Уравнение Эпплтона–Хартри

Уравнение Эпплтона–Хартри , иногда также называемое уравнением Эпплтона–Лассена , представляет собой математическое выражение, описывающее показатель преломления для распространения электромагнитных волн в холодной замагниченной плазме . Уравнение Эпплтона–Хартри было разработано независимо несколькими разными учеными, включая Эдварда Виктора Эпплтона , Дугласа Хартри и немецкого радиофизика Х. К. Лассена. ^[1] Работа Лассена, завершенная за два года до Эпплтона и за пять лет до Хартри, включала более тщательное рассмотрение столкновительной плазмы; но, опубликованная только на немецком языке, она не была широко прочитана в англоязычном мире радиофизики. ^[2] Кроме того, что касается вывода Эпплтона, в историческом исследовании Гиллмора было отмечено, что Вильгельм Альтар (работавший с Эпплтоном) впервые вычислил дисперсионное соотношение в 1926 году. ^[3]

Дисперсионное соотношение можно записать как выражение для частоты (в квадрате), но его также принято записывать как выражение для показателя преломления :

${\displaystyle n^{2}=\left({\frac {ck}{\omega }}\right)^{2}.}$

Полное уравнение обычно имеет следующий вид: ^[4]

${\displaystyle n^{2}=1-{\frac {X}{1-iZ-{\frac {{\frac {1}{2}}Y^{2}\sin ^{2}\theta }{1-X-iZ}}\pm {\frac {1}{1-X-iZ}}\left({\frac {1}{4}}Y^{4}\sin ^{4}\theta +Y^{2}\cos ^{2}\theta \left(1-X-iZ\right)^{2}\right)^{1/2}}}}$

или, альтернативно, с затухающим членом и перегруппировкой членов: ^[5]${\displaystyle Z=0}$

${\displaystyle n^{2}=1-{\frac {X\left(1-X\right)}{1-X-{{\frac {1}{2}}Y^{2}\sin ^{2}\theta }\pm \left(\left({\frac {1}{2}}Y^{2}\sin ^{2}\theta \right)^{2}+\left(1-X\right)^{2}Y^{2}\cos ^{2}\theta \right)^{1/2}}}}$

Определение терминов:

${\displaystyle n}$: комплексный показатель преломления

${\displaystyle я={\sqrt {-1}}}$: мнимая единица

${\displaystyle X={\frac {\omega _{0}^{2}}{\omega ^{2}}}}$

${\displaystyle Y={\frac {\omega _{H}}{\omega }}}$

${\displaystyle Z={\frac {\nu }{\omega }}}$

${\displaystyle \nu}$: частота столкновений электронов

${\displaystyle \omega =2\pi f}$: угловая частота

${\displaystyle f}$: обычная частота (циклов в секунду, или Герц )

${\displaystyle \omega _{0}=2\pi f_{0}={\sqrt {\frac {Ne^{2}}{\epsilon _{0}m}}}}$: электронная плазменная частота

${\displaystyle \omega _{H}=2\pi f_{H}={\frac {B_{0}|e|}{m}}}$: частота электронного гироскопа

${\displaystyle \epsilon _{0}}$: диэлектрическая проницаемость свободного пространства

${\displaystyle B_{0}}$: напряженность окружающего магнитного поля

${\displaystyle e}$: заряд электрона

${\displaystyle m}$: масса электрона

${\displaystyle \theta }$: угол между вектором окружающего магнитного поля и волновым вектором

Присутствие знака в уравнении Эпплтона–Хартри дает два отдельных решения для показателя преломления. ^[6] Для распространения перпендикулярно магнитному полю, т. е. , знак «+» представляет «обычную моду», а знак «−» представляет «необыкновенную моду». Для распространения параллельно магнитному полю, т. е. , знак «+» представляет левую круговую поляризованную моду, а знак «−» представляет правую круговую поляризованную моду. Подробнее см. статью об электромагнитных электронных волнах .${\displaystyle \pm }$${\displaystyle \mathbf {k} \perp \mathbf {B} _{0}}$${\displaystyle \mathbf {k} \parallel \mathbf {B} _{0}}$

${\displaystyle \mathbf {k} }$— вектор плоскости распространения.

Если частота столкновений электронов пренебрежимо мала по сравнению с частотой интересующей нас волны , то можно сказать, что плазма «бесстолкновительна». То есть, учитывая условие${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \nu \ll \omega }$,

у нас есть

${\displaystyle Z={\frac {\nu }{\omega }}\ll 1}$,

поэтому мы можем пренебречь членами в уравнении. Уравнение Эпплтона–Хартри для холодной, бесстолкновительной плазмы, таким образом,${\displaystyle Z}$

${\displaystyle n^{2}=1-{\frac {X}{1-{\frac {{\frac {1}{2}}Y^{2}\sin ^{2}\theta }{1-X}}\pm {\frac {1}{1-X}}\left({\frac {1}{4}}Y^{4}\sin ^{4}\theta +Y^{2}\cos ^{2}\theta \left(1-X\right)^{2}\right)^{1/2}}}}$

Если мы далее предположим, что распространение волны происходит в основном в направлении магнитного поля, т.е. , мы можем пренебречь вышеуказанным членом. Таким образом, для квазипродольного распространения в холодной бесстолкновительной плазме уравнение Эпплтона–Хартри становится следующим:${\displaystyle \theta \approx 0}$${\displaystyle Y^{4}\sin ^{4}\theta }$

${\displaystyle n^{2}=1-{\frac {X}{1-{\frac {{\frac {1}{2}}Y^{2}\sin ^{2}\theta }{1-X}}\pm Y\cos \theta }}}$

• Мэри Тейлор Слоу
• Плазма (физика)
• Волны в плазме