Архимедовское упорядоченное векторное пространство

В математике, в частности в теории порядка , бинарное отношение на векторном пространстве над действительными или комплексными числами называется архимедовым, если для всех всякий раз, когда существует такое , что для всех положительных целых чисел то обязательно Архимедово (пред)упорядоченное векторное пространство — это (пред) упорядоченное векторное пространство, порядок которого архимедов. ^[1] Предварительно упорядоченное векторное пространство называется почти архимедовым, если для всех всякий раз, когда существует такое, что для всех положительных целых чисел то ^[2]${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle y\in X}$${\displaystyle nx\leq y}$${\displaystyle n,}$${\displaystyle x\leq 0.}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle y\in X}$${\displaystyle -n^{-1}y\leq x\leq n^{-1}y}$${\displaystyle n,}$${\displaystyle х=0.}$

Предварительно упорядоченное векторное пространство с единицей порядка является архимедовым предупорядоченным тогда и только тогда, когда для всех неотрицательных целых чисел следует ^[3]${\displaystyle (X,\leq)}$ ${\displaystyle u}$${\displaystyle nx\leq u}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x\leq 0.}$

Пусть — упорядоченное векторное пространство над вещественными числами, которое конечномерно. Тогда порядок является архимедовым тогда и только тогда, когда положительный конус замкнут для единственной топологии, при которой — хаусдорфов TVS. ^[4]${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

Предположим, что есть упорядоченное векторное пространство над вещественными числами с единицей порядка , порядок которой архимедов, и пусть Тогда функционал Минковского (определяется как ) есть норма, называемая нормой единицы порядка . Она удовлетворяет и замкнутый единичный шар, определяемый как , равен (то есть, ^[3]${\displaystyle (X,\leq)}$ ${\displaystyle u}$${\displaystyle U=[-u,u].}$ ${\displaystyle p_{U}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle p_{U}(x):=\inf \left\{r>0:x\in r[-u,u]\right\}}$${\displaystyle p_{U}(u)=1}$${\displaystyle p_{U}}$${\displaystyle [-u,u]}$${\displaystyle [-u,u]=\{x\in X:p_{U}(x)\leq 1\}.}$

Пространство ограниченных вещественных отображений на множестве с поточечным порядком является архимедовым упорядоченным с единицей порядка (то есть функцией, которая тождественна на ). Норма единицы порядка на идентична обычной норме sup: ^[3]${\displaystyle l_ {\infty }(S,\mathbb {R})}$${\displaystyle S}$${\displaystyle u:=1}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle S}$${\displaystyle l_ {\infty }(S,\mathbb {R})}$${\displaystyle \|f\|:=\sup _{}|f(S)|.}$

Всякая упорядоченная полная векторная решетка является архимедово упорядоченной. ^[5] Конечномерная векторная решетка размерности является архимедово упорядоченной тогда и только тогда, когда она изоморфна своему каноническому порядку. ^[5] Однако полностью упорядоченный векторный порядок размерности не может быть архимедово упорядоченным. ^[5] Существуют упорядоченные векторные пространства, которые являются почти архимедовыми, но не архимедовыми.${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \,>1}$

Евклидово пространство над действительными числами с лексикографическим порядком не является архимедово упорядоченным, поскольку для каждого, кроме ^[3]${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle r(0,1)\leq (1,1)}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle (0,1)\neq (0,0).}$

• Архимедовость  – Математическое свойство алгебраических структур
• Упорядоченное векторное пространство  – векторное пространство с частичным порядком

• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.