Задача Архимеда о скоте
Математическая задача по теории чисел
Наименьшее решение задачи Архимеда о скоте, где каждая иконка представляет около 10206 543 крупного рогатого скота

Задача Архимеда о скоте (или problema bovinum или problema Archimedis ) — задача в диофантовом анализе , изучении полиномиальных уравнений с целочисленными решениями. Приписываемая Архимеду , задача заключается в вычислении количества скота в стаде бога солнца из заданного набора ограничений. Задача была обнаружена Готхольдом Эфраимом Лессингом в греческой рукописи, содержащей стихотворение из сорока четырех строк, в библиотеке Герцога Августа в Вольфенбюттеле , Германия, в 1773 году. [1]

Проблема оставалась нерешенной в течение ряда лет, отчасти из-за сложности вычисления огромных чисел, участвующих в решении. Общее решение было найдено в 1880 году Карлом Эрнстом Августом Амтором  [de] (1845–1916), директором Gymnasium zum Heiligen Kreuz ( Гимназии Святого Креста) в Дрездене, Германия. [2] [3] [4] Используя логарифмические таблицы , он вычислил первые цифры наименьшего решения, показав, что оно составляет около7,76 × 10 206 544 крупного рогатого скота, что намного больше, чем может поместиться в наблюдаемой Вселенной . [5] Десятичная форма слишком длинна для точных вычислений людьми, но арифметические пакеты с многократной точностью на компьютерах могут записать ее явно.

История

В 1769 году Готтхольд Эфраим Лессинг был назначен библиотекарем библиотеки Герцога Августа в Вольфенбюттеле , Германия, которая содержала множество греческих и латинских рукописей. [6] Несколько лет спустя Лессинг опубликовал переводы некоторых рукописей с комментариями. Среди них была греческая поэма из сорока четырех строк, содержащая арифметическую задачу, в которой читателю предлагалось найти количество скота в стаде бога солнца . Сейчас ее обычно приписывают Архимеду. [7] [8]

Проблема

Задача, переведенная на английский язык Айвором Томасом, гласит: [9]

Если ты усерден и мудр, о странник, сосчитай количество скота Солнца , который когда-то пасся на полях Тринакийского острова Сицилия, разделенного на четыре стада разной масти: одно молочно-белое, другое глянцево-черное, третье желтое и последнее пятнистое. В каждом стаде были быки, могучие по количеству согласно этим пропорциям: Пойми, странник, что белые быки были равны половине и трети черного вместе со всем желтым, в то время как черные были равны четвертой части пятнистого и пятой, вместе, еще раз, со всем желтым. Заметь далее, что оставшиеся быки, пятнистые, были равны шестой части белого и седьмой, вместе со всем желтым. Таковы были пропорции коров: белые были точно равны третьей части и четверти всего стада черного; в то время как черные были равны четвертой части еще раз пятых и с ней пятой части, когда все, включая быков, пошли на пастбище вместе. Теперь пятнистые в четырех частях были равны по числу пятой части и шестой части желтого стада. Наконец, желтые были по числу шестой части и седьмой части белого стада. Если ты можешь точно сказать, о странник, число скота Солнца, называя отдельно число откормленных быков и снова число самок по каждой масти, тебя не назовут неумелым или невежественным в числах, но ты еще не будешь причислен к мудрым.

Но приди, пойми также все эти условия относительно скота Солнца. Когда белые быки смешались с черными, они стояли твердо, равные по глубине и ширине, и равнины Тринакии, простирающиеся далеко во всех направлениях, были заполнены их множеством. Опять же, когда желтые и пятнистые быки были собраны в одно стадо, они стояли таким образом, что их число, начиная с одного, медленно увеличивалось, пока не завершило треугольную фигуру, не было быков других цветов среди них, и ни один из них не был недостающим. Если ты сможешь, о странник, узнать все эти вещи и собрать их вместе в своем уме, дав все отношения, ты уйдешь увенчанный славой и зная, что ты был признан совершенным в этом виде мудрости.

Решение

Первую часть задачи можно легко решить, составив систему уравнений . Если количество белых, черных, пятнистых и желтых быков записать как и , а количество белых, черных, пятнистых и желтых коров записать как и , то задача состоит в том, чтобы просто найти решение Вт , Б , Д , {\displaystyle W,B,D,} И {\displaystyle Y} ж , б , г , {\displaystyle ш, б, г,} у {\displaystyle у}

Вт = 5 6 Б + И , Б = 9 20 Д + И , Д = 13 42 Вт + И , ж = 7 12 ( Б + б ) , б = 9 20 ( Д + г ) , г = 11 30 ( И + у ) , у = 13 42 ( Вт + ж ) , {\displaystyle {\begin{aligned}W&={\frac {5}{6}}B+Y,\\B&={\frac {9}{20}}D+Y,\\D&={\frac {13}{42}}W+Y,\\w&={\frac {7}{12}}(B+b),\\b&={\frac {9}{20}}(D+d),\\d&={\frac {11}{30}}(Y+y),\\y&={\frac {13}{42}}(W+w),\end{aligned}}}

которая является системой из семи уравнений с восемью неизвестными. Она неопределенна и имеет бесконечно много решений. Наименьшие положительные целые числа, удовлетворяющие семи уравнениям, это

Б = 7 460 514 = 4657 × 1602 , Вт = 10 366 482 = 4657 × 2226 , Д = 7 358 060 = 4657 × 1580 , И = 4 149 387 = 4657 × 891 , б = 4 893 246 , ж = 7 206 360 , г = 3 515 820 , у = 5 439 213 , {\displaystyle {\begin{align}B&=7\,460\,514=4657\times 1602,\\W&=10\,366\,482=4657\times 2226,\\D&=7\,358\,060=4657\times 1580,\\Y&=4\,149\,387=4657\times 891,\\b&=4\,893\,246,\\w&=7\,206\,360,\\d&=3\,515\,820,\\y&=5\,439\,213,\end{align}}}

что в общей сложности составляет50 389 082 крупного рогатого скота, [10] и другие решения являются целыми кратными этих. Обратите внимание, что если простое число p = 4657, то первые четыре числа являются кратными p , и как p , так и p+1 будут неоднократно появляться ниже.

Вторая часть задачи утверждает, что является квадратным числом , а является треугольным числом . Общее решение этой части задачи впервые было найдено А. Амтором [11] в 1880 году. Следующая версия была описана Х. В. Ленстрой [ 5] на основе уравнения Пелля : решение, приведенное выше для первой части задачи, следует умножить на Вт + Б {\displaystyle W+B} И + Д {\displaystyle Y+D}

н = ( ж 4658 дж − ж − 4658 дж ) 2 ( 4657 ) ( 79072 ) , {\displaystyle n={\frac {(w^{4658j}-w^{-4658j})^{2}}{(4657)(79072)}},}

где j — любое положительное целое число и

ж = 300 426 607 914 281 713 365 609 + 84 129 507 677 858 393 258 7766 , {\displaystyle w=300\,426\,607\,914\,281\,713\,365{\sqrt {609}}+84\,129\,507\,677\,858\,393\, 258{\sqrt {7766}},}

Эквивалентно, возведение w в квадрат дает

ж 2 = ты + в ( 609 ) ( 7766 ) , {\displaystyle w^{2}=u+v{\sqrt {(609)(7766)}},}

где фундаментальное решение уравнения Пелля ( ты , в ) {\displaystyle (u,v)}

ты 2 − ( 609 ) ( 7766 ) в 2 = 1. {\displaystyle u^{2}-(609)(7766)v^{2}=1.}

Размер наименьшего стада, которое могло бы удовлетворить как первую, так и вторую часть задачи, тогда задается как j = 1 и составляет около (впервые решено Амтором). Современные компьютеры могут легко распечатать все цифры ответа. Это было впервые сделано в Университете Ватерлоо в 1965 году Хью К. Уильямсом , Р. А. Германом и Чарльзом Робертом Зарнке. Они использовали комбинацию компьютеров IBM 7040 и IBM 1620. [12] 7.76 × 10 206 544 {\displaystyle 7.76\times 10^{206\,544}}

Уравнение Пелля

Ограничения второй части задачи просты, и фактическое уравнение Пелля , которое нужно решить, может быть легко дано. Во-первых, если кто-то спрашивает, что B + W должно быть квадратом , или, используя значения, приведенные выше,

Б + Вт = 7 460 514 к + 10 366 482 к = ( 2 2 ) ( 3 ) ( 11 ) ( 29 ) ( 4657 ) к , {\displaystyle B+W=7\,460\,514\,k+10\,366\,482\,k = (2^{2})(3)(11)(29)(4657)k, }

таким образом, следует установить k = (3)(11)(29)(4657) q 2 для некоторого целого числа q . Это решает первое условие. Для второго требуется, чтобы D + Y было треугольным числом :

Д + И = т 2 + т 2 . {\displaystyle D+Y={\frac {t^{2}+t}{2}}.}

Решая для t ,

т = − 1 ± 1 + 8 ( Д + И ) 2 . {\displaystyle t={\frac {-1\pm {\sqrt {1+8(D+Y)}}}{2}}.}

Подстановка значения D + Y и k и нахождение значения q 2 таким образом, чтобы дискриминант этого квадратного уравнения был полным квадратом p 2 , влечет за собой решение уравнения Пелля

п 2 − ( 2 2 ) ( 609 ) ( 7766 ) ( 4657 2 ) д 2 = 1. {\displaystyle p^{2}-(2^{2})(609)(7766)(4657^{2})q^{2}=1.}

Подход Амтора, обсуждавшийся в предыдущем разделе, по сути, заключался в нахождении наименьшего числа , которое делится нацело на . Фундаментальное решение этого уравнения имеет более 100 000 десятичных цифр. в {\displaystyle v} 2 × 4657 {\displaystyle 2\times 4657}

Ссылки

  1. ^ Лессинг, Готхольд Эфраим (1773). Zur Geschichte und Litteratur: aus den Schätzen der Herzoglichen Bibliothek zu Wolfenbüttel, Zweyter Beytrag [ Об истории и литературе: из сокровищ герцогской библиотеки в Вольфенбюттеле, вторая статья ] (на немецком и греческом языках). Брауншвейг (Германия): Fürstlicher Waysenhaus. стр.  421–425 . Архивировано из оригинала 17 сентября 2018 г. Проверено 17 сентября 2018 г.Со стр. 422–423: « Denn, wie gesagt, das Issue soll, wenn es nicht von dem Archimedes selbst abgefaßt worden, doch von ihm für werth erkannt seyn, daß er es den Eratosthenes geschicket hätte, um es den Meßkünstern zu Alexandria zur Auflösung vorzulegen. Dieses besagt die Aufschrift;  ... » (Ибо, как сказано [выше], проблема [греч. ΠΡΟΒΛΗΜΑ], если бы она не была составлена ​​самим Архимедом [греч. Α'ΡΧΙΜΗΔΗΣ], все же была бы решена. признан им [настолько] достойным, что послал бы его Эратосфену [греч. ΕΡΑΤΟΣΘΕΝΗΝ], чтобы представить его геодезисту в Александрии для решения. В заголовке говорится следующее;  ...) См. страницы 423–424 (на греческом языке).
  2. ^ Крумбигель, Б.; Амтор, А. (1880). «Das Issuea bovinum des Archimedes» [Проблема Архимеда о скоте]. Zeitschrift für Mathematik und Physik: Historisch-literarische Abtheilung [Журнал математики и физики: историко-литературный раздел] (на немецком, греческом и латинском языках). 25 : 121–136 , 153–171 .
  3. ^ Биографические сведения об Августе Амторе:
    • Полное имя Амтора появляется в: (Дирекция школы) (1876). Programm des Gymnasiums zum Heiligen Kreuz в Дрездене [ Программа Гимназии Святого Креста в Дрездене ] (на немецком языке). Дрезден, Германия: К. Блохманн и Зон. п. 31.
    • Краткая биография Амтора представлена ​​в: Singer, Isadore; de ​​Leon, Edward Warren, eds. (1910). "Amthor, August (Ph.D.)". Международная энциклопедия страхования . Том 1. Нью-Йорк, Нью-Йорк, США: Американская ассоциация энциклопедических библиотек. стр. 18.
  4. ^ Проблема была решена независимо в 1895 году Адамом Генри Беллом, геодезистом и инженером-строителем из Хиллсборо, штат Иллинойс, США. См.:
    • Белл, А. Х. (1895). «О знаменитой «проблеме крупного рогатого скота» Архимеда». Математический журнал . 2 : 163–164 .
    • Белл, А. Х. (1895). «Задача о скоте» Архимеда 251 г. до н. э.». American Mathematical Monthly . 2 : 140–141 .
    • Полное имя Белла встречается в: Bateman, Newton; Selby, Paul, eds. (1918). "Fish, Albert E.". Historical Encyclopedia of Illinois . Vol. 2. Chicago, Illinois, USA: Munsell Publishing Co. pp.  1049–1050 .; см. стр. 1050.
    • Занятия Белла описаны в: Merriman, Mansfield (ноябрь 1905 г.). «Проблема крупного рогатого скота Архимеда». Popular Science Monthly . 67 : 660–665 .; см. стр. 664.
  5. ^ ab Lenstra, HW Jr. (2002), «Решение уравнения Пелля» (PDF) , Notices of the American Mathematical Society , 49 (2): 182– 192, MR  1875156
  6. ^ Роррес, Крис. "Задача Архимеда о скоте (утверждение)". Архивировано из оригинала 24 января 2007 года . Получено 24-01-2007 .
  7. ^ Фрейзер, П. М. (1972). Птолемеевская Александрия . Oxford University Press .
  8. ^ Вайль, А. (1972). Теория чисел, подход через историю . Биркхойзер .
  9. ^ "The Cattle Problem Statement (на английском языке)". Нью-Йоркский университет . Получено 11 июля 2022 г.
  10. ↑ Мерриман, Мэнсфилд (ноябрь 1905 г.). «Проблема Архимеда о скоте». Popular Science Monthly . 67 : 660–665 .
  11. ^ Б. Крумбигель, А. Амтор, Das Issuea Bovinum des Archimedes , Historisch-literarische Abteilung der Zeitschrift für Mathematik und Physik 25 (1880) 121–136, 153–171.
  12. ^ Гарольд Алкема и Кеннет Маклафлин (2007). «Разделение вычислений в Университете Ватерлоо». Университет Ватерлоо . Архивировано из оригинала 4 апреля 2011 г. Получено 5 апреля 2011 г.(включая фотографии)

Дальнейшее чтение

  • Белл, А. Х. (1895), ««Проблема крупного рогатого скота». Архимедии 251 г. до н. э.», The American Mathematical Monthly , 2 (5), Математическая ассоциация Америки: 140– 141, doi : 10.2307/2968125, JSTOR  2968125
  • Дёрри, Генрих (1965). «Archimedes' Problema Bovinum ». 100 великих проблем элементарной математики . Dover Publications . С.  3–7 .
  • Williams, HC; German, RA; Zarnke, CR (1965). «Решение задачи Архимеда о скоте». Математика вычислений . 19 (92). Американское математическое общество : 671– 674. doi : 10.2307/2003954 . JSTOR  2003954.
  • Варди, И. (1998). «Задача Архимеда о коровах». American Mathematical Monthly . 105 (4). Математическая ассоциация Америки: 305–319 . doi :10.2307/2589706. JSTOR  2589706.
  • Бенсон, Г. (2014). «Архимед-поэт: общие инновации и математическая фантазия в задаче о скоте». Arethusa . 47 (2). Johns Hopkins University Press : 169– 196. doi : 10.1353/are.2014.0008. S2CID  162393743.
  • Последовательность OEIS A096151 (Десятичное разложение 206545-значного целого числа для решения задачи Архимеда о скоте) — Полное десятичное решение второй задачи
  • Алекс Беллос (24 ноября 2019 г.). "Святая корова, это большое число" (видео) . YouTube . Брэди Харан . Архивировано из оригинала 2021-12-19 . Получено 25 ноября 2019 г. .
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Архимед%27s_cattle_problem&oldid=1268470416"