Аксиоматическая схема спецификации
Понятие в аксиоматической теории множеств

Во многих популярных версиях аксиоматической теории множеств схема аксиом спецификации [1], также известная как схема аксиом разделения ( Aussonderungsaxiom ), [2] аксиома подмножества [3] , аксиома построения классов [ 4] или схема аксиом ограниченного понимания является схемой аксиом . По сути, она говорит, что любой определяемый подкласс множества является множеством.

Некоторые математики называют это аксиоматической схемой понимания , хотя другие используют этот термин для обозначения неограниченного понимания , которое обсуждается ниже.

Поскольку ограничение понимания позволило избежать парадокса Рассела , несколько математиков, включая Цермело , Френкеля и Гёделя , считали его важнейшей аксиомой теории множеств. [5]

Заявление

Один экземпляр схемы включен для каждой формулы φ в языке теории множеств со свободными переменными среди x , w 1 , ..., w n , A . Таким образом, B не встречается свободно в φ. На формальном языке теории множеств схема аксиом выглядит так:

∀ ж 1 , … , ж н ∀ А ∃ Б ∀ х ( х ∈ Б ⇔ [ х ∈ А ∧ φ ( х , ж 1 , … , ж н , А ) ] ) {\displaystyle \forall w_{1},\ldots ,w_{n}\,\forall A\,\exists B\,\forall x\,(x\in B\Leftrightarrow [x\in A\land \varphi (x,w_{1},\ldots ,w_{n},A)])}

или словами:

Для любого множества A существует множество B (подмножество A ) такое, что для любого множества x , x является членом B тогда и только тогда, когда x является членом A и φ выполняется для x .

Обратите внимание, что для каждого такого предиката φ существует одна аксиома ; таким образом, это схема аксиом .

Чтобы понять эту схему аксиом, обратите внимание, что множество B должно быть подмножеством A . Таким образом, схема аксиом на самом деле говорит, что, имея множество A и предикат , мы можем найти подмножество B множества A , элементы которого являются в точности элементами A , которые удовлетворяют . По аксиоме экстенсиональности это множество уникально. Мы обычно обозначаем это множество с помощью нотации конструктора множеств как . Таким образом, суть аксиомы такова: φ {\displaystyle \varphi} φ {\displaystyle \varphi} Б = { х ∈ А | φ ( х ) } {\displaystyle B=\{x\in A|\varphi (x)\}}

Каждый подкласс множества, определяемый предикатом, сам по себе является множеством.

Предшествующая форма разделения была введена в 1930 году Торальфом Сколемом как уточнение предыдущей, непервопорядковой [6] формы Цермело. [7] Аксиоматическая схема спецификации характерна для систем аксиоматической теории множеств, связанных с обычной теорией множеств ZFC , но обычно не появляется в радикально отличающихся системах альтернативной теории множеств . Например, Новые основания и позитивная теория множеств используют различные ограничения аксиомы понимания наивной теории множеств . Альтернативная теория множеств Вопенки делает особый акцент на разрешении собственных подклассов множеств, называемых полумножествами . Даже в системах, связанных с ZFC, эта схема иногда ограничивается формулами с ограниченными кванторами, как в теории множеств Крипке–Платека с праэлементами .

Отношение к аксиоматической схеме замены

Аксиоматическая схема спецификации подразумевается аксиоматической схемой замены вместе с аксиомой пустого множества . [8] [a]

Схема аксиом замены гласит, что если функция определяется формулой , то для любого множества существует множество : ф {\displaystyle f} φ ( х , у , п 1 , … , п н ) {\displaystyle \varphi (x,y,p_{1},\ldots ,p_{n})} А {\displaystyle А} Б = ф ( А ) = { ф ( х ) ∣ х ∈ А } {\displaystyle B=f(A)=\{f(x)\mid x\in A\}}

∀ х ∀ у ∀ з ∀ п 1 … ∀ п н [ φ ( х , у , п 1 , … , п н ) ∧ φ ( х , з , п 1 , … , п н ) ⟹ у = з ] ⟹ ∀ А ∃ Б ∀ у ( у ∈ Б ⟺ ∃ х ( х ∈ А ∧ φ ( х , у , п 1 , … , п н ) ) ) {\displaystyle {\begin{align}&\forall x\,\forall y\,\forall z\,\forall p_{1}\ldots \forall p_{n}[\varphi (x,y,p_{1},\ldots ,p_{n})\wedge \varphi (x,z,p_{1},\ldots ,p_{n})\implies y=z]\implies \\&\forall A\,\exists B\,\forall y(y\in B\iflg \exists x(x\in A\wedge \varphi (x,y,p_{1},\ldots ,p_{n})))\end{align}}} . [8]

Чтобы вывести схему аксиом спецификации, пусть будет формулой и множеством, и определите функцию так, что если истинно, а если ложно, где такое, что истинно. Тогда множество, гарантированное схемой аксиом замены, — это в точности то множество, которое требуется в схеме аксиом спецификации. Если не существует, то в схеме аксиом спецификации есть пустое множество, существование которого (т. е. аксиома пустого множества) тогда необходимо. [8] φ ( х , п 1 , … , п н ) {\displaystyle \varphi (x,p_{1},\ldots ,p_{n})} з {\displaystyle z} ф {\displaystyle f} ф ( х ) = х {\displaystyle f(x)=x} φ ( х , п 1 , … , п н ) {\displaystyle \varphi (x,p_{1},\ldots ,p_{n})} ф ( х ) = ты {\displaystyle f(x)=u} φ ( х , п 1 , … , п н ) {\displaystyle \varphi (x,p_{1},\ldots ,p_{n})} ты ∈ з {\displaystyle u\in z} φ ( ты , п 1 , … , п н ) {\displaystyle \varphi (u,p_{1},\ldots ,p_{n})} у {\displaystyle у} у {\displaystyle у} ты {\displaystyle u} ф ( х ) {\displaystyle f(x)}

По этой причине схема аксиом спецификации исключена из некоторых аксиоматизаций ZF ( теория множеств Цермело–Френкеля ), [9] хотя некоторые авторы, несмотря на избыточность, включают обе. [10] Независимо от этого, схема аксиом спецификации примечательна, поскольку она была в оригинальном списке аксиом Цермело 1908 года, до того, как Френкель изобрел аксиому замены в 1922 году. [9] Кроме того, если взять теорию множеств ZFC (т. е. ZF с аксиомой выбора), удалить аксиому замены и аксиому набора , но сохранить схему аксиом спецификации, то получится более слабая система аксиом, называемая ZC (т. е. аксиомы Цермело плюс аксиома выбора). [11]

Неограниченное понимание

Схема аксиом неограниченного понимания гласит:

∀ ж 1 , … , ж н ∃ Б ∀ х ( х ∈ Б ⇔ φ ( х , ж 1 , … , ж н ) ) {\displaystyle \forall w_{1},\ldots ,w_{n}\,\exists B\,\forall x\,(x\in B\Leftrightarrow \varphi (x,w_{1},\ldots ,w_{n}))}

то есть:

Существует множество B , членами которого являются именно те объекты, которые удовлетворяют предикату φ .

Этот набор B снова уникален и обычно обозначается как { x  : φ ( x , w 1 , ..., w b )}.

В теории неотсортированных материальных множеств аксиома или правило полного или неограниченного понимания гласит, что для любого свойства P существует множество { x | P ( x )} всех объектов, удовлетворяющих P. [12]

Эта схема аксиом негласно использовалась в ранние дни наивной теории множеств , до того, как была принята строгая аксиоматизация. Однако позже было обнаружено, что она напрямую приводит к парадоксу Рассела , если принять φ ( x ) равным ¬( x  ∈  x ) (т. е. свойство, что множество x не является членом самого себя). Следовательно, никакая полезная аксиоматизация теории множеств не может использовать неограниченное понимание. Переход от классической логики к интуиционистской логике не помогает, поскольку доказательство парадокса Рассела интуиционистски обосновано.

Принятие только аксиоматической схемы спецификации стало началом аксиоматической теории множеств. Большинство других аксиом Цермело–Френкеля (но не аксиома экстенсиональности , аксиома регулярности или аксиома выбора ) затем стали необходимыми для восполнения части того, что было утрачено при изменении аксиоматической схемы понимания на аксиоматическю схему спецификации – каждая из этих аксиом утверждает, что существует определенное множество, и определяет это множество, давая предикат для его членов, которым они должны удовлетворять, т. е. это особый случай аксиоматической схемы понимания.

Также можно предотвратить несогласованность схемы, ограничив, к каким формулам она может применяться, например, только стратифицированные формулы в Новых основаниях (см. ниже) или только положительные формулы (формулы только с конъюнкцией, дизъюнкцией, квантификацией и атомарными формулами) в теории положительных множеств . Однако положительные формулы, как правило, не могут выразить некоторые вещи, которые могут выразить большинство теорий; например, в теории положительных множеств нет дополнения или относительного дополнения.

В теории классов NBG

В теории множеств фон Неймана–Бернейса–Гёделя проводится различие между множествами и классами . Класс C является множеством тогда и только тогда, когда он принадлежит некоторому классу E. В этой теории существует схема теоремы , которая гласит: ∃ Д ∀ С ( [ С ∈ Д ] ⟺ [ П ( С ) ∧ ∃ Э ( С ∈ Э ) ] ) , {\displaystyle \exists D\forall C\,([C\in D]\iff [P(C)\land \exists E\,(C\in E)])\,,}

то есть,

Существует класс D такой, что любой класс C является членом D тогда и только тогда, когда C является множеством, удовлетворяющим P.

при условии, что квантификаторы в предикате P ограничены множествами.

Эта схема теоремы сама по себе является ограниченной формой понимания, которая избегает парадокса Рассела из-за требования, чтобы C было множеством. Тогда спецификация для самих множеств может быть записана как одна аксиома ∀ Д ∀ А ( ∃ Э [ А ∈ Э ] ⟹ ∃ Б [ ∃ Э ( Б ∈ Э ) ∧ ∀ С ( С ∈ Б ⟺ [ С ∈ А ∧ С ∈ Д ] ) ] ) , {\displaystyle \forall D\forall A\,(\exists E\,[A\in E]\implies \exists B\,[\exists E\,(B\in E)\land \forall C\,(C\in B\iff [C\in A\land C\in D])])\,,}

то есть,

Для любого класса D и любого множества A существует множество B , членами которого являются в точности те классы, которые являются членами как A , так и D.

или еще проще

Пересечение класса D и множества A само по себе является множеством B.

В этой аксиоме предикат P заменяется классом D , который может быть квантифицирован. Другая более простая аксиома, которая достигает того же эффекта, это ∀ А ∀ Б ( [ ∃ Э ( А ∈ Э ) ∧ ∀ С ( С ∈ Б ⟹ С ∈ А ) ] ⟹ ∃ Э [ Б ∈ Э ] ) , {\displaystyle \forall A\forall B\,([\exists E\,(A\in E)\land \forall C\,(C\in B\implies C\in A)]\implies \exists E\,[B\in E])\,,}

то есть,

Подклассом множества является множество.

В настройках более высокого порядка

В типизированном языке, где мы можем квантифицировать по предикатам, схема аксиом спецификации становится простой аксиомой. Это во многом тот же трюк, который использовался в аксиомах NBG предыдущего раздела, где предикат был заменен классом, который затем квантифицировался по.

В логике второго порядка и логике высшего порядка с семантикой высшего порядка аксиома спецификации является логической действительностью и не требует явного включения в теорию.

В «Новых основаниях» Куайна

В подходе New Foundations к теории множеств, впервые предложенном WVO Quine , аксиома понимания для данного предиката принимает неограниченную форму, но предикаты, которые могут использоваться в схеме, сами по себе ограничены. Предикат ( C is not in C ) запрещён, потому что один и тот же символ C появляется по обе стороны от символа принадлежности (и, следовательно, в разных «относительных типах»); таким образом, парадокс Рассела избегается. Однако, принимая P ( C ) равным ( C = C ) , что разрешено, мы можем сформировать множество всех множеств. Подробности см. в разделе стратификация .

Ссылки

  1. ^ "AxiomaticSetTheory". www.cs.yale.edu . Схема аксиом спецификации . Получено 2024-06-08 .
  2. ^ ab Suppes, Patrick (1972-01-01). Аксиоматическая теория множеств. Courier Corporation. стр. 6, 19, 21, 237. ISBN 978-0-486-61630-8.
  3. ^ Каннингем, Дэниел У. (2016). Теория множеств: первый курс . Кембриджские математические учебники. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Cambridge University Press. С. 22, 24–25 , 29. ISBN 978-1-107-12032-7.
  4. ^ Пинтер, Чарльз С. (2014-06-01). Книга теории множеств. Courier Corporation. стр. 27. ISBN 978-0-486-79549-2.
  5. ^ Хайнц-Дитер Эббингауз (2007). Эрнст Цермело: Подход к его жизни и работе . Springer Science & Business Media. стр. 88. ISBN 978-3-540-49553-6.
  6. ^ FR Drake, Теория множеств: Введение в большие кардиналы (1974), стр. 12--13. ISBN 0 444 10535 2.
  7. ^ WVO Quine, Математическая логика (1981), стр. 164. Издательство Гарвардского университета, 0-674-55451-5
  8. ^ abc Toth, Gabor (2021-09-23). ​​Elements of Mathematics: A Problem-Centered Approach to History and Foundations. Springer Nature. стр. 32. ISBN 978-3-030-75051-0.
  9. ^ Аб Байнок, Бела (27 октября 2020 г.). Приглашение к абстрактной математике. Спрингер Природа. п. 138. ИСБН 978-3-030-56174-1.
  10. ^ Vaught, Robert L. (2001-08-28). Теория множеств: Введение. Springer Science & Business Media. стр. 67. ISBN 978-0-8176-4256-3.
  11. ^ Кановей, Владимир; Рикен, Майкл (2013-03-09). Нестандартный анализ, аксиоматически. Springer Science & Business Media. стр. 21. ISBN 978-3-662-08998-9.
  12. ^ "аксиома полного понимания в nLab". ncatlab.org . Получено 2024-11-07 .

Дальнейшее чтение

  • Crossley, J.bN.; Ash, CJ; Brickhill, CJ; Stillwell, JC; Williams, NH (1972). Что такое математическая логика? . Лондон-Оксфорд-Нью-Йорк: Oxford University Press . ISBN 0-19-888087-1. Збл  0251.02001.
  • Халмос, Пол , Наивная теория множеств . Принстон, Нью-Джерси: Компания Д. Ван Ностранда, 1960. Перепечатано Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (издание Springer-Verlag). 
  • Jech, Thomas, 2003. Теория множеств: издание третьего тысячелетия, исправленное и расширенное . Springer. ISBN 3-540-44085-2 . 
  • Кунен, Кеннет, 1980. Теория множеств: Введение в доказательства независимости . Elsevier. ISBN 0-444-86839-9 . 

Примечания

  1. ^ Саппс [2] , цитируемый ранее, вывел его только из схемы аксиом замены (стр. 237), но это потому, что он начал свою формулировку теории множеств, включив пустое множество как часть определения множества: его Определение 1 на стр. 19 гласит, что . y  is a set ⟺ ( ∃ x )   ( x ∈ y ∨ y = ∅ ) {\displaystyle y{\text{ is a set}}\iff (\exists x)\ (x\in y\lor y=\emptyset )}
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Axiom_schema_of_specification&oldid=1269719171#Unrestricted_comprehension"