Polynomial sequence
В математике полиномы Ангелеску π n x ) представляют собой ряд полиномов, обобщающих полиномы Лагерра, введенные Аурелем Ангелеску. Полиномы могут быть заданы производящей функцией ϕ ( t 1 − t ) exp ( − x t 1 − t ) = ∑ n = 0 ∞ π n ( x ) t n . {\displaystyle \phi \left({\frac {t}{1-t}}\right)\exp \left(-{\frac {xt}{1-t}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\pi _{n}(x)t^{n}.}
Их также можно определить с помощью уравнения , где — множество Аппеля полиномов [ какое? ] . π n ( x ) := e x D n [ e − x A n ( x ) ] , {\displaystyle \pi _{n}(x):=e^{x}D^{n}[e^{-x}A_{n}(x)],} A n ( x ) n ! {\displaystyle {\frac {A_{n}(x)}{n!}}}
Характеристики
Соотношения сложения и рекуррентности Полиномы Ангелеску удовлетворяют следующей теореме сложения:
( − 1 ) n ∑ r = 0 m L m + n − r ( n ) ( x ) π r ( y ) ( n + m − r ) ! r ! = ∑ r = 0 m ( − 1 ) r ( − n − 1 r ) π n − r ( x + y ) ( m − r ) ! , {\displaystyle (-1)^{n}\sum _{r=0}^{m}{\frac {L_{m+n-r}^{(n)}(x)\pi _{r}(y)}{(n+m-r)!r!}}=\sum _{r=0}^{m}(-1)^{r}{\binom {-n-1}{r}}{\frac {\pi _{n-r}(x+y)}{(m-r)!}},} обобщенный полином Лагерра . L m + n − r ( n ) {\displaystyle L_{m+n-r}^{(n)}}
Особенно примечательным частным случаем этого является случай , когда формула упрощается до [ необходимо разъяснение ] n = 0 {\displaystyle n=0} π m ( x + y ) m ! = ∑ r = 0 m L m − r ( x ) π r ( y ) ( m − r ) ! r ! − ∑ r = 0 m − 1 L m − r − 1 ( x ) π r ( y ) ( m − r − 1 ) ! r ! . {\displaystyle {\frac {\pi _{m}(x+y)}{m!}}=\sum _{r=0}^{m}{\frac {L_{m-r}(x)\pi _{r}(y)}{(m-r)!r!}}-\sum _{r=0}^{m-1}{\frac {L_{m-r-1}(x)\pi _{r}(y)}{(m-r-1)!r!}}.}
Полиномы также удовлетворяют рекуррентному соотношению
π s ( x ) = ∑ r = 0 n ( − 1 ) n + r ( n r ) s ! ( n + s − r ) ! d n d x n [ π n + s − r ( x ) ] , {\displaystyle \pi _{s}(x)=\sum _{r=0}^{n}(-1)^{n+r}{\binom {n}{r}}{\frac {s!}{(n+s-r)!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[\pi _{n+s-r}(x)],} [ требуется проверка
что упрощает определение того, когда . [ Это можно обобщить следующим образом: n = 0 {\displaystyle n=0} π s + 1 ′ ( x ) = ( s + 1 ) [ π s ′ ( x ) − π s ( x ) ] {\displaystyle \pi '_{s+1}(x)=(s+1)[\pi '_{s}(x)-\pi _{s}(x)]}
− ∑ r = 0 s 1 ( m + n − r − 1 ) ! L m + n − r − 1 ( m + n − 1 ) ( x ) π r − s ( y ) ( s − r ) ! = 1 ( m + n + s ) ! d m + n d x m d y n π m + n + s ( x + y ) , {\displaystyle -\sum _{r=0}^{s}{\frac {1}{(m+n-r-1)!}}L_{m+n-r-1}^{(m+n-1)}(x){\frac {\pi _{r-s}(y)}{(s-r)!}}={\frac {1}{(m+n+s)!}}{\frac {d^{m+n}}{dx^{m}dy^{n}}}\pi _{m+n+s}(x+y),} [ требуется проверка
частным случаем которого является формула . d m + n d x m d y n π m + n ( x + y ) = ( − 1 ) m + n ( m + n ) ! a 0 {\displaystyle {\frac {d^{m+n}}{dx^{m}dy^{n}}}\pi _{m+n}(x+y)=(-1)^{m+n}(m+n)!a_{0}}
Интегралы Полиномы Ангелеску удовлетворяют следующим интегральным формулам:
∫ 0 ∞ e − x / 2 x [ π n ( x ) − π n ( 0 ) ] d x = ∑ r = 0 n − 1 ( − 1 ) n − r + 1 n ! r ! π r ( 0 ) ∫ 0 ∞ [ 1 1 / 2 + p − 1 ] n − r − 1 d [ 1 1 / 2 + p ] = ∑ r = 0 n − 1 ( − 1 ) n − r + 1 n ! r ! π r ( 0 ) n − r [ 1 + ( − 1 ) n − r − 1 ] {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x/2}}{x}}[\pi _{n}(x)-\pi _{n}(0)]dx&=\sum _{r=0}^{n-1}(-1)^{n-r+1}{\frac {n!}{r!}}\pi _{r}(0)\int _{0}^{\infty }[{\frac {1}{1/2+p}}-1]^{n-r-1}d[{\frac {1}{1/2+p}}]\\&=\sum _{r=0}^{n-1}(-1)^{n-r+1}{\frac {n!}{r!}}{\frac {\pi _{r}(0)}{n-r}}[1+(-1)^{n-r-1}]\end{aligned}}}
∫ 0 ∞ e − x [ π n ( x ) − π n ( 0 ) ] L m ( 1 ) ( x ) d x = { 0 if m ≥ n n ! ( n − m − 1 ) ! π n − m − 1 ( 0 ) if 0 ≤ m ≤ n − 1 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-x}[\pi _{n}(x)-\pi _{n}(0)]L_{m}^{(1)}(x)dx={\begin{cases}0{\text{ if }}m\geq n\\{\frac {n!}{(n-m-1)!}}\pi _{n-m-1}(0){\text{ if }}0\leq m\leq n-1\end{cases}}}
(Здесь — полином Лагерра.) L m ( 1 ) ( x ) {\displaystyle L_{m}^{(1)}(x)}
Дальнейшее обобщение Мы можем определить q-аналог полиномов Ангелеску как , где и являются q-экспоненциальными функциями и [ требуется проверка ] , является q-производной и является «множеством q-Аппелла» (удовлетворяющим свойству ). π n , q ( x ) := e q ( x q n ) D q n [ E q ( − x ) P n ( x ) ] {\displaystyle \pi _{n,q}(x):=e_{q}(xq^{n})D_{q}^{n}[E_{q}(-x)P_{n}(x)]} e q {\displaystyle e_{q}} E q {\displaystyle E_{q}} e q ( x ) := Π n = 0 ∞ ( 1 − q n x ) − 1 = Σ k = 0 ∞ x k [ k ] ! {\displaystyle e_{q}(x):=\Pi _{n=0}^{\infty }(1-q^{n}x)^{-1}=\Sigma _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{[k]!}}} E q ( x ) := Π n = 0 ∞ ( 1 + q n x ) = Σ k = 0 ∞ q k ( k − 1 ) 2 x k [ k ] ! {\displaystyle E_{q}(x):=\Pi _{n=0}^{\infty }(1+q^{n}x)=\Sigma _{k=0}^{\infty }{\frac {q^{\frac {k(k-1)}{2}}x^{k}}{[k]!}}} D q {\displaystyle D_{q}} P n {\displaystyle P_{n}} D q P n ( x ) = [ n ] P n − 1 ( x ) {\displaystyle D_{q}P_{n}(x)=[n]P_{n-1}(x)}
Этот q-аналог также можно задать как производящую функцию:
∑ n = 0 ∞ π n , q ( x ) t n ( 1 ; n ) = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n q n ( n − 1 ) 2 t n P n ( x ) ( 1 ; n ) [ 1 − t ] n + 1 , {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\pi _{n,q}(x)t^{n}}{(1;n)}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}q^{\frac {n(n-1)}{2}}t^{n}P_{n}(x)}{(1;n)[1-t]_{n+1}}},} [ требуется проверка ] ( a ; k ) := ( 1 − q a ) … ( 1 − q a + k − 1 ) {\displaystyle (a;k):=(1-q^{a})\dots (1-q^{a+k-1})} [ a + b ] n = ∑ k = 0 n [ n k ] a n − k b k {\displaystyle [a+b]_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}a^{n-k}b^{k}}
Ссылки Анжелеску, А. (1938), «Основные общие полиномы полиномов Лагерра», CR Acad. наук. Румыния (на французском языке), 2 : 199–201 , JFM 64.0328.01. Боас, Ральф П.; Бак, Р. Крейтон (1958), Полиномиальные разложения аналитических функций, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Neue Folge., вып. 19, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 9783540031239 МР 0094466 Шукла, Д.П. (1981). «Полиномы q-Ангелеску» (PDF) . Публикации Математического института . 43 : 205–213 . Шастри, NA (1940). «О многочлене Анджелеску πn (x)». Труды Индийской академии наук, раздел A. 11 ( 4): 312– 317. doi :10.1007/BF03051347. S2CID 125446896. 
![{\displaystyle \пи _{n}(x):=e^{x}D^{n}[e^{-x}A_{n}(x)],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ead5cb06218f42d4112e0accd34ad073243acd4)
![{\displaystyle \пи _{s}(x)=\сумма _{r=0}^{n}(-1)^{n+r}{\бином {n}{r}}{\frac {s!}{(n+sr)!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[\пи _{n+sr}(x)],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/763972055b87a6bd254dc0e39f8302386a444cc5)
![{\displaystyle \пи '_{s+1}(x)=(s+1)[\пи '_{s}(x)-\пи _{s}(x)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ce0ef476fff5235aeb3d3f65b158ce8c2efa0d3)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x/2}}{x}}[\pi _{n}(x)-\pi _{n}(0)]dx&=\sum _{r=0}^{n-1}(-1)^{n-r+1}{\frac {n!}{r!}}\pi _{r}(0)\int _{0}^{\infty }[{\frac {1}{1/2+p}}-1]^{nr-1}d[{\frac {1}{1/2+p}}]\\&=\sum _{r=0}^{n-1}(-1)^{n-r+1}{\frac {n!}{r!}}{\frac {\pi _{r}(0)}{номер}}[1+(-1)^{номер-1}]\end{выровнено}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ece5bd9062231514f288b13ae1904ac13ccffaa9)
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-x}[\pi _{n}(x)-\pi _{n}(0)]L_{m}^{(1)}(x)dx={\begin{cases}0{\text{ if }}m\geq n\\{\frac {n!}{(nm-1)!}}\pi _{nm-1}(0){\text{ if }}0\leq m\leq n-1\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d1270ea2b7598cb5e8962e8c96ddf75c0bc3785)
![{\displaystyle \пи _{n,q}(x):=e_{q}(xq^{n})D_{q}^{n}[E_{q}(-x)P_{n}(x)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6846ed2ed0205854b8ff708d0dad33b3bb7bb880)
![{\displaystyle e_{q}(x):=\Pi _{n=0}^{\infty }(1-q^{n}x)^{-1}=\Sigma _{k=0}^ {\infty }{\frac {x^{k}}{[k]!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3765f8e1aff6622fbbd7219bba7658509273cad1)
![{\displaystyle E_{q}(x):=\Pi _{n=0}^{\infty }(1+q^{n}x)=\Sigma _{k=0}^{\infty } \frac {q^{\frac {k(k-1)}{2}}x^{k}}{[k]!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/187f455df0e34f7829055c0bf7008c0295fde8bc)
![{\displaystyle D_{q}P_{n}(x)=[n]P_{n-1}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbde7001bd5b800dc33a68e1be143fbfdf00ee56)
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\pi _{n,q}(x)t^{n}}{(1;n)}}=\sum _{ n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}q^{\frac {n(n-1)}{2}}t^{n}P_{n}(x)}{(1;n)[1-t]_{n+1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fa55f46a4153e37e04250b22864f6cd5df19c9f)
![{\displaystyle [a+b]_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}a^{nk}b^{k }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b88b8b0c6130c2d89070555f4ea33a278b63518)
