Аксиома Паша

В геометрии аксиома Паша — это утверждение в планарной геометрии , неявно использованное Евклидом , которое не может быть выведено из постулатов , как их дал Евклид. [1] Его существенная роль была открыта Морицем Пашем в 1882 году. [2]

Заявление

Две линии (черного цвета), пересекающие сторону треугольника изнутри и пересекающие другие стороны изнутри и снаружи.

Аксиома гласит, что [3]

Аксиома Паша  —  Пусть A , B , C — три точки, не лежащие на одной прямой , и пусть a — прямая в плоскости ABC , которая не пересекает ни одну из точек A , B , C. Если прямая a проходит через точку отрезка AB , то она также проходит через точку отрезка AC или через точку отрезка BC .

Тот факт, что отрезки AC и BC не пересекаются прямой a, доказан в Приложении I,1, написанном П. Бернайсом . [4]

Более современная версия этой аксиомы выглядит следующим образом: [5]

Более современная версия аксиомы Паша  —  На плоскости, если прямая пересекает одну сторону треугольника изнутри , то она пересекает точно одну другую сторону изнутри и третью сторону снаружи , если она не проходит через вершину треугольника.

(В случае, если третья сторона параллельна нашей линии, мы считаем «пересечение в бесконечности» внешним.) Часто встречается более неформальная версия аксиомы:

Более неформальная версия аксиомы Паша  —  если прямая, не проходящая ни через одну вершину треугольника, пересекает одну сторону треугольника, то она пересекает другую сторону.

История

Паш опубликовал эту аксиому в 1882 году [2] и показал, что аксиомы Евклида были неполными. Аксиома была частью подхода Паша к введению концепции порядка в геометрию плоскости.

Эквивалентности

В других трактовках элементарной геометрии, использующих различные наборы аксиом, аксиому Паша можно доказать как теорему; [6] она является следствием аксиомы разделения плоскостей, когда она берётся как одна из аксиом. Гильберт использует аксиому Паша в своей аксиоматической трактовке евклидовой геометрии . [7] Учитывая оставшиеся аксиомы в системе Гильберта, можно показать, что аксиома Паша логически эквивалентна аксиоме разделения плоскостей. [8]

Использование Гильбертом аксиомы Паша

Дэвид Гильберт использует аксиому Паша в своей книге «Основания геометрии» , которая дает аксиоматическую основу для евклидовой геометрии. В зависимости от издания, она имеет номер II.4 или II.5. [7] Его утверждение приведено выше.

В трактовке Гильберта эта аксиома появляется в разделе, посвященном аксиомам порядка, и называется плоской аксиомой порядка . Поскольку он не формулирует аксиому в терминах сторон треугольника (рассматриваемых как линии, а не как отрезки), нет необходимости говорить о внутренних и внешних пересечениях линии a со сторонами треугольника ABC .

Предостережения

Аксиома Паша отличается от теоремы Паша , которая является утверждением о порядке четырех точек на прямой. Однако в литературе есть много случаев, когда аксиому Паша называют теоремой Паша. Ярким примером этого является Гринберг (1974, стр. 67).

Аксиому Паша не следует путать с аксиомой Веблена-Юнга для проективной геометрии , [9] которую можно сформулировать следующим образом:

Аксиома Веблена-Юнга для проективной геометрии  —  если прямая пересекает две стороны треугольника, то она пересекает и третью сторону.

В аксиоме Веблена-Юнга, которая касается только свойства инцидентности пересекающихся прямых, нет упоминания о внутренних и внешних пересечениях. В проективной геометрии понятие промежуточности (требуемое для определения внутренних и внешних) недействительно, и все прямые пересекаются (поэтому вопрос о параллельных прямых не возникает).

Примечания

  1. ^ Однако его можно вывести из более слабых аксиом разделения плоскостей, которые Евклид считал само собой разумеющимися, как показано в Pambuccian 2024.
  2. ^ ab Pasch 1912, стр. 21
  3. ^ Это взято из перевода Унгера 10-го издания «Основ геометрии» Гильберта и имеет номер II.4.
  4. ↑ Гильберт 1999, стр. 200, перевод Унгера.
  5. ^ Бойтельспехер и Розенбаум 1998, стр. 7
  6. ^ Уайли, младший, 1964, стр. 100
  7. ^ ab axiom II.5 в «Основаниях геометрии» Гильберта (перевод Таунсенда, ссылка на который приведена ниже), в авторизованном английском переводе 10-го издания, переведенном Л. Унгером (также опубликованном Open Court), она имеет номер II.4. Между этими переводами есть несколько различий.
  8. ^ Для этого нужны только аксиомы Гильберта I.1,2,3 и II.1,2,3. Доказательство дано в Faber (1983, стр. 116–117).
  9. ^ Бойтельспехер и Розенбаум 1998, стр. 6

Ссылки

  • Бойтельспахер, Альбрехт; Розенбаум, Уте (1998), Проективная геометрия: от основ к приложениям , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-48364-3, г-н  1629468
  • Фабер, Ричард Л. (1983), Основы евклидовой и неевклидовой геометрии , Нью-Йорк: Marcel Dekker, Inc., ISBN 978-0-8247-1748-3
  • Гринберг, Марвин Джей (1974), Евклидова и неевклидова геометрии: развитие и история (1-е изд.), Сан-Франциско: WH Freeman, ISBN 978-0-7167-0454-6
    • Гринберг, Марвин Джей (2007), Евклидова и неевклидова геометрии: развитие и история (4-е изд.), Сан-Франциско: WH Freeman, ISBN 978-0-7167-9948-1
  • Гильберт, Давид (1903), Grundlagen der Geometrie (на немецком языке), Лейпциг: Б. Г. Тойбнер
    • Гильберт, Дэвид (1950) [1902], Основы геометрии (PDF) , перевод Таунсенда, Э. Дж., Ла-Салль, Иллинойс: Open Court Publishing
    • Гильберт, Дэвид (1999) [1971], Основы геометрии , перевод Унгера, Лео (2-е изд.), Ла-Салль, Иллинойс: Open Court Publishing, ISBN 978-0-87548-164-7
  • Моисе, Эдвин (1990), Элементарная геометрия с продвинутой точки зрения (третье изд.), Эддисон-Уэсли, Рединг, Массачусетс, стр. 74, ISBN 978-0-201-50867-3
  • Памбукчян, Виктор (2011), «Аксиоматика упорядоченной геометрии: I. Упорядоченные пространства инцидентности», Expositiones Mathematicae (29): 24– 66, doi : 10.1016/j.exmath.2010.09.004
  • Памбуккиан, Виктор (2024), «Почему Евклиду не нужна была аксиома Паша?», Журнал геометрии (115), doi :10.1007/s00022-024-00712-x
  • Паш, Мориц (1912) [первое издание 1882 г.], Vorlesungen uber neuere Geometrie (на немецком языке) (2-е изд.), Лейпциг: Б. Г. Тойбнер
  • Уайли, младший, Кларенс Рэймонд (1964), Основы геометрии , Нью-Йорк: McGraw-Hill, ISBN 978-0-070-72191-3
    • Уайли, младший, CR (2009) [1964], Основы геометрии , Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN 978-0-486-47214-0
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Pasch%27s_axiom&oldid=1208877320"