(Б, Н) пара

В математике пара ( B , N ) — это структура на группах типа Ли , которая позволяет давать единообразные доказательства многих результатов вместо того, чтобы давать большое количество доказательств для каждого случая. Грубо говоря, это показывает, что все такие группы подобны общей линейной группе над полем . Они были введены математиком Жаком Титсом и также иногда известны как системы Титса .

Пара ( B , N ) — это пара подгрупп B и N группы G, такая что выполняются следующие аксиомы:

• G генерируется B и N.​
• Пересечение T групп B и N является нормальной подгруппой группы N.​​
• Группа W = N / T порождается множеством S элементов порядка 2 таким, что
  • Если s является элементом S , а w является элементом W , то sBw содержится в объединении BswB и BwB .
  • Ни один элемент S не нормализует B.

Множество S однозначно определяется B и N , а пара ( W , S ) является системой Кокстера . ^[1]

Пары BN тесно связаны с редуктивными группами , и терминология в обоих предметах пересекается. Размер S называется рангом . Мы называем

• B (стандартная) подгруппа Бореля ,
• T (стандартная) подгруппа Картана , и
• Группа Вейля .​

Подгруппа группы G называется

• параболический, если он содержит сопряжение B ,
• стандартный параболический , если он фактически содержит сам B , и
• борелевский (или минимальный параболический ) , если он сопряжен с B.

Абстрактные примеры пар ( B , N ) возникают в результате определенных групповых действий.

• Предположим, что G — любая дважды транзитивная группа перестановок на множестве E с более чем 2 элементами. Пусть B — подгруппа G, фиксирующая точку x , а N — подгруппа, фиксирующая или меняющая местами 2 точки x и y . Тогда подгруппа T — это множество элементов, фиксирующих как x, так и y , а W имеет порядок 2, и ее нетривиальный элемент представлен чем-либо, меняющим местами x и y .
• Наоборот, если G имеет пару ( B , N ) ранга 1, то действие G на смежных классах B дважды транзитивно . Таким образом, пары ( B , N ) ранга 1 более или менее совпадают с дважды транзитивными действиями на множествах с более чем 2 элементами.

Более конкретные примеры пар ( B , N ) можно найти в редуктивных группах.

• Предположим, что G — это общая линейная группа GL _n  K над полем K. Мы берем B в качестве верхних треугольных матриц , T — в качестве диагональных матриц , а N — в качестве мономиальных матриц , т. е. матриц с ровно одним ненулевым элементом в каждой строке и столбце. Имеется n  − 1 генераторов, представленных матрицами, полученными путем перестановки двух соседних строк диагональной матрицы. Группа Вейля — это симметрическая группа из n букв.
• В более общем случае, если G — редуктивная группа над полем K , то группа G = G ( K ) имеет пару ( B , N ), в которой
  • B = P ( K ), где P — минимальная параболическая подгруппа группы G , и
  • N = N ( K ), где N — нормализатор расщепленного максимального тора, содержащегося в P . ^[2]
• В частности, любая конечная группа типа Ли имеет структуру пары ( B , N ).
  • Над полем из двух элементов подгруппа Картана в этом примере тривиальна.
• Полупростая односвязная алгебраическая группа над локальным полем имеет пару ( B , N ), где B — подгруппа Ивахори .

Разложение Брюа утверждает , что G = BWB . Точнее, двойные смежные классы B\G/B представлены набором подъемов W в N. ^[3]

Каждая параболическая подгруппа равна своему нормализатору в G. ^[4 ]

Каждый стандартный параболик имеет вид BW ( X ) B для некоторого подмножества X из S , где W ( X ) обозначает подгруппу Коксетера, порожденную X . Более того, два стандартных параболика сопряжены тогда и только тогда, когда их множества X одинаковы. Следовательно, существует биекция между подмножествами S и стандартными параболиками. ^[5] В более общем смысле эта биекция распространяется на классы сопряженности параболических подгрупп. ^[6]

BN-пары можно использовать для доказательства того, что многие группы типа Ли являются простыми по модулю своих центров . Точнее, если G имеет BN -пару такую, что B является разрешимой группой , пересечение всех сопряженных с B тривиально, а множество генераторов W не может быть разложено на два непустых коммутирующих множества, то G является простой, если она является совершенной группой . На практике все эти условия, за исключением того, что G является совершенной, легко проверить. Проверка того, что G является совершенной, требует некоторых слегка запутанных вычислений (и на самом деле есть несколько небольших групп типа Ли, которые не являются совершенными). Но показать, что группа совершенна, обычно гораздо проще, чем показать, что она проста.

• Абраменко, Питер; Браун, Кеннет С. (2008). Здания. Теория и приложения . Springer. ISBN 978-0-387-78834-0. MR  2439729. Zbl  1214.20033.В разделе 6.2.6 обсуждаются пары BN.
• Борель, Арманд (1991) [1969], Линейные алгебраические группы , Graduate Texts in Mathematics, т. 126 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer Nature , doi :10.1007/978-1-4612-0941-6, ISBN 0-387-97370-2, МР  1102012
• Бурбаки, Николя (1981). Группы Ли и алгебры Ли: Главы 4–6 . Элементы математики (на французском). Герман. ISBN 2-225-76076-4. MR  0240238. Zbl  0483.22001. Глава IV, § 2 является стандартной ссылкой для пар BN.
• Бурбаки, Николя (2002). Группы Ли и алгебры Ли: Главы 4–6 . Элементы математики. Springer. ISBN 3-540-42650-7. MR  1890629. Zbl  0983.17001.
• Серр, Жан-Пьер (2003). Деревья . Спрингер. ISBN 3-540-44237-5. Збл  1013.20001.