Авторегрессионная условная гетероскедастичность
Модель временного ряда

В эконометрике модель авторегрессионной условной гетероскедастичности (ARCH) представляет собой статистическую модель для временных рядов данных , которая описывает дисперсию текущего члена ошибки или инновации как функцию фактических размеров членов ошибки предыдущих периодов времени; [1] часто дисперсия связана с квадратами предыдущих инноваций. Модель ARCH подходит, когда дисперсия ошибки во временном ряду следует модели авторегрессии (AR); если для дисперсии ошибки предполагается модель авторегрессионного скользящего среднего (ARMA), то модель является обобщенной моделью авторегрессионной условной гетероскедастичности ( GARCH ). [2]

Модели ARCH обычно используются при моделировании финансовых временных рядов , которые демонстрируют изменяющуюся во времени волатильность и кластеризацию волатильности , т. е. периоды колебаний, перемежаемые периодами относительного спокойствия (то есть, когда временной ряд демонстрирует гетероскедастичность). Модели типа ARCH иногда считаются принадлежащими к семейству моделей стохастической волатильности , хотя это строго неверно, поскольку в момент времени t волатильность полностью предопределена (детерминирована) с учетом предыдущих значений. [3]

Спецификация модели

Для моделирования временного ряда с использованием процесса ARCH обозначим члены ошибки (возврат остатков по отношению к среднему процессу), т.е. члены ряда. Они разделены на стохастическую часть и зависящее от времени стандартное отклонение, характеризующее типичный размер членов, так что   ϵ т   {\displaystyle ~\epsilon _{t}~}   ϵ т   {\displaystyle ~\epsilon _{t}~} з т {\displaystyle z_{t}} σ т {\displaystyle \сигма _{т}}

  ϵ т = σ т з т   {\displaystyle ~\epsilon _{t}=\sigma _{t}z_{t}~}

Случайная величина — это сильный процесс белого шума . Ряд моделируется з т {\displaystyle z_{t}} σ т 2 {\displaystyle \сигма _{т}^{2}}

σ т 2 = α 0 + α 1 ϵ т − 1 2 + ⋯ + α д ϵ т − д 2 = α 0 + ∑ я = 1 д α я ϵ т − я 2 {\displaystyle \сигма _{t}^{2}=\альфа _{0}+\альфа _{1}\эпсилон _{t-1}^{2}+\cdots +\альфа _{q}\эпсилон _{tq}^{2}=\альфа _{0}+\сумма _{i=1}^{q}\альфа _{i}\эпсилон _{ti}^{2}} ,
где и .   α 0 > 0   {\displaystyle ~\alpha _{0}>0~} α я ≥ 0 ,   я > 0 {\displaystyle \alpha _{i}\geq 0,~i>0}

Модель ARCH( q ) можно оценить с помощью обычных наименьших квадратов . Метод проверки того, проявляют ли остатки изменяющуюся во времени гетероскедастичность с использованием теста множителя Лагранжа, был предложен Энглом (1982). Эта процедура выглядит следующим образом: ϵ т {\displaystyle \epsilon _{t}}

  1. Оцените наиболее подходящую авторегрессионную модель AR( q ) . у т = а 0 + а 1 у т − 1 + ⋯ + а д у т − д + ϵ т = а 0 + ∑ я = 1 д а я у т − я + ϵ т {\displaystyle y_{t}=a_{0}+a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{q}y_{tq}+\epsilon _{t}=a_{0}+\sum _{i=1}^{q}a_{i}y_{ti}+\epsilon _{t}}
  2. Получите квадраты ошибок и регрессируйте их на константу и q запаздывающие значения: ϵ ^ 2 {\displaystyle {\hat {\epsilon }}^{2}}
    ϵ ^ т 2 = α 0 + ∑ я = 1 д α я ϵ ^ т − я 2 {\displaystyle {\hat {\epsilon }}_{t}^{2}=\alpha _{0}+\sum _{i=1}^{q}\alpha _{i}{\hat {\epsilon }}_{ti}^{2}}
    где q — длина ARCH-лагов.
  3. Нулевая гипотеза заключается в том, что при отсутствии компонентов ARCH мы имеем для всех . Альтернативная гипотеза заключается в том, что при наличии компонентов ARCH по крайней мере один из оцененных коэффициентов должен быть значимым. В выборке остатков T при нулевой гипотезе об отсутствии ошибок ARCH тестовая статистика T'R² следует распределению с q степенями свободы, где — число уравнений в модели, которое соответствует остаткам по сравнению с лагами (т. е. ). Если T'R² больше табличного значения хи-квадрат, мы отвергаем нулевую гипотезу и делаем вывод о наличии эффекта ARCH в модели ARMA . Если T'R² меньше табличного значения хи-квадрат, мы не отвергаем нулевую гипотезу. α я = 0 {\displaystyle \альфа _{i}=0} я = 1 , ⋯ , д {\displaystyle i=1,\cdots ,q} α я {\displaystyle \альфа _{я}} χ 2 {\displaystyle \чи ^{2}} Т ′ {\displaystyle T'} Т ′ = Т − д {\displaystyle T'=Tq}

ГАРЧ

Если для дисперсии ошибки предполагается модель авторегрессионного скользящего среднего (ARMA), то модель представляет собой обобщенную модель авторегрессионной условной гетероскедастичности (GARCH). [2]

В этом случае модель GARCH ( p , q ) (где p — порядок членов GARCH , а q — порядок членов ARCH ), следуя обозначениям оригинальной статьи, задается следующим образом:   σ 2 {\displaystyle ~\сигма ^{2}}   ϵ 2 {\displaystyle ~\epsilon ^{2}}

у т = х т ′ б + ϵ т {\displaystyle y_{t}=x'_{t}b+\epsilon _{t}}

ϵ т | ψ т − 1 ∼ Н ( 0 , σ т 2 ) {\displaystyle \epsilon _{t}|\psi _{t-1}\sim {\mathcal {N}}(0,\sigma _{t}^{2})}

σ т 2 = ω + α 1 ϵ т − 1 2 + ⋯ + α д ϵ т − д 2 + β 1 σ т − 1 2 + ⋯ + β п σ т − п 2 = ω + ∑ я = 1 д α я ϵ т − я 2 + ∑ я = 1 п β я σ т − я 2 {\displaystyle \sigma _{t}^{2}=\omega +\alpha _{1}\epsilon _{t-1}^{2}+\cdots +\alpha _{q}\epsilon _{t-q}^{2}+\beta _{1}\sigma _{t-1}^{2}+\cdots +\beta _{p}\sigma _{t-p}^{2}=\omega +\sum _{i=1}^{q}\alpha _{i}\epsilon _{t-i}^{2}+\sum _{i=1}^{p}\beta _{i}\sigma _{t-i}^{2}}

Обычно при тестировании на гетероскедастичность в эконометрических моделях лучшим тестом является тест Уайта . Однако при работе с данными временных рядов это означает проверку на наличие ошибок ARCH и GARCH.

Экспоненциально взвешенное скользящее среднее (EWMA) — это альтернативная модель в отдельном классе моделей экспоненциального сглаживания. Как альтернатива моделированию GARCH, она имеет некоторые привлекательные свойства, такие как больший вес по более поздним наблюдениям, но также и недостатки, такие как произвольный фактор затухания, который вносит субъективность в оценку.

ГАРЧ(п,д) спецификация модели

Длина задержки p процесса GARCH( p , q ) устанавливается в три этапа:

  1. Оценить наиболее подходящую модель AR( q )
    y t = a 0 + a 1 y t − 1 + ⋯ + a q y t − q + ϵ t = a 0 + ∑ i = 1 q a i y t − i + ϵ t {\displaystyle y_{t}=a_{0}+a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{q}y_{t-q}+\epsilon _{t}=a_{0}+\sum _{i=1}^{q}a_{i}y_{t-i}+\epsilon _{t}} .
  2. Вычислите и постройте график автокорреляций ϵ 2 {\displaystyle \epsilon ^{2}}
    ρ ( i ) = ∑ t = i + 1 T ( ϵ ^ t 2 − σ ^ t 2 ) ( ϵ ^ t − i 2 − σ ^ t − i 2 ) ∑ t = 1 T ( ϵ ^ t 2 − σ ^ t 2 ) 2 {\displaystyle \rho (i)={{\sum _{t=i+1}^{T}({\hat {\epsilon }}_{t}^{2}-{\hat {\sigma }}_{t}^{2})({\hat {\epsilon }}_{t-i}^{2}-{\hat {\sigma }}_{t-i}^{2})} \over {\sum _{t=1}^{T}({\hat {\epsilon }}_{t}^{2}-{\hat {\sigma }}_{t}^{2})^{2}}}}
  3. Асимптотическое, то есть для больших выборок, стандартное отклонение равно . Отдельные значения, которые больше этого, указывают на ошибки GARCH. Чтобы оценить общее количество лагов, используйте тест Льюнга–Бокса , пока их значение не станет менее, скажем, 10% значимым. Q-статистика Льюнга–Бокса следует распределению с n степенями свободы, если квадраты остатков некоррелированы. Рекомендуется рассматривать до T/4 значений n . Нулевая гипотеза утверждает, что ошибок ARCH или GARCH нет. Отклонение нулевой гипотезы, таким образом, означает, что такие ошибки существуют в условной дисперсии . ρ ( i ) {\displaystyle \rho (i)} 1 / T {\displaystyle 1/{\sqrt {T}}} χ 2 {\displaystyle \chi ^{2}} ϵ t 2 {\displaystyle \epsilon _{t}^{2}}

НГАРЧ

НАГАРЧ

Нелинейный асимметричный GARCH(1,1) ( NAGARCH ) — это модель со спецификацией: [6] [7]

  σ t 2 =   ω +   α (   ϵ t − 1 −   θ   σ t − 1 ) 2 +   β   σ t − 1 2 {\displaystyle ~\sigma _{t}^{2}=~\omega +~\alpha (~\epsilon _{t-1}-~\theta ~\sigma _{t-1})^{2}+~\beta ~\sigma _{t-1}^{2}} ,
где и , что обеспечивает неотрицательность и стационарность дисперсионного процесса.   α ≥ 0 ,   β ≥ 0 ,   ω > 0 {\displaystyle ~\alpha \geq 0,~\beta \geq 0,~\omega >0}   α ( 1 +   θ 2 ) +   β < 1 {\displaystyle ~\alpha (1+~\theta ^{2})+~\beta <1}

Для доходности акций параметр обычно оценивается как положительный; в этом случае он отражает явление, обычно называемое «эффектом кредитного плеча», означающее, что отрицательная доходность увеличивает будущую волатильность на большую величину, чем положительная доходность той же величины. [6] [7]   θ {\displaystyle ~\theta }

Эту модель не следует путать с моделью NARCH и ее расширением NGARCH, представленными Хиггинсом и Берой в 1992 году. [8]

ИГАРХ

Интегрированная обобщенная авторегрессионная условная гетероскедастичность (IGARCH) — это ограниченная версия модели GARCH, где постоянные параметры в сумме дают единицу, и импортирует единичный корень в процесс GARCH. [9] Условием для этого является

∑ i = 1 p   β i + ∑ i = 1 q   α i = 1 {\displaystyle \sum _{i=1}^{p}~\beta _{i}+\sum _{i=1}^{q}~\alpha _{i}=1} .

ЭГАРХ

Модель экспоненциального обобщенного авторегрессионного условного гетероскедастического (EGARCH) Нельсона и Као (1991) является другой формой модели GARCH. Формально, EGARCH(p,q):

log ⁡ σ t 2 = ω + ∑ k = 1 q β k g ( Z t − k ) + ∑ k = 1 p α k log ⁡ σ t − k 2 {\displaystyle \log \sigma _{t}^{2}=\omega +\sum _{k=1}^{q}\beta _{k}g(Z_{t-k})+\sum _{k=1}^{p}\alpha _{k}\log \sigma _{t-k}^{2}}

где , — условная дисперсия , , , , и — коэффициенты. может быть стандартной нормальной переменной или исходить из обобщенного распределения ошибок . Формулировка для позволяет знаку и величине иметь отдельные эффекты на волатильность. Это особенно полезно в контексте ценообразования активов. [10] [11] g ( Z t ) = θ Z t + λ ( | Z t | − E ( | Z t | ) ) {\displaystyle g(Z_{t})=\theta Z_{t}+\lambda (|Z_{t}|-E(|Z_{t}|))} σ t 2 {\displaystyle \sigma _{t}^{2}} ω {\displaystyle \omega } β {\displaystyle \beta } α {\displaystyle \alpha } θ {\displaystyle \theta } λ {\displaystyle \lambda } Z t {\displaystyle Z_{t}} g ( Z t ) {\displaystyle g(Z_{t})} Z t {\displaystyle Z_{t}}

Поскольку могут быть отрицательными, ограничений по знаку для параметров нет. log ⁡ σ t 2 {\displaystyle \log \sigma _{t}^{2}}

ГАРЧ-М

Модель GARCH-in-mean (GARCH-M) добавляет член гетероскедастичности в уравнение среднего. Она имеет следующую спецификацию:

y t =   β x t +   λ   σ t +   ϵ t {\displaystyle y_{t}=~\beta x_{t}+~\lambda ~\sigma _{t}+~\epsilon _{t}}

Остаток определяется как:   ϵ t {\displaystyle ~\epsilon _{t}}

  ϵ t =   σ t   × z t {\displaystyle ~\epsilon _{t}=~\sigma _{t}~\times z_{t}}

QGARCH

Модель Quadratic GARCH (QGARCH) Сентаны (1995) используется для моделирования асимметричных эффектов положительных и отрицательных шоков.

В примере модели GARCH(1,1) остаточный процесс равен   σ t {\displaystyle ~\sigma _{t}}

  ϵ t =   σ t z t {\displaystyle ~\epsilon _{t}=~\sigma _{t}z_{t}}

где находится iid и z t {\displaystyle z_{t}}

  σ t 2 = K +   α   ϵ t − 1 2 +   β   σ t − 1 2 +   ϕ   ϵ t − 1 {\displaystyle ~\sigma _{t}^{2}=K+~\alpha ~\epsilon _{t-1}^{2}+~\beta ~\sigma _{t-1}^{2}+~\phi ~\epsilon _{t-1}}

GJR-GARCH

Подобно QGARCH, модель Glosten-Jagannathan-Runkle GARCH (GJR-GARCH) Глостена, Джаганнатана и Ранкла (1993) также моделирует асимметрию в процессе ARCH. Предложение состоит в том, чтобы моделировать , где iid, и   ϵ t =   σ t z t {\displaystyle ~\epsilon _{t}=~\sigma _{t}z_{t}} z t {\displaystyle z_{t}}

  σ t 2 = K +   δ   σ t − 1 2 +   α   ϵ t − 1 2 +   ϕ   ϵ t − 1 2 I t − 1 {\displaystyle ~\sigma _{t}^{2}=K+~\delta ~\sigma _{t-1}^{2}+~\alpha ~\epsilon _{t-1}^{2}+~\phi ~\epsilon _{t-1}^{2}I_{t-1}}

где если , и если . I t − 1 = 0 {\displaystyle I_{t-1}=0}   ϵ t − 1 ≥ 0 {\displaystyle ~\epsilon _{t-1}\geq 0} I t − 1 = 1 {\displaystyle I_{t-1}=1}   ϵ t − 1 < 0 {\displaystyle ~\epsilon _{t-1}<0}

Модель TGARCH

Модель Threshold GARCH (TGARCH) Закояна (1994) похожа на GJR GARCH. Спецификация основана на условном стандартном отклонении вместо условной дисперсии :

  σ t = K +   δ   σ t − 1 +   α 1 +   ϵ t − 1 + +   α 1 −   ϵ t − 1 − {\displaystyle ~\sigma _{t}=K+~\delta ~\sigma _{t-1}+~\alpha _{1}^{+}~\epsilon _{t-1}^{+}+~\alpha _{1}^{-}~\epsilon _{t-1}^{-}}

где если , и если . Аналогично, если , и если .   ϵ t − 1 + =   ϵ t − 1 {\displaystyle ~\epsilon _{t-1}^{+}=~\epsilon _{t-1}}   ϵ t − 1 > 0 {\displaystyle ~\epsilon _{t-1}>0}   ϵ t − 1 + = 0 {\displaystyle ~\epsilon _{t-1}^{+}=0}   ϵ t − 1 ≤ 0 {\displaystyle ~\epsilon _{t-1}\leq 0}   ϵ t − 1 − =   ϵ t − 1 {\displaystyle ~\epsilon _{t-1}^{-}=~\epsilon _{t-1}}   ϵ t − 1 ≤ 0 {\displaystyle ~\epsilon _{t-1}\leq 0}   ϵ t − 1 − = 0 {\displaystyle ~\epsilon _{t-1}^{-}=0}   ϵ t − 1 > 0 {\displaystyle ~\epsilon _{t-1}>0}

фГАРЧ

Модель fGARCH Хентшеля [12], также известная как Family GARCH , представляет собой комплексную модель, которая объединяет множество других популярных симметричных и асимметричных моделей GARCH, включая APARCH, GJR, AVGARCH, NGARCH и т. д.

КОГАРЧ

В 2004 году Клаудия Клюппельберг , Александр Линднер и Росс Маллер предложили обобщение процесса GARCH(1,1) с непрерывным временем для дискретного времени. Идея состоит в том, чтобы начать с уравнений модели GARCH(1,1)

ϵ t = σ t z t , {\displaystyle \epsilon _{t}=\sigma _{t}z_{t},}
σ t 2 = α 0 + α 1 ϵ t − 1 2 + β 1 σ t − 1 2 = α 0 + α 1 σ t − 1 2 z t − 1 2 + β 1 σ t − 1 2 , {\displaystyle \sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\alpha _{1}\epsilon _{t-1}^{2}+\beta _{1}\sigma _{t-1}^{2}=\alpha _{0}+\alpha _{1}\sigma _{t-1}^{2}z_{t-1}^{2}+\beta _{1}\sigma _{t-1}^{2},}

и затем заменить сильный процесс белого шума бесконечно малыми приращениями процесса Леви , а квадратичный процесс шума — приращениями , где z t {\displaystyle z_{t}} d L t {\displaystyle \mathrm {d} L_{t}} ( L t ) t ≥ 0 {\displaystyle (L_{t})_{t\geq 0}} z t 2 {\displaystyle z_{t}^{2}} d [ L , L ] t d {\displaystyle \mathrm {d} [L,L]_{t}^{\mathrm {d} }}

[ L , L ] t d = ∑ s ∈ [ 0 , t ] ( Δ L t ) 2 , t ≥ 0 , {\displaystyle [L,L]_{t}^{\mathrm {d} }=\sum _{s\in [0,t]}(\Delta L_{t})^{2},\quad t\geq 0,}

является чисто разрывной частью процесса квадратичной вариации . Результатом является следующая система стохастических дифференциальных уравнений : L {\displaystyle L}

d G t = σ t − d L t , {\displaystyle \mathrm {d} G_{t}=\sigma _{t-}\,\mathrm {d} L_{t},}
d σ t 2 = ( β − η σ t 2 ) d t + φ σ t − 2 d [ L , L ] t d , {\displaystyle \mathrm {d} \sigma _{t}^{2}=(\beta -\eta \sigma _{t}^{2})\,\mathrm {d} t+\varphi \sigma _{t-}^{2}\,\mathrm {d} [L,L]_{t}^{\mathrm {d} },}

где положительные параметры , и определяются как , и . Теперь, учитывая некоторые начальные условия , указанная выше система имеет единственное по траектории решение , которое затем называется моделью GARCH с непрерывным временем ( COGARCH ). [13] β {\displaystyle \beta } η {\displaystyle \eta } φ {\displaystyle \varphi } α 0 {\displaystyle \alpha _{0}} α 1 {\displaystyle \alpha _{1}} β 1 {\displaystyle \beta _{1}} ( G 0 , σ 0 2 ) {\displaystyle (G_{0},\sigma _{0}^{2})} ( G t , σ t 2 ) t ≥ 0 {\displaystyle (G_{t},\sigma _{t}^{2})_{t\geq 0}}

ZD-ГАРЧ

В отличие от модели GARCH, модель Zero-Drift GARCH (ZD-GARCH) Ли, Чжана, Чжу и Лина (2018) [14] допускает наличие дрейфа в модели GARCH первого порядка. Модель ZD-GARCH заключается в том, чтобы моделировать , где iid, а   ω = 0 {\displaystyle ~\omega =0}   ϵ t =   σ t z t {\displaystyle ~\epsilon _{t}=~\sigma _{t}z_{t}} z t {\displaystyle z_{t}}

  σ t 2 =   α 1   ϵ t − 1 2 +   β 1   σ t − 1 2 . {\displaystyle ~\sigma _{t}^{2}=~\alpha _{1}~\epsilon _{t-1}^{2}+~\beta _{1}~\sigma _{t-1}^{2}.}

Модель ZD-GARCH не требует , и поэтому она вкладывает модель экспоненциально взвешенного скользящего среднего (EWMA) в " RiskMetrics ". Поскольку дрейфовый член , модель ZD-GARCH всегда нестационарна, и ее статистические методы вывода существенно отличаются от методов классической модели GARCH. На основе исторических данных параметры и могут быть оценены обобщенным методом QMLE .   α 1 +   β 1 = 1 {\displaystyle ~\alpha _{1}+~\beta _{1}=1}   ω = 0 {\displaystyle ~\omega =0}   α 1 {\displaystyle ~\alpha _{1}}   β 1 {\displaystyle ~\beta _{1}}

Пространственный GARCH

Пространственные процессы GARCH по Отто, Шмиду и Гартоффу (2018) [15] рассматриваются как пространственный эквивалент временных обобщенных моделей авторегрессионной условной гетероскедастичности (GARCH). В отличие от временной модели ARCH, в которой распределение известно с учетом полного набора информации для предыдущих периодов, распределение не является простым в пространственной и пространственно-временной обстановке из-за взаимозависимости между соседними пространственными локациями. Пространственная модель задается как и   ϵ ( s i ) =   σ ( s i ) z ( s i ) {\displaystyle ~\epsilon (s_{i})=~\sigma (s_{i})z(s_{i})}

  σ ( s i ) 2 =   α i + ∑ v = 1 n ρ w i v ϵ ( s v ) 2 , {\displaystyle ~\sigma (s_{i})^{2}=~\alpha _{i}+\sum _{v=1}^{n}\rho w_{iv}\epsilon (s_{v})^{2},}

где обозначает -е пространственное местоположение и относится к -му элементу матрицы пространственных весов и для . Матрица пространственных весов определяет, какие местоположения считаются смежными.   s i {\displaystyle ~s_{i}} i {\displaystyle i}   w i v {\displaystyle ~w_{iv}} i v {\displaystyle iv} w i i = 0 {\displaystyle w_{ii}=0}   i = 1 , . . . , n {\displaystyle ~i=1,...,n}

GARCH, управляемый гауссовым процессом

В другом ключе сообщество машинного обучения предложило использовать модели регрессии гауссовского процесса для получения схемы GARCH. [16] Это приводит к непараметрической схеме моделирования, которая обеспечивает: (i) повышенную устойчивость к переобучению, поскольку модель маргинализируется по своим параметрам для выполнения вывода в соответствии с байесовским обоснованием вывода; и (ii) захват сильно нелинейных зависимостей без увеличения сложности модели. [ необходима ссылка ]

Ссылки

  1. ^ Энгл, Роберт Ф. (1982). «Авторегрессионная условная гетероскедастичность с оценками дисперсии инфляции в Соединенном Королевстве». Econometrica . 50 (4): 987–1007 . doi :10.2307/1912773. JSTOR  1912773.
  2. ^ ab Bollerslev, Tim (1986). «Обобщенная авторегрессионная условная гетероскедастичность». Журнал эконометрики . 31 (3): 307–327 . CiteSeerX 10.1.1.468.2892 . doi :10.1016/0304-4076(86)90063-1. S2CID  8797625. 
  3. ^ Брукс, Крис (2014). Введение в эконометрику финансов (3-е изд.). Кембридж: Cambridge University Press. стр. 461. ISBN 9781107661455.
  4. ^ Ланне, Маркку; Сайкконен, Пентти (июль 2005 г.). «Нелинейные модели GARCH для высокоустойчивой волатильности» (PDF) . The Econometrics Journal . 8 (2): 251– 276. doi :10.1111/j.1368-423X.2005.00163.x. hdl :10419/65348. JSTOR  23113641. S2CID  15252964.
  5. ^ Боллерслев, Тим; Рассел, Джеффри; Уотсон, Марк (май 2010 г.). "Глава 8: Глоссарий ARCH (GARCH)" (PDF) . Эконометрика волатильности и временных рядов: Эссе в честь Роберта Энгла (1-е изд.). Оксфорд: Oxford University Press. стр.  137–163 . ISBN 9780199549498. Получено 27 октября 2017 г. .
  6. ^ ab Engle, Robert F.; Ng, Victor K. (1993). "Измерение и тестирование влияния новостей на волатильность" (PDF) . Journal of Finance . 48 (5): 1749– 1778. doi : 10.1111/j.1540-6261.1993.tb05127.x . SSRN  262096. В финансовой литературе пока не ясно, являются ли асимметричные свойства дисперсий следствием изменения кредитного плеча. Название "эффект кредитного плеча" используется просто потому, что оно популярно среди исследователей применительно к такому явлению.
  7. ^ ab Posedel, Petra (2006). "Analysis Of The Exchange Rate And Pricing Foreign Currency Options On The Croatian Market: The Ngarch Model As An Alternative To The Black Scholes Model" (PDF) . Financial Theory and Practice . 30 (4): 347–368 . Особое внимание в модели уделяется параметру асимметрии [theta (θ)], который описывает корреляцию между доходностью и дисперсией. 6  ... 6 В случае анализа доходности акций положительное значение [theta] отражает эмпирически известный эффект рычага, указывающий на то, что нисходящее движение цены акции вызывает большее увеличение дисперсии, чем такое же нисходящее движение цены акции, что означает, что доходность и дисперсия отрицательно коррелируют
  8. ^ Хиггинс, ML; Бера, AK (1992). «Класс нелинейных арочных моделей». International Economic Review . 33 (1): 137– 158. doi :10.2307/2526988. JSTOR  2526988.
  9. ^ Капорале, Гульельмо Мария; Питтис, Никитас; Спаньоло, Никола (октябрь 2003 г.). «Модели IGARCH и структурные разрывы». Applied Economics Letters . 10 (12): 765– 768. doi :10.1080/1350485032000138403. ISSN  1350-4851.
  10. ^ Сент-Пьер, Эйлин Ф. (1998). «Оценка моделей EGARCH-M: наука или искусство». Ежеквартальный обзор экономики и финансов . 38 (2): 167– 180. doi :10.1016/S1062-9769(99)80110-0.
  11. ^ Чаттерджи, Суорн; Хаббл, Эми (2016). «Эффект дня на биотехнологических акциях США — имеют ли значение изменения политики и экономические циклы?». Annals of Financial Economics . 11 (2): 1– 17. doi :10.1142/S2010495216500081.
  12. ^ Хентшель, Людгер (1995). «Все в семье Вложенные симметричные и асимметричные модели GARCH». Журнал финансовой экономики . 39 (1): 71– 104. CiteSeerX 10.1.1.557.8941 . doi :10.1016/0304-405X(94)00821-H. 
  13. ^ Klüppelberg, C. ; Lindner, A.; Maller, R. (2004). «Непрерывный процесс GARCH, управляемый процессом Леви: стационарность и поведение второго порядка». Journal of Applied Probability . 41 (3): 601– 622. doi :10.1239/jap/1091543413. hdl : 10419/31047 . S2CID  17943198.
  14. ^ Ли, Д.; Чжан, С.; Чжу, К.; Лин, С. (2018). «Модель ZD-GARCH: новый способ изучения гетероскедастичности» (PDF) . Журнал эконометрики . 202 (1): 1– 17. doi :10.1016/j.jeconom.2017.09.003.
  15. ^ Отто, П.; Шмид, В.; Гартофф, Р. (2018). «Обобщенная пространственная и пространственно-временная авторегрессионная условная гетероскедастичность». Пространственная статистика . 26 (1): 125–145 . arXiv : 1609.00711 . Bibcode : 2018SpaSt..26..125O. doi : 10.1016/j.spasta.2018.07.005. S2CID  88521485.
  16. ^ Платаниос, Э.; Чатзис, С. (2014). «Условная гетероскедастичность смеси гауссовских процессов». Труды IEEE по анализу шаблонов и машинному интеллекту . 36 (5): 889– 900. arXiv : 1211.4410 . doi : 10.1109/TPAMI.2013.183. PMID  26353224. S2CID  10424638.

Дальнейшее чтение

  • Bollerslev, Tim; Russell, Jeffrey; Watson, Mark (май 2010). "Глава 8: Глоссарий ARCH (GARCH)" (PDF) . Эконометрика волатильности и временных рядов: Эссе в честь Роберта Энгла (1-е изд.). Оксфорд: Oxford University Press. стр.  137–163 . ISBN 9780199549498.
  • Эндерс, В. (2004). «Моделирование волатильности». Временные ряды прикладной эконометрики (второе изд.). John-Wiley & Sons. стр.  108–155 . ISBN 978-0-471-45173-0.
  • Энгл, Роберт Ф. (1982). «Авторегрессионная условная гетероскедастичность с оценками дисперсии инфляции в Соединенном Королевстве». Econometrica . 50 (4): 987– 1008. doi :10.2307/1912773. JSTOR  1912773. S2CID  18673159. (статья, которая вызвала всеобщий интерес к моделям ARCH)
  • Энгл, Роберт Ф. (1995). ARCH: избранные чтения . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-877432-7.
  • Энгл, Роберт Ф. (2001). «GARCH 101: Использование моделей ARCH/GARCH в прикладной эконометрике». Журнал экономических перспектив . 15 (4): 157– 168. doi :10.1257/jep.15.4.157. JSTOR  2696523. (короткое, читабельное введение)
  • Гуджарати, Д. Н. (2003). Основы эконометрики . С.  856–862 .
  • Хакер, RS; Хатеми-Дж, A. (2005). «Тест на многомерные эффекты ARCH». Applied Economics Letters . 12 (7): 411– 417. doi :10.1080/13504850500092129. S2CID  218639533.
  • Нельсон, ДБ (1991). «Условная гетероскедастичность в доходности активов: новый подход». Econometrica . 59 (2): 347–370 . doi :10.2307/2938260. JSTOR  2938260.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Autoregressive_conditional_heteroskedasticity&oldid=1269595229"