Асплунд пространство

В математике — в частности, в функциональном анализе — пространство Асплунда или пространство сильной дифференцируемости — это тип хорошо себя ведущего банахова пространства . Пространства Асплунда были введены в 1968 году математиком Эдгаром Асплундом, который интересовался свойствами дифференцируемости по Фреше липшицевых функций на банаховых пространствах.

Существует множество эквивалентных определений того, что означает для банахова пространства X быть пространством Асплунда :

• X является Асплундом тогда и только тогда, когда каждое сепарабельное подпространство Y пространства X имеет сепарабельное непрерывное сопряженное пространство Y ^∗ .
• X является Асплундовым тогда и только тогда, когда каждая непрерывная выпуклая функция на любом открытом выпуклом подмножестве U множества X дифференцируема по Фреше в точках плотного G _δ -подмножества U .
• X является Асплундовым тогда и только тогда, когда его сопряженное пространство X ^∗ обладает свойством Радона–Никодима . Это свойство было установлено Намиокой и Фелпсом в 1975 году и Стегаллом в 1978 году.
• X является Асплундом тогда и только тогда, когда каждое непустое ограниченное подмножество его сопряженного пространства X ^∗ имеет слабые ∗-срезы произвольно малого диаметра.
• X является Асплундовым тогда и только тогда, когда каждое непустое слабо-∗ компактное выпуклое подмножество двойственного пространства X ^∗ является слабо-∗ замкнутой выпуклой оболочкой своих слабо-∗ сильно выставленных точек . В 1975 году Хафф и Моррис показали, что это свойство эквивалентно утверждению, что каждое ограниченное, замкнутое и выпуклое подмножество двойственного пространства X ^∗ является замкнутой выпуклой оболочкой своих крайних точек.

• Класс пространств Асплунда замкнут относительно топологических изоморфизмов: то есть, если X и Y являются банаховыми пространствами, X является Асплундом и X гомеоморфно Y , то Y также является пространством Асплунда.
• Каждое замкнутое линейное подпространство пространства Асплунда является пространством Асплунда.
• Каждое факторпространство пространства Асплунда является пространством Асплунда.
• Класс пространств Асплунда замкнут относительно расширений: если X — банахово пространство, а Y — подпространство Асплунда в X, для которого факторпространство X  ⁄  Y является Асплундовым, то X является Асплундовым.
• Каждая локально липшицева функция на открытом подмножестве пространства Асплунда дифференцируема по Фреше в точках некоторого плотного подмножества своей области определения. Этот результат был установлен Прейссом в 1990 году и имеет приложения в теории оптимизации.
• Следующая теорема из оригинальной статьи Асплунда 1968 года является хорошим примером того, почему неасплундовы пространства ведут себя плохо: если X не является пространством Асплунда, то существует эквивалентная норма на X , которая не является дифференцируемой по Фреше в каждой точке X.
• В 1976 году Экланд и Лебур показали, что если X — банахово пространство, имеющее эквивалентную норму, дифференцируемую по Фреше вне начала координат, то X — пространство Асплунда. Однако в 1990 году Хейдон привел пример пространства Асплунда, не имеющего эквивалентной нормы, дифференцируемой по Гато вне начала координат.

• Асплунд, Эдгар (1968). «Дифференцируемость по Фреше выпуклых функций». Акта Математика . 121 : 31–47. дои : 10.1007/bf02391908 . ISSN  0001-5962. МР  0231199.
• Экланд, Ивар; Лебур, Жерар (1976). "Общая дифференцируемость по Фреше и возмущенные задачи оптимизации в банаховых пространствах". Труды Американского математического общества . 224 (2): 193–216 (1977). doi : 10.1090/s0002-9947-1976-0431253-2 . ISSN  0002-9947. MR  0431253.
• Хейдон, Ричард (1990). «Контрпример к нескольким вопросам о рассеянных компактных пространствах». Бюллетень Лондонского математического общества . 22 (3): 261–268. doi :10.1112/blms/22.3.261. ISSN  0024-6093. MR  1041141.
• Хафф, Р. Э.; Моррис, П. Д. (1975). «Двойственные пространства со свойством Крейна–Мильмана обладают свойством Радона–Никодима». Труды Американского математического общества . 49 : 104–108. doi : 10.1090/s0002-9939-1975-0361775-9 . ISSN  0002-9939. MR  0361775.
• Намиока, И. ; Фелпс, Р. Р. (1975). «Банаховы пространства, которые являются пространствами Асплунда». Duke Mathematical Journal . 42 (4): 735–750. doi :10.1215/s0012-7094-75-04261-1. hdl : 10338.dmlcz/127336 . ISSN  0012-7094. MR  0390721.
• Прейсс, Дэвид (1990). «Дифференцируемость липшицевых функций на банаховых пространствах». Журнал функционального анализа . 91 (2): 312–345. doi :10.1016/0022-1236(90)90147-D. ISSN  0022-1236. MR  1058975.
• Стегалл, Чарльз (1978). «Двойственность между пространствами Асплунда и пространствами со свойством Радона–Никодима». Israel Journal of Mathematics . 29 (4): 408–412. doi :10.1007/bf02761178. ISSN  0021-2172. MR  0493268.