Нарциссическое число

В теории чисел нарциссическое число ^{[1] [2]} (также известное как плюсквамперфектный цифровой инвариант ( PPDI ) ^[3] число Армстронга ^[4] (в честь Майкла Ф. Армстронга) ^[5] или плюсовое совершенное число ) ^[6] в данной системе счисления — это число, которое является суммой своих собственных цифр, каждая из которых возведена в степень количества цифр.${\displaystyle б}$

Пусть будет натуральным числом. Определим нарциссическую функцию для базы следующим образом:${\displaystyle n}$${\displaystyle б>1}$ ${\displaystyle F_{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$

${\displaystyle F_{b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}^{k}.}$

где - количество цифр в числе в базе , а ${\displaystyle k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle d_{i}={\frac {n{\bmod {b^{i+1}}}-n{\bmod {b}}^{i}}{b^{i}}}}$

— значение каждой цифры числа. Натуральное число является нарциссическим числом, если оно является фиксированной точкой для , что происходит, если . Натуральные числа являются тривиальными нарциссическими числами для всех , все остальные нарциссические числа являются нетривиальными нарциссическими числами .${\displaystyle n}$${\displaystyle F_{b}}$${\displaystyle F_{b}(n)=n}$${\displaystyle 0\leq n<b}$${\displaystyle b}$

Например, число 153 по основанию является нарциссическим числом, потому что и .${\displaystyle b=10}$${\displaystyle k=3}$${\displaystyle 153=1^{3}+5^{3}+3^{3}}$

Натуральное число является общительным нарциссическим числом, если оно является периодической точкой для , где для положительного целого числа (здесь - -я итерация ) , и образует цикл с периодом . Нарциссическое число является общительным нарциссическим числом с , а дружественное нарциссическое число является общительным нарциссическим числом с .${\displaystyle n}$${\displaystyle F_{b}}$${\displaystyle F_{b}^{p}(n)=n}$ ${\displaystyle p}$${\displaystyle F_{b}^{p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle F_{b}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p=1}$${\displaystyle p=2}$

Все натуральные числа являются предпериодическими точками для , независимо от основания. Это происходит потому, что для любого заданного количества цифр минимально возможное значение равно , максимально возможное значение равно , а значение нарциссической функции равно . Таким образом, любое нарциссическое число должно удовлетворять неравенству . Умножая все стороны на , получаем , или, что эквивалентно, . Поскольку , это означает, что будет максимальное значение , где , из-за экспоненциальной природы и линейности . За пределами этого значения , всегда. Таким образом, существует конечное число нарциссических чисел, и любое натуральное число гарантированно достигнет периодической точки или фиксированной точки, меньшей , что делает его предпериодической точкой. Установка равной 10 показывает, что наибольшее нарциссическое число в основании 10 должно быть меньше . ^[1]${\displaystyle n}$${\displaystyle F_{b}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle b^{k-1}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle b^{k}-1\leq b^{k}}$${\displaystyle F_{b}(n)=k(b-1)^{k}}$${\displaystyle b^{k-1}\leq k(b-1)^{k}\leq b^{k}}$${\displaystyle {\frac {b}{(b-1)^{k}}}}$${\displaystyle {\left({\frac {b}{b-1}}\right)}^{k}\leq bk\leq b{\left({\frac {b}{b-1}}\right)}^{k}}$${\displaystyle k\leq {\left({\frac {b}{b-1}}\right)}^{k}\leq bk}$${\displaystyle {\frac {b}{b-1}}\geq 1}$${\displaystyle k}$${\displaystyle {\left({\frac {b}{b-1}}\right)}^{k}\leq bk}$${\displaystyle {\left({\frac {b}{b-1}}\right)}^{k}}$${\displaystyle bk}$${\displaystyle k}$${\displaystyle F_{b}(n)\leq n}$${\displaystyle b^{k}-1}$${\displaystyle b}$${\displaystyle 10^{60}}$

Число итераций, необходимых для достижения фиксированной точки, является устойчивостью нарциссической функции и не определено, если она никогда не достигает фиксированной точки.${\displaystyle i}$${\displaystyle F_{b}^{i}(n)}$${\displaystyle n}$

База имеет по крайней мере одно двузначное нарциссическое число тогда и только тогда, когда не является простым числом, а количество двузначных нарциссических чисел в базе равно , где — количество положительных делителей числа .${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b^{2}+1}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \tau (b^{2}+1)-2}$${\displaystyle \tau (n)}$${\displaystyle n}$

Каждая база , которая не кратна девяти, имеет по крайней мере одно трехзначное нарциссическое число. Базы, которые не являются${\displaystyle b\geq 3}$

2, 72, 90, 108, 153, 270, 423, 450, 531, 558, 630, 648, 738, 1044, 1098, 1125, 1224, 1242, 1287, 1440, 1503, 1566, 1611, 1620, 1800, 1935, ... (последовательность A248970 в OEIS )

В десятичной системе счисления всего 88 нарциссических чисел, из которых самое большое —

115 132 219 018 763 992 565 095 597 973 971 522 401

с 39 цифрами. ^[1]

Все числа представлены в системе счисления с основанием . «#» — длина каждой известной конечной последовательности.${\displaystyle b}$

${\displaystyle b}$	Нарциссические числа	#	Циклы	Последовательность(и) OEIS
2	0, 1	2	${\displaystyle \varnothing }$
3	0, 1, 2, 12, 22, 122	6	${\displaystyle \varnothing }$
4	0, 1, 2, 3, 130, 131, 203, 223, 313, 332, 1103, 3303	12	${\displaystyle \varnothing }$	А010344 и А010343
5	0, 1, 2, 3, 4, 23, 33, 103, 433, 2124, 2403, 3134, 124030, 124031, 242423, 434434444, ...	18	1234 → 2404 → 4103 → 2323 → 1234 3424 → 4414 → 11034 → 20034 → 20144 → 31311 → 3424 1044302 → 2110314 → 1044302 1043300 → 1131014 → 1043300	А010346
6	0, 1, 2, 3, 4, 5, 243, 514, 14340, 14341, 14432, 23520, 23521, 44405, 435152, 5435254, 12222215, 555435035...	31	44 → 52 → 45 → 105 → 330 → 130 → 44 13345 → 33244 → 15514 → 53404 → 41024 → 13345 14523 → 32253 → 25003 → 23424 → 14523 2245352 → 3431045 → 2245352 12444435 → 22045351 → 30145020 → 13531231 → 12444435 115531430 → 230104215 → 115531430 225435342 → 235501040 → 225435342	А010348
7	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 13, 34, 44, 63, 250, 251, 305, 505, 12205, 12252, 13350, 13351, 15124, 36034, 205145, 1424553, 1433554, 3126542, 4355653, 6515652, 125543055, ...	60		А010350
8	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 24, 64, 134, 205, 463, 660, 661, 40663, 42710, 42711, 60007, 62047, 636703, 3352072, 3352272, ...	63		А010354 и А010351
9	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 45, 55, 150, 151, 570, 571, 2446, 12036, 12336, 14462, 2225764, 6275850, 6275851, 12742452, ...	59		А010353
10	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 153, 370, 371, 407, 1634, 8208, 9474, 54748, 92727, 93084, 548834, ...	88		А005188
11	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, 56, 66, 105, 307, 708, 966, А06, А64, 8009, 11720, 11721, 12470, ...	135		А0161948
12	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, Б, 25, А5, 577, 668, А83, 14765, 938А4, 369862, А2394А, ...	88		А161949
13	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, 14, 36, 67, 77, А6, С4, 490, 491, 509, В85, 3964, 22593, 5В350, ...	202		А0161950
14	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, Б, В, Г, 136, 409, 74AB5, 153A632, ...	103		А0161951
15	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, 78, 88, C3A, D87, 1774, E819, E829, 7995C, 829BB, A36BC, ...	203		А0161952
16	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, 156, 173, 208, 248, 285, 4A5, 5B0, 5B1, 60B, 64B, 8C0, 8C1, 99A, AA9, AC3, CA8, E69, EA0, EA1, B8D2, 13579, 2B702, 2B722, 5A07C, 5A47C, C00E0, C00E1, C04E0, C04E1, C60E7, C64E7, C80E0, C80E1, C84E0, C84E1, ...	294		А161953

Нарциссические числа можно расширить до отрицательных целых чисел, используя знаковое цифровое представление для представления каждого целого числа.

• Арифметическая динамика
• Число Дьюдени
• Факторион
• Счастливое число
• постоянная Капрекара
• Число Капрекара
• Число Меертенса
• Совершенный инвариант от цифры к цифре
• Совершенный цифровой инвариант
• Сумма-произведение числа

• Цифровые инварианты
• Числа Армстронга
• Числа Армстронга в системе счисления от 2 до 16
• Калькулятор чисел Армстронга от 1 до 999
• Symonds, Ria (3 января 2012 г.). "153 и нарциссические числа". Numberphile . Брэди Харан . Архивировано из оригинала 2021-12-19.