Фильтр причин

В обработке сигналов каузальный фильтр — это линейная и не зависящая от времени каузальная система . Слово каузальный указывает на то, что выход фильтра зависит только от прошлых и настоящих входов. Фильтр , выход которого зависит также от будущих входов, является некаузальным , тогда как фильтр, выход которого зависит только от будущих входов, является антикаузальным . Системы (включая фильтры), которые реализуемы (т. е. которые работают в реальном времени ), должны быть каузальными, поскольку такие системы не могут воздействовать на будущий вход. По сути, это означает, что выходной образец, который наилучшим образом представляет вход в данный момент времени, появляется немного позже. Распространенной практикой проектирования цифровых фильтров является создание реализуемого фильтра путем сокращения и/или сдвига во времени некаузального импульсного отклика. Если сокращение необходимо, оно часто выполняется как произведение импульсного отклика с функцией окна .${\displaystyle т,}$

Примером антикаузального фильтра является фильтр максимальной фазы , который можно определить как устойчивый антикаузальный фильтр, обратный которому также устойчив и антикаузален.

Следующее определение представляет собой скользящее или скользящее среднее входных данных . Постоянный множитель 1 ⁄ 2 опущен для простоты:${\displaystyle s(x)\,}$

${\displaystyle f(x)=\int _{x-1}^{x+1}s(\tau )\,d\tau \ =\int _{-1}^{+1}s(x+\tau )\,d\tau \,}$

где может представлять пространственную координату, как в обработке изображений. Но если представляет время , то скользящее среднее, определенное таким образом, является некаузальным (также называется нереализуемым ), поскольку зависит от будущих входов, таких как . Реализуемый выход — это${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle (т)\,}$${\displaystyle f(t)\,}$${\displaystyle s(t+1)\,}$

${\displaystyle f(t-1)=\int _{-2}^{0}s(t+\tau )\,d\tau =\int _{0}^{+2}s(t-\tau )\,d\tau \,}$

что является отложенной версией нереализуемого результата.

Любой линейный фильтр (например, скользящее среднее) можно охарактеризовать функцией h ( t ), называемой его импульсной характеристикой . Его выход — это свертка

${\displaystyle f(t)=(h*s)(t)=\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )s(t-\tau )\,d\tau .\,}$

В этих терминах причинность требует

${\displaystyle f(t)=\int _{0}^{\infty }h(\tau )s(t-\tau )\,d\tau }$

и общее равенство этих двух выражений требует h ( t ) = 0 для всех t  < 0.

Пусть h ( t ) — каузальный фильтр с соответствующим преобразованием Фурье H ( ω ). Определим функцию

${\displaystyle g(t)={h(t)+h^{*}(-t) \over 2}}$

что не является причинным. С другой стороны, g ( t ) является эрмитовым и, следовательно, его преобразование Фурье G (ω) является вещественным. Теперь у нас есть следующее соотношение

${\displaystyle h(t)=2\,\Theta (t)\cdot g(t)\,}$

где Θ( t ) — единичная ступенчатая функция Хевисайда .

Это означает, что преобразования Фурье h ( t ) и g ( t ) связаны следующим образом:

${\displaystyle H(\omega )=\left(\delta (\omega )-{i \over \pi \omega }\right)*G(\omega )=G(\omega )-i\cdot {\widehat {G}}(\omega )\,}$

где — преобразование Гильберта, выполненное в частотной области (а не во временной области). Знак может зависеть от определения преобразования Фурье.${\displaystyle {\widehat {G}}(\omega)\,}$${\displaystyle {\widehat {G}}(\omega)\,}$

Применяя преобразование Гильберта к приведенному выше уравнению, получаем следующее соотношение между «H» и его преобразованием Гильберта:

${\displaystyle {\widehat {H}}(\omega) = iH(\omega)}$

• Press, William H.; Teukolsky, Saul A.; Vetterling, William T.; Flannery, Brian P. (сентябрь 2007 г.), Numerical Recipes (3-е изд.), Cambridge University Press, стр. 767, ISBN 9780521880688
• Роуэлл (январь 2009 г.), Определение причинности системы по ее частотной характеристике (PDF) , MIT OpenCourseWare