Метод аннигилятора

Для проверки этой статьи нужны дополнительные цитаты . Помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на надежные источники . Материалы без источников могут быть оспорены и удалены. Найти источники:  «Метод Annihilator» – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( ноябрь 2024 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

В математике метод аннигиляторов — это процедура, используемая для нахождения частного решения для определенных типов неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). ^[1] Он похож на метод неопределенных коэффициентов , но вместо угадывания частного решения в методе неопределенных коэффициентов , в этой технике частное решение определяется систематически. Фраза неопределенные коэффициенты также может использоваться для обозначения шага в методе аннигиляторов, на котором вычисляются коэффициенты.

Метод аннулятора используется следующим образом. Дано ОДУ , найдите другой дифференциальный оператор такой, что . Этот оператор называется аннулятором , отсюда и название метода. Применение к обеим сторонам ОДУ дает однородное ОДУ , для которого мы находим базис решения, как и прежде. Затем исходное неоднородное ОДУ используется для построения системы уравнений, ограничивающих коэффициенты линейной комбинации для удовлетворения ОДУ.${\displaystyle P(D)y=f(x)}$ ${\displaystyle A(D)}$${\displaystyle A(D)f(x)=0}$${\displaystyle A(D)}$${\displaystyle {\big (}A(D)P(D){\big )}y=0}$${\displaystyle \{y_{1},\ldots ,y_{n}\}}$

Этот метод не столь универсален, как вариация параметров, в том смысле, что аннигилятор не всегда существует.

ж ( х )	А ( Д )
${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}\!}$	${\displaystyle D^{n+1}\!}$
${\displaystyle e^{топор}\!}$	${\displaystyle Да\!}$
${\displaystyle x^{k}.e^{ax}\!}$	${\displaystyle (Да)^{k+1}\!}$
${\displaystyle \cos(bx)\;\;\mathrm {или} \;\;\sin(bx)\!}$	${\displaystyle D^{2}+b^{2}\!}$
${\displaystyle x^{k}\cos(bx)\;\;\mathrm {или} \;\;x^{k}\sin(bx)\!}$	${\displaystyle (D^{2}+b^{2})^{k+1}\!}$
${\displaystyle е^{ax}\cos(bx)\;\;\mathrm {or} \;\;e^{ax}\sin(bx)\!}$	${\displaystyle (Da)^{2}+b^{2}=D^{2}-2aD+a^{2}+b^{2}\!}$
${\displaystyle x^{k}e^{ax}\cos(bx)\;\;\mathrm {or} \;\;x^{k}e^{ax}\sin(bx)\!}$	${\displaystyle \left[(Da)^{2}+b^{2}\right]^{k+1}=\left[D^{2}-2aD+a^{2}+b^{2}\right]^{k+1}\!}$
${\displaystyle a_{n}x^{n}+\cdots +a_{1}x+a_{0}+b_{1}e^{\pm c_{1}x}+\cdots +b_{k}e^{\mp c_{k}x}\!}$	${\displaystyle D^{n+1}(D\mp c_{1}).\cdots .(D\pm c_{k})\!}$

Где — в натуральных числах , а — в действительных числах .${\displaystyle k}$${\displaystyle k,b,a,c_{1},\cdots ,c_{k}}$

Если состоит из суммы выражений, приведенных в таблице, то аннулятор является произведением соответствующих аннуляторов.${\displaystyle f(x)}$

Дано , . Простейший аннигилятор — это . Нули — это , поэтому базис решения — это${\displaystyle y''-4y'+5y=\sin(kx)}$${\displaystyle P(D)=D^{2}-4D+5}$${\displaystyle \sin(kx)}$${\displaystyle A(D)=D^{2}+k^{2}}$${\displaystyle A(z)P(z)}$${\displaystyle \{2+i,2-i,ik,-ik\}}$${\displaystyle A(D)P(D)}$${\displaystyle \{y_{1},y_{2},y_{3},y_{4}\}=\{e^{(2+i)x},e^{(2-i)x},e^{ikx},e^{-ikx}\}.}$

Установку мы находим${\displaystyle y=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}+c_{3}y_{3}+c_{4}y_{4}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(kx)&=P(D)y\\[8pt]&=P(D)(c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}+c_{3}y_{3}+c_{4}y_{4})\\[8pt]&=c_{1}P(D)y_{1}+c_{2}P(D)y_{2}+c_{3}P(D)y_{3}+c_{4}P(D)y_{4}\\[8pt]&=0+0+c_{3}(-k^{2}-4ik+5)y_{3}+c_{4}(-k^{2}+4ik+5)y_{4}\\[8pt]&=c_{3}(-k^{2}-4ik+5)(\cos(kx)+i\sin(kx))+c_{4}(-k^{2}+4ik+5)(\cos(kx)-i\sin(kx))\end{aligned}}}$

давая системе

${\displaystyle i=(k^{2}+4ik-5)c_{3}+(-k^{2}+4ik+5)c_{4}}$

${\displaystyle 0=(k^{2}+4ik-5)c_{3}+(k^{2}-4ik-5)c_{4}}$

который имеет решения

${\displaystyle c_{3}={\frac {i}{2(k^{2}+4ik-5)}}}$,${\displaystyle c_{4}={\frac {i}{2(-k^{2}+4ik+5)}}}$

давая набор решений

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}+{\frac {i}{2(k^{2}+4ik-5)}}y_{3}+{\frac {i}{2(-k^{2}+4ik+5)}}y_{4}\\[8pt]&=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}+{\frac {4k\cos(kx)-(k^{2}-5)\sin(kx)}{(k^{2}+4ik-5)(k^{2}-4ik-5)}}\\[8pt]&=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}+{\frac {4k\cos(kx)+(5-k^{2})\sin(kx)}{k^{4}+6k^{2}+25}}.\end{aligned}}}$

Это решение можно разбить на однородную и неоднородную части. В частности, является частным интегралом для неоднородного дифференциального уравнения, а является дополнительным решением соответствующего однородного уравнения. Значения и определяются обычно через набор начальных условий. Поскольку это уравнение второго порядка, для определения этих значений необходимы два таких условия.${\displaystyle y_{p}={\frac {4k\cos(kx)+(5-k^{2})\sin(kx)}{k^{4}+6k^{2}+25}}}$${\displaystyle y_{c}=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}}$${\displaystyle c_{1}}$${\displaystyle c_{2}}$

Фундаментальные решения и можно далее переписать с использованием формулы Эйлера :${\displaystyle y_{1}=e^{(2+i)x}}$${\displaystyle y_{2}=e^{(2-i)x}}$

${\displaystyle e^{(2+i)x}=e^{2x}e^{ix}=e^{2x}(\cos x+i\sin x)}$

${\displaystyle e^{(2-i)x}=e^{2x}e^{-ix}=e^{2x}(\cos x-i\sin x)}$

Тогда , и соответствующее переназначение констант дает более простую и понятную форму дополнительного решения, .${\displaystyle c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}=c_{1}e^{2x}(\cos x+i\sin x)+c_{2}e^{2x}(\cos x-i\sin x)=(c_{1}+c_{2})e^{2x}\cos x+i(c_{1}-c_{2})e^{2x}\sin x}$${\displaystyle y_{c}=e^{2x}(c_{1}\cos x+c_{2}\sin x)}$