Эластичность дуги

В математике и экономике дуговая эластичность — это эластичность одной переменной по отношению к другой между двумя заданными точками. Это отношение процентного изменения одной из переменных между двумя точками к процентному изменению другой переменной. Она контрастирует с точечной эластичностью , которая является пределом дуговой эластичности, когда расстояние между двумя точками приближается к нулю, и которая, следовательно, определяется в одной точке, а не для пары точек.

Как и точечная эластичность, дуговая эластичность может изменяться по значению в зависимости от начальной точки. Например, дуговая эластичность предложения продукта по отношению к цене продукта может быть большой, когда начальная и конечная цены обе низкие, но может быть маленькой, когда они обе высокие.20%/10%=2

Эластичность дуги y относительно x определяется как:

${\displaystyle E_{x,y}={\frac {\%{\mbox{ изменение в }}x}{\%{\mbox{ изменение в }}y}}}$

где процентное изменение при переходе от точки 1 к точке 2 обычно рассчитывается относительно средней точки:

${\displaystyle \%{\mbox{ изменение в }}x={\frac {x_{2}-x_{1}}{(x_{2}+x_{1})/2}};}$

${\displaystyle \%{\mbox{ изменение }}y={\frac {y_{2}-y_{1}}{(y_{2}+y_{1})/2}}.}$

Использование формулы эластичности дуги средней точки (где средняя точка используется в качестве базы изменения, а не начальная точка ( x ₁ , y ₁ ), которая используется почти во всех других контекстах для расчета процентов) было предложено RGD Allen для использования, когда x относится к количеству товара, на который распространяется спрос или предложение, а y относится к его цене, из-за следующих свойств: (1) она симметрична относительно двух цен и количеств, (2) она не зависит от единиц измерения и (3) она дает значение единицы, если общие доходы (цена, умноженная на количество) в двух точках равны. ^[1]

Эластичность дуги используется, когда нет общей функции для связи двух переменных, но известны две точки связи. Напротив, расчет точечной эластичности требует детального знания функциональной связи и может быть рассчитан везде, где определена функция.

Для сравнения, эластичность точки y для x определяется выражением

${\displaystyle E_{x,y}={\frac {\partial x}{\partial y}}\cdot {\frac {y}{x}}={\frac {\partial \ln x}{\partial \ln y}}}$

Дуговая эластичность величины спроса (или величины предложения) Q по отношению к цене P, также известная как дуговая ценовая эластичность спроса (или предложения), рассчитывается как ^[2]

${\displaystyle (\%{\mbox{ изменение в }}Q)/(\%{\mbox{ изменение в }}P)}$

Предположим, что известны две точки на кривой спроса и . (О кривой спроса может быть известно только одно.) Тогда эластичность дуги получается с помощью формулы${\displaystyle (Q_{1},P_{1})}$${\displaystyle (Q_{2},P_{2})}$

${\displaystyle E_{p}={\frac {\frac {Q_{2}-Q_{1}}{(Q_{1}+Q_{2})/2}}{\frac {P_{2}-P_{1}}{(P_{1}+P_{2})/2}}}.}$

Предположим, что количество хот-догов, востребованных в перерыве футбольных матчей, измеряется в двух разных играх, в которых взимаются две разные цены: при одном измерении требуемое количество составляет 80 единиц, а при другом измерении — 120 единиц. Процентное изменение, измеренное по сравнению со средним значением, составит (120-80)/((120+80)/2))=40%. Если бы измерения проводились в обратной последовательности (сначала 120, а затем 80), абсолютное значение процентного изменения было бы таким же.

Напротив, если процентное изменение требуемого количества измерялось по сравнению с начальным значением, то расчетное процентное изменение будет (120-80)/80 = 50%. Процентное изменение для обратной последовательности наблюдений, от 120 единиц до 80 единиц, будет (80-120)/120 = -33,3%. Формула средней точки имеет то преимущество, что процентное изменение от A до B измеряется в абсолютном значении так же, как и от B до A.

Предположим, что изменение цены на хот-доги, которое привело к изменению величины спроса с 80 до 120, составило с 3 до 1 доллара. Процентное изменение цены, измеренное относительно средней точки, составит (1-3)/2 = -100%, поэтому ценовая эластичность спроса составляет 40%/(-100%) или -0,4. Обычно абсолютное значение ценовой эластичности называют просто ценовой эластичностью, поскольку для нормальной (убывающей) кривой спроса эластичность всегда отрицательна, и поэтому «минус» часть можно сделать неявной. Таким образом, дуга ценовой эластичности спроса футбольных болельщиков составляет 0,4.

• Эластичность функции
• Эластичность (экономика)