Измерение Ассуада
Размерность Ассуада треугольника Серпинского равна его размерности Хаусдорфа , . На рисунке мы видим, что для определенного выбора r , R и x , Для других выборов константа C может быть больше 1, но все равно ограничена. α = бревно ⁡ ( 3 ) бревно ⁡ ( 2 ) {\displaystyle \альфа ={\frac {\log(3)}{\log(2)}}} Н г ( Б Р ( х ) ∩ Э ) = 3 = 2 α = ( Р г ) α . {\displaystyle N_{r}(B_{R}(x)\cap E)=3=2^{\alpha }=\left({\frac {R}{r}}\right)^{\alpha }.}

В математике — в частности, во фрактальной геометрии — размерность Ассуада — это определение фрактальной размерности для подмножеств метрического пространства . Она была введена Патрисом Ассуадом в его докторской диссертации 1977 года и позже опубликована в 1979 году, [1] хотя то же самое понятие было изучено в 1928 году Жоржем Булиганом . [2] Помимо использования для изучения фракталов, размерность Ассуада также использовалась для изучения квазиконформных отображений и проблем вложимости .

Определение

Размерность Ассуада для , является инфимумом всех таких , что является -однородным для некоторого . [3] Х , г А ( Х ) {\displaystyle X,d_{A}(X)} с {\displaystyle с} ( Х , ς ) {\displaystyle (X,\varsigma)} ( М , с ) {\displaystyle (М,с)} М ≥ 1 {\displaystyle M\geq 1}

Пусть будет метрическим пространством , и пусть E будет непустым подмножеством X. Для r > 0 пусть обозначает наименьшее число метрических открытых шаров радиуса, меньшего или равного r , которыми можно покрыть множество E. Размерность Ассуада пространства E определяется как инфимал , для которого существуют положительные константы C и так, что всякий раз, когда выполняется следующая оценка: ( Х , г ) {\displaystyle (X,d)} Н г ( Э ) {\displaystyle N_{r}(E)} α ≥ 0 {\displaystyle \альфа \geq 0} ρ {\displaystyle \ро} 0 < г < Р ≤ ρ , {\displaystyle 0<r<R\leq \rho ,} Как дела х ∈ Э Н г ( Б Р ( х ) ∩ Э ) ≤ С ( Р г ) α . {\displaystyle \sup _{x\in E}N_{r}(B_{R}(x)\cap E)\leq C\left({\frac {R}{r}}\right)^{\alpha }.}

Интуиция, лежащая в основе этого определения, заключается в том, что для множества E с «обычной» целочисленной размерностью n количество маленьких шаров радиуса r, необходимых для покрытия пересечения большего шара радиуса R с E, будет масштабироваться как ( R / r ) n .

Связь с другими понятиями измерения

  • Размерность Ассуада метрического пространства всегда больше или равна его размерности Ассуада–Нагаты . [4]
  • Размерность Ассуада метрического пространства всегда больше или равна его верхней размерности ящика , которая, в свою очередь, больше или равна размерности Хаусдорфа . [5]
  • Размерность покрытия Лебега метризуемого пространства X — это минимальная размерность Ассуада любой метрики на X. В частности, для каждого метризуемого пространства существует метрика, для которой размерность Ассуада равна размерности покрытия Лебега. [5]

Ссылки

  1. ^ Ассуад, Патрис (1979). «Этюд метрического измерения — это возможность расширения в R n ». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série AB (на французском языке). 288 (15): А731–А734. ISSN  0151-0509. МР 532401
  2. ^ Булиганд, Жорж (1928). «Ансамбли Impropres et Nombre Dimensionnel». Бюллетень математических наук (на французском языке). 52 : 320–344.
  3. ^ Робинсон, Джеймс С. (2010). Измерения, вложения и аттракторы. Cambridge University Press. стр. 85. ISBN 9781139495189.
  4. ^ Le Donne, Enrico; Rajala, Tapio (2015). «Размерность Ассуада, размерность Нагаты и равномерно близкие метрические касательные». Indiana University Mathematics Journal . 64 (1): 21–54. arXiv : 1306.5859 . doi :10.1512/iumj.2015.64.5469. S2CID  55039643.
  5. ^ ab Luukkainen, Jouni (1998). «Размерность Ассуада: антифрактальная метризация, пористые множества и однородные меры». Журнал Корейского математического общества . 35 (1): 23–76. ISSN  0304-9914.

Дальнейшее чтение

  • Фрейзер, Джонатан М. (2020). Измерение Ассуада и фрактальная геометрия . Cambridge University Press. doi : 10.1017/9781108778459. ISBN 9781108478656. S2CID  218571013.
Получено с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Assouad_dimension&oldid=1145376973"