Антиплоскостной сдвиг

Эта статья в значительной степени или полностью основана на одном источнике . Соответствующее обсуждение можно найти на странице обсуждения . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив ссылки на дополнительные источники . Найти источники:  "Antiplane shear" – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( март 2022 г. )

Антиплоский сдвиг или антиплоская деформация ^[1] — это особое состояние деформации в теле. Это состояние деформации достигается, когда смещения в теле равны нулю в рассматриваемой плоскости, но не равны нулю в направлении, перпендикулярном плоскости. Для малых деформаций тензор деформации при антиплоском сдвиге можно записать как

${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\begin{bmatrix}0&0&\epsilon _{13}\\0&0&\epsilon _{23}\\\epsilon _{13}&\epsilon _{23}&0\end{bmatrix}}}$

где плоскость — это интересующая плоскость, а направление перпендикулярно этой плоскости.${\displaystyle 12\,}$${\displaystyle 3\,}$

Поле смещения, приводящее к состоянию антиплоского сдвига, равно (в прямоугольных декартовых координатах)

${\displaystyle u_{1}=u_{2}=0~;~~u_{3}={\hat {u}}_{3}(x_{1},x_{2})}$

где смещения по направлениям.${\displaystyle u_{i},~i=1,2,3}$${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}\,}$

Для изотропного линейно - упругого материала тензор напряжений , возникающий в результате состояния антиплоского сдвига, можно выразить как

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}\equiv {\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{12}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{13}&\sigma _{23}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0&\mu ~{\cfrac {\partial u_{3}}{\partial x_{1}}}\\0&0&\mu ~{\cfrac {\partial u_{3}}{\partial x_{2}}}\\\mu ~{\cfrac {\partial u_{3}}{\partial x_{1}}}&\mu ~{\cfrac {\partial u_{3}}{\partial x_{2}}}&0\end{bmatrix}}}$

где - модуль сдвига материала.${\displaystyle \мю \,}$

Сохранение линейного импульса при отсутствии инерционных сил принимает форму уравнения равновесия . Для общих напряженных состояний существуют три уравнения равновесия. Однако для антиплоского сдвига, при условии, что объемные силы в направлениях 1 и 2 равны 0, они сводятся к одному уравнению равновесия, которое выражается как

${\displaystyle \mu ~\nabla ^{2}u_{3}+b_{3}(x_{1},x_{2})=0}$

где — объемная сила в направлении и . Обратите внимание, что это уравнение справедливо только для бесконечно малых деформаций.${\displaystyle b_{3}}$${\displaystyle x_{3}}$${\displaystyle \nabla ^{2}u_{3}={\cfrac {\partial ^{2}u_{3}}{\partial x_{1}^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{2}u_{3}}{\partial x_{2}^{2}}}}$

Для определения напряжений и смещений, вызванных винтовой дислокацией, используется предположение об антиплоском сдвиге .

• Теория бесконечно малых деформаций
• Деформация (механика)