация, так что автомат хорошо определен. Более того, хотя часто будет много возможных вариантов для порядка, в котором сбрасывать вершины, окончательная устойчивая конфигурация не зависит от выбранного порядка; это один из смыслов, в котором песочная куча является абелевой . Аналогично, количество раз, которое каждая вершина сбрасывается в течение каждой итерации, также не зависит от выбора порядка сбрасывания.

Для обобщения модели песочной кучи с прямоугольной сетки стандартной квадратной решетки на произвольный неориентированный конечный мультиграф , указывается специальная вершина, называемая стоком , которая не может опрокинуться. Конфигурация (состояние) модели тогда является функцией, подсчитывающей неотрицательное число зерен на каждой вершине, не являющейся стоком. Вершина, не являющаяся стоком, с ${\displaystyle G=(V,E)}$${\displaystyle s\in V}$${\displaystyle z:V\setminus \{s\}\rightarrow \mathbb {N} _{0}}$${\displaystyle v\in V\setminus \{s\}}$

${\ displaystyle z (v) \ geq \ deg (v)}$

нестабилен; его можно опрокинуть, в результате чего одно из его зерен переместится к каждому из его (не являющихся стоком) соседей:

${\displaystyle z(v)\to z(v)-\deg(v)}$

${\displaystyle z(u)\to z(u)+1}$для всех , .${\displaystyle u\сим v}$${\displaystyle u\neq s}$

Затем клеточный автомат продолжает работать так же, как и раньше, то есть добавляет на каждой итерации одну частицу к случайно выбранной вершине, не являющейся стоком, и опрокидывает ее до тех пор, пока все вершины не станут устойчивыми.

Определение модели песчаной кучи, данное выше для конечных прямоугольных сеток стандартной квадратной решетки, можно рассматривать как частный случай этого определения: рассмотрим граф , который получается из добавлением дополнительной вершины, стока, и проведением дополнительных ребер от стока к каждой граничной вершине таким образом, чтобы степень каждой вершины, не являющейся стоком, была равна четырем. Таким же образом можно определить и модели песчаной кучи на непрямоугольных сетках стандартной квадратной решетки (или любой другой решетки): Пересечь некоторое ограниченное подмножество с . Стянуть каждое ребро , две конечные точки которого не находятся в . Единственная оставшаяся вершина за пределами , тогда образует сток результирующего графа песчаной кучи.${\displaystyle \Gamma \subset \mathbb {Z} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$${\displaystyle G=(V,E)}$${\displaystyle \Гамма}$${\displaystyle \Гамма}$${\displaystyle G}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$${\displaystyle S\cap \mathbb {Z} ^{2}}$${\displaystyle S\cap \mathbb {Z} ^{2}}$

В динамике автомата песочной кучи, определенного выше, некоторые устойчивые конфигурации ( для всех ) появляются бесконечно часто, в то время как другие могут появляться только конечное число раз (если вообще появляются). Первые называются рекуррентными конфигурациями , в то время как вторые называются переходными конфигурациями . Рекуррентные конфигурации, таким образом, состоят из всех устойчивых неотрицательных конфигураций, которые могут быть достигнуты из любой другой устойчивой конфигурации путем многократного добавления песчинок к вершинам и опрокидывания. Легко видеть, что минимально устойчивая конфигурация , где каждая вершина несет песчинки, достижима из любой другой устойчивой конфигурации (добавление песчинок к каждой вершине). Таким образом, эквивалентно, рекуррентные конфигурации — это именно те конфигурации, которые могут быть достигнуты из минимально устойчивой конфигурации путем только добавления песчинок и стабилизации.${\displaystyle 0\leq z(v)<4}$${\displaystyle v\in G\setminus \{s\}}$ ${\displaystyle z_{м}}$${\displaystyle z_{m}(v)=deg(v)-1}$${\displaystyle deg(v)-z(v)-1\geq 0}$

Не каждая неотрицательная устойчивая конфигурация является рекуррентной. Например, в каждой модели песочной кучи на графе, состоящем по крайней мере из двух соединенных вершин, не являющихся стоками, каждая устойчивая конфигурация, в которой обе вершины несут ноль песчинок, является нерекуррентной. Чтобы доказать это, сначала отметим, что добавление песчинок может только увеличить общее количество песчинок, переносимых двумя вершинами вместе. Чтобы достичь конфигурации, в которой обе вершины несут ноль частиц, из конфигурации, в которой это не так, необходимо выполнить шаги, на которых по крайней мере одна из двух вершин опрокидывается. Рассмотрим последний из этих шагов. На этом шаге одна из двух вершин должна опрокинуться последней. Поскольку опрокидывание переносит песчинку в каждую соседнюю вершину, это означает, что общее количество песчинок, переносимых обеими вершинами вместе, не может быть меньше единицы, что завершает доказательство.

При наличии конфигурации , для всех , опрокидывание нестабильных вершин, не являющихся стоками, на конечном связном графе до тех пор, пока не останется ни одной нестабильных вершин, не являющихся стоками, приводит к единственной стабильной конфигурации , которая называется стабилизацией . При наличии двух стабильных конфигураций и , мы можем определить операцию , соответствующую добавлению зерен по вершинам с последующей стабилизацией полученной песочной кучи.${\displaystyle z}$${\displaystyle z(v)\in \mathbb {N} _{0}}$${\displaystyle v\in G\setminus \{s\}}$${\displaystyle z^{\circ }}$${\displaystyle z}$${\displaystyle z}$${\displaystyle w}$${\displaystyle z*w:=(z+w)^{\circ }}$

При произвольном, но фиксированном порядке вершин, не являющихся стоками, множественные операции опрокидывания, которые могут, например, происходить во время стабилизации нестабильной конфигурации, могут быть эффективно закодированы с помощью графового лапласиана , где — матрица степеней , а — матрица смежности графа. Удаление строки и столбца, соответствующих стоку, дает редуцированный графовый лапласиан . Затем, если начать с конфигурации и опрокинуть каждую вершину в общей сложности раз, то получим конфигурацию , где — произведение сжатия. Кроме того, если соответствует количеству раз, которое каждая вершина опрокидывается во время стабилизации заданной конфигурации , то${\displaystyle \Дельта =DA}$${\displaystyle D}$${\displaystyle А}$${\displaystyle \Дельта}$ ${\displaystyle \Дельта '}$${\displaystyle z}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \mathbf {x} (v)\in \mathbb {N} _{0}}$${\displaystyle z-\Delta '{\boldsymbol {\cdot }}~\mathbf {x} }$${\displaystyle {\boldsymbol {\cdot }}}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle z}$

${\displaystyle z^{\circ }=z-\Delta '{\boldsymbol {\cdot }}~\mathbf {x} }$

В этом случае говорят о функции опрокидывания или одометра (стабилизации ).${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle z}$

При выполнении операции множество рекуррентных конфигураций образует абелеву группу, изоморфную коядру редуцированного графа Лапласа , т.е. , где обозначает число вершин (включая сток). В более общем случае множество устойчивых конфигураций (транзиентных и рекуррентных) образует коммутативный моноид при выполнении операции . Тогда минимальный идеал этого моноида изоморфен группе рекуррентных конфигураций.${\displaystyle *}$${\displaystyle \Дельта '}$${\displaystyle \mathbf {Z} ^{n-1}/\mathbf {Z} ^{n-1}\Delta '}$${\displaystyle n}$${\displaystyle *}$

Группа, образованная рекуррентными конфигурациями, а также группа , которой первая изоморфна, чаще всего называется группой песочной кучи . Другие распространенные названия для той же группы — критическая группа , группа Якоби или (реже) группа Пикара . Обратите внимание, однако, что некоторые авторы обозначают как группу песочной кучи только группу, образованную рекуррентными конфигурациями, резервируя название группа Якоби или критическая группа для (изоморфной) группы, определяемой (или для связанных изоморфных определений). Наконец, некоторые авторы используют название группа Пикара для обозначения прямого произведения группы песочной кучи и , которое естественным образом появляется в клеточном автомате, тесно связанном с моделью песочной кучи, называемой игрой в фишки или долларовой игрой.${\displaystyle \mathbf {Z} ^{n-1}/\mathbf {Z} ^{n-1}\Delta '}$${\displaystyle \mathbf {Z} ^{n-1}/\mathbf {Z} ^{n-1}\Delta '}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Учитывая изоморфизмы, указанные выше, порядок группы песочной кучи является определителем , который по теореме о матричном дереве является числом остовных деревьев графа.${\displaystyle \Дельта '}$

Первоначальный интерес к модели возник из-за того, что в симуляциях на решетках она притягивается к своему критическому состоянию , в котором длина корреляции системы и время корреляции системы стремятся к бесконечности, без какой-либо тонкой настройки системного параметра. Это контрастирует с более ранними примерами критических явлений, такими как фазовые переходы между твердым телом и жидкостью или жидкостью и газом, где критическая точка может быть достигнута только путем точной настройки (например, температуры). Следовательно, в модели песчаной кучи мы можем сказать, что критичность является самоорганизующейся .

Как только модель песочной кучи достигает своего критического состояния, корреляция между реакцией системы на возмущение и подробностями возмущения отсутствует. Обычно это означает, что падение еще одной песчинки на кучу может не вызвать никаких последствий или может привести к тому, что вся куча рухнет в виде массивного оползня. Модель также демонстрирует ^[7] 1/ ƒ шум , свойство, общее для многих сложных систем в природе.

Эта модель демонстрирует критическое поведение только в двух или более измерениях. Модель кучи песка может быть выражена в 1D; однако, вместо того, чтобы эволюционировать к своему критическому состоянию, модель кучи песка 1D достигает минимально устойчивого состояния, в котором каждый узел решетки движется к критическому наклону.

Для двух измерений была выдвинута гипотеза, что соответствующая конформная теория поля состоит из симплектических фермионов с центральным зарядом c  = −2. ^[8]

Стабилизация конфигураций чипов подчиняется форме принципа наименьшего действия : каждая вершина опрокидывается не больше, чем необходимо в ходе стабилизации. ^[9] Это можно формализовать следующим образом. Назовем последовательность опрокидываний законной , если она опрокидывает только нестабильные вершины, и стабилизирующей, если она приводит к устойчивой конфигурации. Стандартный способ стабилизации песочной кучи — найти максимальную законную последовательность; т. е. опрокидывая так долго, как это возможно. Такая последовательность, очевидно, стабилизирует, и абелево свойство песочной кучи состоит в том, что все такие последовательности эквивалентны с точностью до перестановки порядка опрокидывания; то есть для любой вершины число опрокидываний одинаково во всех законных стабилизирующих последовательностях. Согласно принципу наименьшего действия, минимальная стабилизирующая последовательность также эквивалентна с точностью до перестановки порядка опрокидывания законной (и все еще стабилизирующей) последовательности. В частности, конфигурация, полученная в результате минимальной стабилизирующей последовательности, такая же, как и в результате максимальной законной последовательности.${\displaystyle v}$${\displaystyle v}$

Более формально, если — вектор такой, что — число падений вершины во время стабилизации (посредством падения нестабильных вершин) конфигурации чипа , а — целочисленный вектор (не обязательно неотрицательный), такой, что является стабильным, то для всех вершин .${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {u} (v)}$${\displaystyle v}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \mathbf {н} }$${\displaystyle z-\mathbf {n} \Delta '}$${\displaystyle \mathbf {u} (v)\leq \mathbf {n} (v)}$${\displaystyle v}$

Анимация показывает повторяющуюся конфигурацию, соответствующую идентичности группы песочных куч на различных квадратных сетках увеличивающихся размеров , посредством чего конфигурации масштабируются так, чтобы всегда иметь одинаковую физическую размерность. Визуально идентичности на больших сетках кажутся все более и более подробными и «сходятся к непрерывному изображению». Математически это предполагает существование пределов масштабирования идентичности песочных куч на квадратных сетках, основанных на понятии слабой-* конвергенции (или каком-то другом, обобщенном понятии конвергенции). Действительно, существование пределов масштабирования повторяющихся конфигураций песочных куч было доказано Уэсли Пегденом и Чарльзом Смартом. ^{[10] [11]} В дальнейшей совместной работе с Лайонелом Левином они используют предел масштабирования для объяснения фрактальной структуры песочных куч на квадратных сетках. ^[12] Другой предел масштабирования, когда релаксации возмущения максимального устойчивого состояния сходятся к картине, определяемой тропическими кривыми , установлен в работах Никиты Калинина и Михаила Школьникова. ^[13]${\displaystyle N\times N}$${\displaystyle N\geq 1}$

Абелевы песочные кучи в трех или более измерениях могут использоваться для моделирования машины Тьюринга и, следовательно, являются полными по Тьюрингу . ^[14]

Существует несколько обобщений модели песчаной кучи на бесконечные сетки. Проблема таких обобщений заключается в том, что, как правило, больше не гарантируется, что каждая лавина в конечном итоге остановится. Таким образом, некоторые обобщения рассматривают только стабилизацию конфигураций, для которых это может быть гарантировано.

Довольно популярная модель на (бесконечной) квадратной решетке с узлами определяется следующим образом:${\displaystyle (x,y)\in \mathbb {Z} ^{2}}$

Начнем с некоторой неотрицательной конфигурации значений , которая конечна, т.е.${\displaystyle z(x,y)\in \mathbf {Z} }$

${\displaystyle \sum _{x,y}z(x,y)<\infty .}$

Любой сайт с${\displaystyle (x,y)}$

${\displaystyle z(x,y)\geq 4}$

нестабилен и может упасть ( или выстрелить ), отправив одну из своих фишек каждому из четырех соседей:

${\displaystyle z(x,y)\rightarrow z(x,y)-4,}$

${\displaystyle z(x\pm 1,y)\rightarrow z(x\pm 1,y)+1,}$

${\displaystyle z(x,y\pm 1)\rightarrow z(x,y\pm 1)+1.}$

Поскольку начальная конфигурация конечна, процесс гарантированно завершится разлетом зерен наружу.

Популярный частный случай этой модели дается, когда начальная конфигурация равна нулю для всех вершин, кроме начала координат. Если начало координат несет огромное количество песчинок, конфигурация после релаксации образует фрактальные узоры (см. рисунок). Когда начальное количество песчинок в начале координат стремится к бесконечности, было показано, что перемасштабированные стабилизированные конфигурации сходятся к уникальному пределу. ^{[11] [12]}

Модель песочной кучи может быть обобщена на произвольные направленные мультиграфы. Правила таковы, что любая вершина с ${\displaystyle v}$

${\displaystyle z(v)\geq \deg ^{+}(v)}$

нестабильна; повторное падение отправляет фишки каждому из его соседей, по одной вдоль каждого исходящего ребра:

${\displaystyle z(v)\rightarrow z(v)-\deg ^{+}(v)+\deg(v,v)}$

и для каждого :${\displaystyle u\neq v}$

${\displaystyle z(u)\rightarrow z(u)+\deg(v,u)}$

где — число ребер от до .${\displaystyle \deg(v,u)}$${\displaystyle v}$${\displaystyle u}$

В этом случае матрица Лапласа не симметрична. Если мы укажем сток таким образом, что из каждой другой вершины в существует путь , то операция стабилизации на конечных графах будет хорошо определена, и группа песочных куч может быть записана${\displaystyle s}$${\displaystyle s}$

${\displaystyle \mathbf {Z} ^{n-1}/\mathbf {Z} ^{n-1}\Delta '}$

как и прежде.

Порядок группы песочной кучи снова является определителем , который согласно общей версии теоремы о матричном дереве является числом ориентированных остовных деревьев с корнем в стоке.${\displaystyle \Delta '}$

Чтобы лучше понять структуру группы песчаных куч для различных конечных выпуклых сеток стандартной квадратной решетки , Лэнг и Школьников ввели расширенную модель песчаной кучи в 2019 году. ^[15] Расширенная модель песчаной кучи определяется почти точно так же, как и обычная модель песчаной кучи (т. е. исходная модель Бака–Танга–Визенфельда ^[1] ), за исключением того, что вершинам на границе сетки теперь разрешено нести неотрицательное действительное число зерен. Напротив, вершинам внутри сетки по-прежнему разрешено нести только целые числа зерен. Правила опрокидывания остаются неизменными, т. е. предполагается, что как внутренние, так и граничные вершины становятся нестабильными и опрокидываются, если число зерен достигает или превышает четыре.${\displaystyle \Gamma \subset \mathbb {Z} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$${\displaystyle \partial \Gamma }$

Также рекуррентные конфигурации расширенной модели песчаной кучи образуют абелеву группу, называемую расширенной группой песчаной кучи , в которой обычная группа песчаной кучи является дискретной подгруппой . В отличие от обычной группы песчаной кучи, расширенная группа песчаной кучи, однако, является непрерывной группой Ли . Поскольку она генерируется только добавлением песчинок к границе сетки, расширенная группа песчаной кучи, кроме того, имеет топологию тора размерности и объема , заданного порядком обычной группы песчаной кучи. ^[15]${\displaystyle \partial \Gamma }$${\displaystyle |\partial \Gamma |}$

Особый интерес представляет вопрос о том, как динамически изменяются рекуррентные конфигурации вдоль непрерывных геодезических этого тора, проходящих через тождество. Этот вопрос приводит к определению динамики песчаной кучи

${\displaystyle D_{H}(t)=(I-t\Delta H)^{\circ }}$(расширенная модель песчаной кучи)

соответственно

${\displaystyle {\tilde {D}}_{H}(t)=(I+\lfloor -t\Delta H\rfloor )^{\circ }}$(обычная модель песочной кучи)

, вызванная целочисленной гармонической функцией в момент времени , с тождеством группы песочной кучи и функцией пола. ^[15] Для полиномиальных гармонических функций низкого порядка динамика песочной кучи характеризуется плавным преобразованием и кажущимся сохранением участков, составляющих тождество песочной кучи. Например, гармоническая динамика, вызванная напоминает «плавное растяжение» тождества вдоль главных диагоналей, визуализированных в анимации. Кроме того, предполагалось, что конфигурации, появляющиеся в динамике, вызванной той же гармонической функцией на квадратных сетках разных размеров, слабо* сходятся, что означает, что для них предположительно существуют пределы масштабирования. ^[15] Это предполагает естественную перенормировку для расширенных и обычных групп песочной кучи, что означает отображение рекуррентных конфигураций на заданной сетке в рекуррентные конфигурации на подсетке. Неформально, эта перенормировка просто отображает конфигурации, появляющиеся в заданное время в динамике кучи песка, вызванной некоторой гармонической функцией на большей сетке, в соответствующие конфигурации, которые появляются в то же время в динамике кучи песка, вызванной ограничением на соответствующую подсетку. ^[15]${\displaystyle H}$${\displaystyle t\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} }$${\displaystyle I}$${\displaystyle \lfloor .\rfloor }$${\displaystyle H=xy}$${\displaystyle t}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$

Сильно связанной моделью является так называемая модель делимой песчаной кучи , введенная Левином и Пересом в 2008 году ^[16], в которой вместо дискретного числа частиц в каждом месте есть действительное число, представляющее количество массы на месте. В случае, если такая масса отрицательна, можно понимать это как дыру. Опрокидывание происходит всякий раз, когда место имеет массу больше 1; оно равномерно опрокидывает избыток между своими соседями, что приводит к ситуации, когда, если место заполнено в момент времени , оно будет заполнено во все последующие моменты времени.${\displaystyle x}$${\displaystyle s(x)}$${\displaystyle t}$

Куча песка Бака-Тэнга-Визенфельда была упомянута в эпизоде ​​«Rampage» сериала « Numb3rs », где математик Чарли Эппес объясняет своим коллегам решение уголовного расследования.

Компьютерная игра Heexplode основана на модели абелевой песочной кучи на конечной гексагональной сетке, где вместо случайного размещения зерен, зерна размещаются игроками.

• Пер Бак (1996). Как работает природа: наука самоорганизованной критичности . Нью-Йорк: Copernicus. ISBN 978-0-387-94791-4.
• Per Bak; Chao Tang; Kurt Wiesenfeld (1987). «Самоорганизованная критичность: объяснение шума 1/ ƒ ». Physical Review Letters . 59 (4): 381– 384. Bibcode : 1987PhRvL..59..381B. doi : 10.1103/PhysRevLett.59.381. PMID  10035754.
• Per Bak; Chao Tang; Kurt Wiesenfeld (1988). «Самоорганизованная критичность». Physical Review A. 38 ( 1): 364– 374. Bibcode : 1988PhRvA..38..364B. doi : 10.1103/PhysRevA.38.364. PMID  9900174.
• Cori, Robert; Rossin, Dominique; Salvy, Bruno (2002). "Полиномиальные идеалы для песчаных куч и их базисов Грёбнера" ​​(PDF) . Theor. Comput. Sci . 276 ( 1– 2): 1– 15. doi :10.1016/S0304-3975(00)00397-2. Zbl  1002.68105.
• Кливанс, Кэролайн (2018). Математика запуска чипов . CRC Press.
• Perkinson, David; Perlman, Jacob; Wilmes, John (2013). «Алгебраическая геометрия песчаных куч». В Amini, Omid; Baker, Matthew; Faber, Xander (ред.). Тропическая и неархимедова геометрия. Семинар Bellairs по теории чисел, тропической и неархимедовой геометрии, Научно-исследовательский институт Bellairs, Хоултаун, Барбадос, США, 6–13 мая 2011 г. Contemporary Mathematics. Том 605. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . стр.  211–256 . CiteSeerX  10.1.1.760.283 . doi :10.1090/conm/605/12117. ISBN 978-1-4704-1021-6. S2CID  7851577. Збл  1281.14002.

• Гарсия-Пуэнте, Луис Давид. "Sandpiles" (видео YouTube) . YouTube . Брэди Харан . Архивировано из оригинала 2021-12-15 . Получено 15 января 2017 .
• Элленберг, Джордан (06.10.2021). «Математика удивительной песочной кучи». Nautilus Quarterly .
• Фелпс, Кристофер (2021-11-05). Интерактивная реализация Python моделей квадратной решетки