Лемма Артина–Тейта

В алгебре лемма Артина –Тейта , названная в честь Джона Тейта и его бывшего научного руководителя Эмиля Артина , гласит: [1]

Пусть A — коммутативное нётерово кольцо и коммутативная алгебра над A. Если C имеет конечный тип над A и если C конечен над B , то B имеет конечный тип над A. Б ⊂ С {\displaystyle B\subset C}

(Здесь «конечного типа» означает « конечно порожденная алгебра », а «конечный» означает « конечно порожденный модуль ».) Лемма была введена Э. Артином и Дж. Тейтом в 1951 году [2] для доказательства теоремы Гильберта о нулевых числах .

Лемма аналогична теореме Икина–Нагаты , которая гласит: если C конечно над B и C — нётерово кольцо, то B — нётерово кольцо.

Доказательство

Следующее доказательство можно найти в книге Атьи–Макдональда. [3] Пусть генерирует как -алгебру и пусть генерирует как -модуль. Тогда мы можем записать х 1 , … , х м {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{m}} С {\displaystyle С} А {\displaystyle А} у 1 , … , у н {\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}} С {\displaystyle С} Б {\displaystyle Б}

х я = ∑ дж б я дж у дж и у я у дж = ∑ к б я дж к у к {\displaystyle x_{i}=\sum _{j}b_{ij}y_{j}\quad {\text{and}}\quad y_{i}y_{j}=\sum _{k}b_{ijk}y_{k}}

с . Тогда конечна над -алгеброй, порожденной . Используя это и, следовательно, является нётеровой, также конечна над . Поскольку является конечно порожденной -алгеброй, также является конечно порожденной -алгеброй. б я дж , б я дж к ∈ Б {\displaystyle b_{ij},b_{ijk}\in B} С {\displaystyle С} А {\displaystyle А} Б 0 {\displaystyle B_{0}} б я дж , б я дж к {\displaystyle b_{ij},b_{ijk}} А {\displaystyle А} Б 0 {\displaystyle B_{0}} Б {\displaystyle Б} Б 0 {\displaystyle B_{0}} Б 0 {\displaystyle B_{0}} А {\displaystyle А} Б {\displaystyle Б} А {\displaystyle А}

Нетеровский необходимый

Без предположения, что A является нётеровым, утверждение леммы Артина–Тейта больше не верно. Действительно, для любого ненётерова кольца A мы можем определить структуру A -алгебры на , объявив . Тогда для любого идеала , который не является конечно порожденным, не имеет конечного типа над A , но все условия, как в лемме, выполнены. С = А ⊕ А {\displaystyle C=A\oplus A} ( а , х ) ( б , у ) = ( а б , б х + а у ) {\displaystyle (a,x)(b,y)=(ab,bx+ay)} я ⊂ А {\displaystyle I\подмножество A} Б = А ⊕ я ⊂ С {\displaystyle B=A\oplus I\subset C}

Ссылки

  1. ^ Эйзенбуд, Дэвид , Коммутативная алгебра с видом на алгебраическую геометрию , Graduate Texts in Mathematics, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN  0-387-94268-8 , Упражнение 4.32
  2. ^ E Artin, JT Tate, «Заметка о конечных расширениях колец», J. Math. Soc Japan, том 3, 1951, стр. 74–77
  3. ^ М. Атья , И. Г. Макдональд , Введение в коммутативную алгебру , Addison–Wesley , 1994. ISBN 0-201-40751-5 . Предложение 7.8 
  • http://commalg.subwiki.org/wiki/Artin-Tate_lemma
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Artin–Tate_lemma&oldid=1226053723"