Блочная конструкция

В комбинаторной математике блочная конструкция — это структура инцидентности, состоящая из набора вместе с семейством подмножеств, известных как блоки , выбранных таким образом, что частота элементов ^{[ необходимо разъяснение ]} удовлетворяет определенным условиям, заставляя набор блоков проявлять симметрию (баланс). Блочные конструкции имеют приложения во многих областях, включая экспериментальное проектирование , конечную геометрию , физическую химию , тестирование программного обеспечения , криптографию и алгебраическую геометрию .

Без дополнительных уточнений термин «блочная конструкция» обычно относится к сбалансированной неполной блочной конструкции ( BIBD ), в частности (а также как синоним) 2-конструкции, которая исторически является наиболее интенсивно изучаемым типом из-за ее применения в планировании экспериментов . ^{[1] [2]} Ее обобщение известно как t-конструкция .

Говорят, что план сбалансирован (до t ​​), если все t -подмножества исходного набора встречаются в одинаковом количестве (т. е. λ ) блоков ^{[ необходимо разъяснение ]} . Когда t не указано, обычно можно предположить, что оно равно 2, что означает, что каждая пара элементов находится в одинаковом количестве блоков, и план попарно сбалансирован . При t = 1 каждый элемент встречается в одинаковом количестве блоков ( число повторений , обозначаемое r ), и план называется регулярным . Блочный план, в котором все блоки имеют одинаковый размер (обычно обозначаемый k ), называется равномерным или правильным . Все планы, обсуждаемые в этой статье, являются равномерными. Также изучались блочные планы, которые не обязательно являются равномерными; при t = 2 они известны в литературе под общим названием попарно сбалансированные планы (PBD). Любой однородный дизайн, сбалансированный до t, также сбалансирован при всех более низких значениях t (хотя и с разными значениями λ ), так что, например, попарно сбалансированный ( t =2) дизайн также является регулярным ( t =1). Когда требование балансировки не выполняется, дизайн все еще может быть частично сбалансирован , если t -подмножества могут быть разделены на n классов, каждый со своим собственным (разным) значением λ . Для t =2 они известны как PBIBD( n ) дизайны , классы которых образуют схему ассоциации .

Обычно говорят (или предполагают), что проекты неполны , то есть набор блоков не содержит все возможные k -подмножества, что исключает тривиальный проект.

Блочные конструкции могут иметь или не иметь повторяющиеся блоки. Конструкции без повторяющихся блоков называются простыми , ^[3] в этом случае «семейство» блоков представляет собой набор, а не мультимножество .

В статистике концепция блочной конструкции может быть расширена до небинарных блочных конструкций, в которых блоки могут содержать несколько копий элемента (см. блокировка (статистика) ). Там конструкция, в которой каждый элемент встречается одинаковое общее количество раз, называется эквирепликатной, что подразумевает регулярную конструкцию только тогда, когда конструкция также является двоичной. Матрица инцидентности небинарной конструкции перечисляет количество раз, которое каждый элемент повторяется в каждом блоке.

Простейший тип «сбалансированной» конструкции ( t =1) известен как тактическая конфигурация или 1-конструкция . Соответствующая структура инцидентности в геометрии известна просто как конфигурация , см. Конфигурация (геометрия) . Такая конструкция является однородной и регулярной: каждый блок содержит k элементов, и каждый элемент содержится в r блоках. Количество элементов множества v и количество блоков b связаны соотношением , которое является общим количеством вхождений элементов.${\displaystyle bk=vr}$

Каждая бинарная матрица с постоянными суммами строк и столбцов является матрицей инцидентности регулярной однородной блочной конструкции. Кроме того, каждая конфигурация имеет соответствующий бирегулярный двудольный граф, известный как ее инцидентность или граф Леви .

Учитывая конечное множество X (элементов, называемых точками ) и целые числа k , r , λ ≥ 1, мы определяем 2-дизайн (или BIBD , что означает сбалансированный неполный блочный дизайн) B как семейство k -элементных подмножеств X , называемых блоками , таких, что любой x в X содержится в r блоках, а любая пара различных точек x и y в X содержится в λ блоках. Здесь условие, что любой x в X содержится в r блоках, является избыточным, как показано ниже.

Здесь v (количество элементов X , называемых точками), b (количество блоков), k , r и λ являются параметрами дизайна. (Чтобы избежать вырожденных примеров, также предполагается, что v > k , так что ни один блок не содержит всех элементов набора. Это и есть значение слова «неполный» в названии этих дизайнов.) В таблице:

в	точек, количество элементов X
б	количество блоков
г	количество блоков, содержащих данную точку
к	количество точек в блоке
λ	количество блоков, содержащих любые 2 (или, в более общем случае, t ) различных точек

Дизайн называется ( v , k , λ )-дизайном или ( v , b , r , k , λ )-дизайном. Не все параметры независимы; v , k и λ определяют b и r , и не все комбинации v , k и λ возможны. Два основных уравнения, связывающие эти параметры, следующие:

${\displaystyle bk=vr,}$

получено путем подсчета количества пар ( B , p ), где B — блок, а p — точка в этом блоке, и

${\displaystyle \lambda (v-1)=r(k-1),}$

получено путем подсчета для фиксированного x троек ( x , y , B ), где x и y — различные точки, а B — блок, содержащий их обе. Это уравнение для каждого x также доказывает, что r является константой (независимой от x ) даже без явного предположения об этом, тем самым доказывая, что условие, что любой x в X содержится в r блоках, является избыточным и r можно вычислить из других параметров.

Результирующие b и r должны быть целыми числами, что накладывает условия на v , k и λ . Эти условия недостаточны, так как, например, (43,7,1)-дизайн не существует. ^[4]

Порядок 2-дизайна определяется как n = r  −  λ . Дополнение 2-дизайна получается путем замены каждого блока его дополнением в множестве точек X. Это также 2-дизайн и имеет параметры v ′ = v , b ′ = b , r ′ = b  −  r , k ′ = v  −  k , λ ′ = λ  +  b  − 2 r . 2 - дизайн и его дополнение имеют одинаковый порядок.

Основная теорема, неравенство Фишера , названное в честь статистика Рональда Фишера , заключается в том, что b  ≥  v в любом 2-плане.

Довольно неожиданный и не очень очевидный (но очень общий) комбинаторный результат для этих конструкций заключается в том, что если точки обозначены любым произвольно выбранным набором одинаково или неравномерно расположенных чисел, то нет выбора такого набора, который мог бы сделать все суммы блоков (то есть сумму всех точек в данном блоке) постоянными. ^{[5] [6]} Однако для других конструкций, таких как частично сбалансированные неполные блочные конструкции, это может быть возможно. Многие такие случаи обсуждаются в. ^[7] Однако это также можно тривиально наблюдать для магических квадратов или магических прямоугольников, которые можно рассматривать как частично сбалансированные неполные блочные конструкции.

Уникальная (6,3,2)-схема ( v = 6, k = 3, λ = 2) имеет 10 блоков ( b = 10), и каждый элемент повторяется 5 раз ( r = 5). ^[8] Используя символы 0 − 5, блоки представляют собой следующие тройки:

012 013 024 035 045 125 134 145 234 235.

и соответствующая матрица инцидентности ( двоичная матрица v × b с постоянной суммой строк r и постоянной суммой столбцов k ) имеет вид:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&1&1&1&0&0&0&0&0\\1&1&0&0&0&1&1&1&0&0\\1&0&1&0&0&1&0&0&1&1\\0&1&0&1&0&0&1&0&1&1\\0&0&1&0&1&0&1&1&1&0\\0&0&0&1&1&1&0&1&0&1\\\end{pmatrix}}}$

Один из четырех неизоморфных (8,4,3)-дизайнов имеет 14 блоков, каждый элемент которых повторяется 7 раз. Используя символы 0 − 7, блоки представляют собой следующие 4-кортежи: ^[8]

0123 0124 0156 0257 0345 0367 0467 1267 1346 1357 1457 2347 2356 2456.

Уникальный (7,3,1)-дизайн симметричен и имеет 7 блоков, каждый элемент которых повторяется 3 раза. Используя символы 0 − 6, блоки представляют собой следующие тройки: ^[8]

013 026 045 124 156 235 346.

Эта конструкция связана с плоскостью Фано , с элементами и блоками конструкции, соответствующими точкам и линиям плоскости. Соответствующая ей матрица инцидентности также может быть симметричной, если метки или блоки отсортированы правильным образом:

${\displaystyle \left({\begin{matrix}1&1&1&0&0&0&0\\1&0&0&1&1&0&0\\1&0&0&0&0&1&1\\0&1&0&1&0&1&0\\0&1&0&0&1&0&1\\0&0&1&1&0&0&1\\0&0&1&0&1&1&0\end{matrix}}\right)}$

Случай равенства в неравенстве Фишера, то есть 2-план с равным числом точек и блоков, называется симметричным планом . ^[9] Симметричные планы имеют наименьшее число блоков среди всех 2-планов с одинаковым числом точек.

В симметричной конструкции r = k выполняется так же, как и b = v , и, хотя это, как правило, неверно в произвольных 2-конструкциях, в симметричной конструкции каждые два различных блока встречаются в λ точках. ^[10] Теорема Райзера дает обратное утверждение. Если X является v -элементным набором, а B является v -элементным набором из k -элементных подмножеств («блоков»), таким образом, что любые два различных блока имеют ровно λ общих точек, то ( X, B ) является симметричной блочной конструкцией. ^[11]

Параметры симметричной конструкции удовлетворяют

${\displaystyle \lambda (v-1)=k(k-1).}$

Это накладывает сильные ограничения на v , поэтому число точек далеко не произвольно. Теорема Брука–Райзера–Чоула дает необходимые, но не достаточные условия для существования симметричного дизайна в терминах этих параметров.

Ниже приведены важные примеры симметричных 2-дизайнов:

Конечные проективные плоскости являются симметричными 2-конструкциями с λ = 1 и порядком n > 1. Для этих конструкций уравнение симметричной конструкции принимает вид:

${\displaystyle v-1=k(k-1).}$

Поскольку k = r, мы можем записать порядок проективной плоскости как n = k  − 1, и из приведенного выше уравнения получаем v = ( n  + 1) n  + 1 = n ²  +  n  + 1 точек в проективной плоскости порядка n .

Поскольку проективная плоскость является симметричной конструкцией, мы имеем b = v , что означает, что b = n ²  +  n  + 1. Число b является числом линий проективной плоскости. Повторяющихся линий быть не может, поскольку λ = 1, поэтому проективная плоскость является простой 2-конструкцией, в которой число линий и число точек всегда одинаково. Для проективной плоскости k является числом точек на каждой линии, и оно равно n  + 1. Аналогично, r = n  + 1 является числом линий, с которыми инцидентна данная точка.

При n = 2 мы получаем проективную плоскость порядка 2, также называемую плоскостью Фано , с v = 4 + 2 + 1 = 7 точками и 7 прямыми. В плоскости Фано каждая прямая имеет n  + 1 = 3 точки, и каждая точка принадлежит n  + 1 = 3 прямым.

Известно, что проективные плоскости существуют для всех порядков, которые являются простыми числами или степенями простых чисел. Они образуют единственное известное бесконечное семейство (относительно постоянного значения λ) симметричных блок-схем. ^[12]

Биплоскость или биплоскостная геометрия — это симметричная 2-конструкция с λ = 2; то есть, каждое множество из двух точек содержится в двух блоках («прямых»), в то время как любые две прямые пересекаются в двух точках. [ ^12] Они похожи на конечные проективные плоскости, за исключением того, что вместо двух точек, определяющих одну прямую (и двух прямых, определяющих одну точку), две точки определяют две прямые (соответственно, точки). Биплоскость порядка n — это та, блоки которой имеют k  =  n  + 2 точек; она имеет v  = 1 + ( n  + 2)( n  + 1)/2 точек (так как r  =  k ).

Ниже перечислены 18 известных примеров ^{[13] .}

• (Тривиально) Биплоскость порядка 0 имеет 2 точки (и линии размера 2; конструкция 2-(2,2,2)); это две точки с двумя блоками, каждый из которых состоит из обеих точек. Геометрически это двуугольник .
• Биплоскость порядка 1 имеет 4 точки (и линии размера 3; конструкция 2-(4,3,2)); это полная конструкция с v = 4 и k = 3. Геометрически точки являются вершинами тетраэдра, а блоки — его гранями.
• Биплоскость 2-го порядка является дополнением плоскости Фано : она имеет 7 точек (и линий размера 4; 2-(7,4,2)), где линии заданы как дополнения линий (3-точечных) в плоскости Фано. ^[14]
• Биплоскость 3-го порядка имеет 11 точек (и линий размером 5; 2-(11,5,2)) и также известна какБиплоскость Пейли по имениРэймонда Пейли; она связана сорграфом Пейлипорядка 11, который построен с использованием поля с 11 элементами, и является 2-схемой Адамара, связанной с матрицей Адамара размера 12; см.конструкцию ПейлиI.

Алгебраически это соответствует исключительному вложению проективной специальной линейной группы PSL (2,5) в PSL (2,11) – см. проективная линейная группа: действие на p точках для получения подробной информации. ^[15]

• Существует три биплана порядка 4 (и 16 точек, линий размера 6; 2-(16,6,2)). Одна из них — конфигурация Куммера . Эти три конструкции также являются конструкциями Менона .
• Существует четыре биплана порядка 7 (и 37 точек, линий размера 9; 2-(37,9,2)). ^[16]
• Существует пять бипланов порядка 9 (и 56 точек, линий размера 11; 2-(56,11,2)). ^[17]
• Известны две бипланы порядка 11 (и 79 точек, линий размера 13; 2-(79,13,2)). ^[18]

Биплоскости порядков 5, 6, 8 и 10 не существуют, как показывает теорема Брука-Райзера-Чоула .

Матрица Адамара размера m — это матрица H размером m × m , элементы которой равны ±1, так что HH ^⊤  = m I _m , где H ^⊤ — транспонированная матрица H , а I _m — единичная матрица размером m  ×  m . Матрицу Адамара можно привести к стандартизированной форме (то есть преобразовать в эквивалентную матрицу Адамара), где элементы первой строки и первого столбца равны +1. Если размер m  > 2, то m должно быть кратно 4.

Дана матрица Адамара размером 4 a в стандартизированной форме, удалить первую строку и первый столбец и преобразовать каждую −1 в 0. Полученная матрица 0–1 M является матрицей инцидентности симметричной 2-(4 a  − 1, 2 a  − 1, a  − 1) схемы, называемой 2-схемой Адамара . ^[19] Она содержит блоки/точки; каждая содержит/содержится в точках/блоках. Каждая пара точек содержится ровно в блоках.${\displaystyle 4a-1}$${\displaystyle 2a-1}$${\displaystyle a-1}$

Эта конструкция обратима, и матрица инцидентности симметричной 2-схемы с этими параметрами может быть использована для формирования матрицы Адамара размером 4 a .

Разрешимая 2-схема — это BIBD, блоки которой могут быть разделены на множества (называемые параллельными классами ), каждое из которых образует раздел множества точек BIBD. Набор параллельных классов называется разрешением схемы.

Если 2-( v , k ,λ) разрешимая схема имеет c параллельных классов, то b  ≥  v  +  c  − 1. ^[20]

Следовательно, симметричная конструкция не может иметь нетривиальное (более одного параллельного класса) разрешение. ^[21]

Архетипичные разрешимые 2-конструкции — это конечные аффинные плоскости . Решение знаменитой проблемы 15 школьниц — это разрешение 2-(15,3,1)-конструкции. ^[22]

При любом положительном целом числе t t -дизайн B представляет собой класс k -элементных подмножеств X , называемых блоками , таких, что каждая точка x в X появляется ровно в r блоках, а каждое t -элементное подмножество T появляется ровно в λ блоках. Числа v ( количество элементов X ), b (количество блоков), k , r , λ и t являются параметрами дизайна. Дизайн можно назвать t -( v , k ,λ)-дизайном. Опять же, эти четыре числа определяют b и r , и сами четыре числа не могут быть выбраны произвольно. Уравнения имеют вид

${\displaystyle \lambda _{i}=\lambda \left.{\binom {v-i}{t-i}}\right/{\binom {k-i}{t-i}}{\text{ for }}i=0,1,\ldots ,t,}$

где λ _i — количество блоков, содержащих любой i -элементный набор точек, а λ _t = λ.

Обратите внимание, что и .${\displaystyle b=\lambda _{0}=\lambda {v \choose t}/{k \choose t}}$${\displaystyle r=\lambda _{1}=\lambda {v-1 \choose t-1}/{k-1 \choose t-1}}$

Теорема : ^[23] Любой t -( v , k ,λ)-дизайн также является s -( v , k ,λ _s )-дизайном для любого s с 1 ≤  s  ≤  t . (Обратите внимание, что «значение лямбда» изменяется, как указано выше, и зависит от s .)

Следствием этой теоремы является то, что каждый t -план с t ≥ 2 также является 2-планом.

t- ( v , k ,1 ) -схема называется системой Штейнера .

Термин «блочная конструкция» сам по себе обычно подразумевает 2-конструкцию.

Пусть D = ( X , B ) будет t-( v , k , λ ) планом, а p — точкой X . Производный план D _p имеет множество точек X  − { p } и в качестве блока — все блоки D , которые содержат p с удаленным p . Это план ( t  − 1)-( v  − 1, k  − 1, λ ). Обратите внимание, что производные планы относительно различных точек могут быть неизоморфными. План E называется расширением D , если E имеет точку p такую, что E _p изоморфна D ; мы называем D расширяемым, если он имеет расширение.

Теорема : ^[24] Если план t -( v , k , λ ) имеет расширение, то k  + 1 делит b ( v  + 1).

Единственными расширяемыми проективными плоскостями (симметричными 2-( n ²  +  n  + 1, n  + 1, 1) конструкциями) являются плоскости порядков 2 и 4. ^[25]

Каждый 2-дизайн Адамара можно расширить (до 3-дизайна Адамара ). ^[26]

Теорема : ^[27] Если D , симметричная 2-( v , k ,λ) схема, является расширяемой, то выполняется одно из следующих условий:

1. D — это 2-конструкция Адамара,
2. v  = (λ + 2)(λ ²  + 4λ + 2), k  = λ ²  + 3λ + 1,
3. v  = 495, k  = 39, λ = 3.

Обратите внимание, что проективная плоскость второго порядка является 2-схемой Адамара; проективная плоскость четвертого порядка имеет параметры, которые попадают в случай 2; единственные другие известные симметричные 2-схемы с параметрами из случая 2 — это биплоскости девятого порядка, но ни одна из них не является расширяемой; и не существует известной симметричной 2-схемы с параметрами случая 3. ^[28]

План с параметрами расширения аффинной плоскости , т. е. план 3-( n ²  + 1, n  + 1, 1), называется конечной инверсной плоскостью , или плоскостью Мёбиуса , порядка  n .

Можно дать геометрическое описание некоторых инверсных плоскостей, на самом деле, всех известных инверсных плоскостей. Овоид в PG(3, q ) — это набор из q ²  + 1 точек, никакие три из которых не коллинеарны. Можно показать, что каждая плоскость (которая является гиперплоскостью, поскольку геометрическая размерность равна 3) PG(3, q ) пересекает овоид O либо в 1, либо в q  + 1 точке. Плоские сечения размера q  + 1 плоскости O являются блоками инверсной плоскости порядка  q . Любая инверсная плоскость, возникающая таким образом, называется яйцевидной . Все известные инверсные плоскости являются яйцевидными.

Примером овоида является эллиптическая квадрика , множество нулей квадратичной формы

х ₁ х ₂ + f ( х ₃ , х ₄ ),

где f — неприводимая квадратичная форма от двух переменных над GF( q ). [ например, f ( x , y ) = x ² + xy + y ^{2 ].}

Если q является нечетной степенью числа 2, то известен другой тип овоида — овоид Сузуки–Титса .

Теорема . Пусть q — положительное целое число, не меньше 2. (a) Если q нечетно, то любой овоид проективно эквивалентен эллиптической квадрике в проективной геометрии PG(3, q ); поэтому q — степень простого числа, и существует единственная яйцевидная инверсная плоскость порядка q . (Но неизвестно, существуют ли неяйцевидные.) (b) Если q четно, то q — степень 2, и любая инверсная плоскость порядка q является яйцевидной (но могут быть некоторые неизвестные овоиды).

Схема ассоциации n - класса состоит из множества X размера v вместе с разбиением S X × X на n + 1 бинарных отношений , R ₀ , R ₁ , ..., R _n . Пара элементов в отношении R _i называется i th– ассоциированными . Каждый элемент X имеет n _i i th ассоциированных. Кроме того:  

• ${\displaystyle R_{0}=\{(x,x):x\in X\}}$и называется отношением тождества .
• Определение , если R в S , то R* в S${\displaystyle R^{*}:=\{(x,y)|(y,x)\in R\}}$
• Если , то число таких, что и является константой, зависящей от i , j , k , но не от конкретного выбора x и y .${\displaystyle (x,y)\in R_{k}}$${\displaystyle z\in X}$${\displaystyle (x,z)\in R_{i}}$${\displaystyle (z,y)\in R_{j}}$${\displaystyle p_{ij}^{k}}$

Схема ассоциации коммутативна, если для всех i , j и k . Большинство авторов предполагают это свойство.${\displaystyle p_{ij}^{k}=p_{ji}^{k}}$

Частично сбалансированная неполная блочная конструкция с n ассоциированными классами (PBIBD( n )) представляет собой блочную конструкцию, основанную на v -множестве X с b блоками, каждый из которых имеет размер k , и каждый элемент появляется в r блоках, так что существует схема ассоциации с n классами, определенными на X , где, если элементы x и y являются i- ми ассоциированными элементами, 1 ≤ i ≤ n , то они находятся вместе ровно в λ _i блоках.

PBIBD( n ) определяет схему ассоциации, но обратное утверждение неверно. ^[29]

Пусть A (3) будет следующей схемой ассоциации с тремя ассоциированными классами на множестве X = {1,2,3,4,5,6}. Элемент ( i , j ) равен s, если элементы i и j находятся в отношении R _s .

Блоки PBIBD(3) на основе A (3) следующие:

Параметры этого PBIBD(3) таковы: v  = 6, b  = 8, k  = 3, r  = 4 и λ ₁  = λ ₂  = 2 и λ ₃  = 1. Кроме того, для схемы ассоциации мы имеем n ₀  =  n ₂  = 1 и n ₁  =  n ₃  = 2. ^[30] Матрица инцидентности M равна

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&1&1&0&0&0&0\\1&1&0&0&1&1&0&0\\0&0&1&1&1&1&0&0\\1&0&1&0&0&0&1&1\\0&1&0&0&1&0&1&1\\0&0&0&1&0&1&1&1\\\end{pmatrix}}}$

и матрица совпадений MM ^T равна

${\displaystyle {\begin{pmatrix}4&2&2&2&1&1\\2&4&2&1&2&1\\2&2&4&1&1&2\\2&1&1&4&2&2\\1&2&1&2&4&2\\1&1&2&2&2&4\\\end{pmatrix}}}$

из которого мы можем восстановить значения λ и r .

Параметры PBIBD( m ) удовлетворяют: ^[31]

1. ${\displaystyle vr=bk}$
2. ${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}n_{i}=v-1}$
3. ${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}n_{i}\lambda _{i}=r(k-1)}$
4. ${\displaystyle \sum _{u=0}^{m}p_{ju}^{h}=n_{j}}$
5. ${\displaystyle n_{i}p_{jh}^{i}=n_{j}p_{ih}^{j}}$

PBIBD(1) является BIBD, а PBIBD(2), в котором λ ₁  = λ _2, является BIBD. ^[32]

PBIBD(2) были изучены больше всего, поскольку они являются самыми простыми и полезными из PBIBD. ^[33] Они делятся на шесть типов ^[34] на основе классификации известных тогда PBIBD(2) Бозе и Шимамото (1952): ^[35]

1. группа делимая;
2. треугольный;
3. Шрифт латинский квадратный;
4. циклический;
5. тип частичной геометрии;
6. разнообразный.

Математический предмет блочных схем возник в статистической структуре планирования экспериментов . Эти схемы были особенно полезны в приложениях техники дисперсионного анализа (ANOVA) . Это остается важной областью использования блочных схем.

Хотя истоки предмета уходят в биологические приложения (как и часть существующей терминологии), разработки используются во многих приложениях, где проводятся систематические сравнения, например, при тестировании программного обеспечения .

Матрица инцидентности блочных конструкций обеспечивает естественный источник интересных блочных кодов , которые используются как коды исправления ошибок . Строки их матриц инцидентности также используются как символы в форме импульсно-позиционной модуляции . ^[36]

Предположим, что исследователи рака кожи хотят протестировать три разных солнцезащитных крема. Они наносят два разных солнцезащитных крема на верхние стороны рук испытуемого. После УФ-облучения они регистрируют раздражение кожи в виде солнечных ожогов. Количество процедур — 3 (солнцезащитных кремов), а размер блока — 2 (руки на человека).

Соответствующий BIBD может быть сгенерирован с помощью R -функции design.bib R-пакета agricolae и указан в следующей таблице:

Исследователь выбирает параметры v = 3 , k = 2 и λ = 1 для блочной конструкции, которые затем вставляются в функцию R. Затем автоматически определяются оставшиеся параметры b и r .

Используя основные соотношения, мы вычисляем, что нам нужно b = 3 блока, то есть 3 тестовых человека, чтобы получить сбалансированный неполный блочный дизайн. Обозначая блоки A , B и C , чтобы избежать путаницы, мы имеем блочный дизайн,

А = {2, 3 },    В = {1, 3 } и С = {1, 2 }.

Соответствующая матрица инцидентности указана в следующей таблице:

Каждое лечение происходит в 2 блока, поэтому r = 2 .

Только один блок ( C ) содержит обработки 1 и 2 одновременно, и то же самое относится к парам обработок (1,3) и (2,3). Следовательно, λ = 1 .

В этом примере невозможно использовать полный дизайн (все процедуры в каждом блоке), поскольку необходимо протестировать 3 солнцезащитных крема, но только 2 руки у каждого человека.

• Геометрия падения
• система Штайнера

• Ашбахер, Михаэль (1971). «О группах коллинеаций симметричных блок-схем». Журнал комбинаторной теории . Серия A. 11 (3): 272– 281. doi : 10.1016/0097-3165(71)90054-9 .
• Асмус, Э.Ф.; Ки, Дж.Д. (1992), Конструкции и их коды , Кембридж: Cambridge University Press, ISBN 0-521-41361-3
• Бет, Томас; Юнгникель, Дитер ; Ленц, Ханфрид (1986), Теория дизайна , Cambridge University Press. 2-е изд. (1999) ISBN 978-0-521-44432-3 . 
• Бозе, Р. К. (1949), «Заметка о неравенстве Фишера для сбалансированных неполных блочных схем», Annals of Mathematical Statistics , 20 (4): 619– 620, doi : 10.1214/aoms/1177729958
• Бозе, Р. К.; Шимамото, Т. (1952), «Классификация и анализ частично сбалансированных неполных блочных схем с двумя ассоциированными классами», Журнал Американской статистической ассоциации , 47 (258): 151– 184, doi : 10.1080/01621459.1952.10501161
• Кэмерон, П. Дж.; ван Линт, Дж. Х. (1991), Проекты, графики, коды и их связи , Cambridge University Press, ISBN 0-521-42385-6
• Колборн, Чарльз Дж.; Диниц, Джеффри Х. (2007), Справочник комбинаторных конструкций (2-е изд.), Бока-Ратон: Chapman & Hall/CRC, ISBN 978-1-58488-506-1
• Фишер, РА (1940), «Исследование различных возможных решений проблемы в неполных блоках», Annals of Eugenics , 10 : 52–75 , doi : 10.1111/j.1469-1809.1940.tb02237.x, hdl : 2440/15239
• Холл, Маршалл-младший (1986), Комбинаторная теория (2-е изд.), Нью-Йорк: Wiley-Interscience, ISBN 0-471-09138-3
• Хьюз, DR; Пайпер, EC (1985), Теория дизайна , Кембридж: Cambridge University Press, ISBN 0-521-25754-9
• Каски, Петтери; Эстергард, Патрик (2008). «Существует ровно пять бипланов с k = 11». Журнал комбинаторных конструкций . 16 (2): 117– 127. doi :10.1002/jcd.20145. MR  2384014. S2CID  120721016.
• Ландер, Э.С. (1983), Симметричные конструкции: алгебраический подход , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-28693-0
• Линднер, CC; Роджер, CA (1997), Теория дизайна , Бока-Ратон: CRC Press, ISBN 0-8493-3986-3
• Рагхаварао, Дамараджу (1988). Конструкции и комбинаторные проблемы в планировании экспериментов . Довер. ISBN 978-0-486-65685-4.
• Рагхаварао, Дамараджу ; Паджетт, Л.В. (11 октября 2005 г.). Блочные конструкции: анализ, комбинаторика и приложения . World Scientific. ISBN 978-981-4480-23-9.
• Райзер, Герберт Джон (1963), «8. Комбинаторные конструкции», Комбинаторная математика , Математические монографии Каруса, т. 14, Математическая ассоциация Америки, стр.  96–130 , ISBN 978-1-61444-014-7
• Salwach, Chester J.; Mezzaroba, Joseph A. (1978). «Четыре биплана с k = 9». Журнал комбинаторной теории . Серия A. 24 (2): 141– 145. doi : 10.1016/0097-3165(78)90002-X .
• Кхаттри, Равиндра (2019). «Заметка о несуществовании неполных блочных конструкций с постоянной суммой блоков». Communications in Statistics - Theory and Methods . 48 (20): 5165– 5168. doi : 10.1080/03610926.2018.1508715. S2CID  125795689.
• Кхаттри, Равиндра (2022). «О построении равноповторных постоянных блочно-суммовых планов». Сообщения по статистике — теория и методы . 51 (2): 4434– 4450. doi :10.1080/03610926.2020.1814816. S2CID  225335042.
• Шрикханде, СС ; Бхат-Наяк, Васанти Н. (1970), «Неизоморфные решения некоторых сбалансированных неполных блок-схем I», Журнал комбинаторной теории , 9 (2): 174– 191, doi : 10.1016/S0021-9800(70)80024-2
• Стинсон, Дуглас Р. (2003), Комбинаторные конструкции: конструкции и анализ , Springer, ISBN 0-387-95487-2
• Стрит, Энн Пенфолд и Стрит, Дебора Дж. (1987). Комбинаторика экспериментального проектирования . Oxford UP [Clarendon]. ISBN 0-19-853256-3.
• ван Линт, Дж. Х.; Уилсон, Р. М. (1992). Курс комбинаторики . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-41057-1.

• DesignTheory.Org: Базы данных комбинаторных, статистических и экспериментальных блочных конструкций. Программное обеспечение и другие ресурсы, размещенные Школой математических наук в Колледже королевы Марии Лондонского университета.
• Ресурсы по теории дизайна: страница Питера Кэмерона с веб-ресурсами по теории дизайна.
• Вайсштейн, Эрик В. «Блочные конструкции». Математический мир .