Атомная модель (математическая логика)

В теории моделей , подразделе математической логики , атомарная модель — это модель , в которой полный тип каждого кортежа аксиоматизируется одной формулой . Такие типы называются основными типами , а формулы , которые их аксиоматизируют , называются полными формулами .

Пусть T — теория . Полный тип p ( x ₁ , ...,  x _n ) называется главным или атомарным (относительно T ), если он аксиоматизируется относительно T одной формулой φ ( x ₁ , ...,  x _n ) ∈  p ( x ₁ , ...,  x _n ).

Формула φ называется полной в T , если для каждой формулы ψ ( x ₁ , ...,  x _n ) теория T ∪ { φ } влечет ровно одну из ψ и ¬ ψ . ^[1] Отсюда следует, что полный тип является главным тогда и только тогда, когда он содержит полную формулу.

Модель M называется атомарной , если каждый набор из n элементов M удовлетворяет формуле, которая является полной в Th( M ) — теории M .

• Упорядоченное поле действительных алгебраических чисел является уникальной атомарной моделью теории действительных замкнутых полей .
• Любая конечная модель является атомарной.
• Плотный линейный порядок без конечных точек является атомарным.
• Любая простая модель счетной теории является атомарной по теореме об исключении типов .
• Любая счетная атомарная модель является простой, но существует множество атомарных моделей, которые не являются простыми, например, несчетный плотный линейный порядок без конечных точек.
• Теория счетного числа независимых унарных отношений является полной, но не имеет завершаемых формул и атомарных моделей.

Метод «туда-сюда» можно использовать для того, чтобы показать, что любые две счетные атомарные модели теории, которые элементарно эквивалентны , являются изоморфными .

• Чан, Чэнь Чанг ; Кейслер, Х. Джером (1990), Теория моделей , Исследования по логике и основаниям математики (3-е изд.), Elsevier, ISBN 978-0-444-88054-3
• Ходжес, Уилфрид (1997), Более короткая модельная теория , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-58713-6