Теорема Андерсона–Кадеца

В математике , в областях топологии и функционального анализа , теорема Андерсона–Кадеца утверждает ^[1], что любые два бесконечномерных , сепарабельных банаховых пространства , или, в более общем смысле, пространства Фреше , гомеоморфны как топологические пространства. Теорема была доказана Михаилом Кадецом (1966) и Ричардом Дэвисом Андерсоном .

Каждое бесконечномерное сепарабельное пространство Фреше гомеоморфно декартову произведению счетного числа копий действительной прямой${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} },}$${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Норма Кадека: Норма на нормированном линейном пространстве называется${\displaystyle \|\,\cdot \,\|}$${\displaystyle X}$Норма Кадека относительно полного подмножества ${\displaystyle A\subseteq X^{*}}$ сопряженного пространства, если для каждой последовательностивыполняется следующее условие:${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle x_{n}\in X}$

• Если для и тогда${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x^{*}\left(x_{n}\right)=x^{*}(x_{0})}$${\displaystyle x^{*}\in A}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left\|x_{n}\right\|=\left\|x_{0}\right\|,}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left\|x_{n}-x_{0}\right\|=0.}$

Теорема Эйдельхайта : Пространство Фрешелибо изоморфно пространству Банаха, либо имеет факторпространство, изоморфное пространству Банаха.${\displaystyle E}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }.}$

Теорема Кадеца о перенормировке: Каждое сепарабельное банахово пространство допускает норму Кадеца относительно счетного тотального подмножества Новая норма эквивалентна исходной норме Множество можно взять как любое слабо-звездное плотное счетное подмножество единичного шара${\displaystyle X}$${\displaystyle A\subseteq X^{*}}$${\displaystyle X^{*}.}$${\displaystyle \|\,\cdot \,\|}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle А}$${\displaystyle X^{*}}$

В приведенном ниже рассуждении обозначается бесконечномерное сепарабельное пространство Фреше и отношение топологической эквивалентности (существование гомеоморфизма).${\displaystyle E}$${\displaystyle \симеq}$

Отправной точкой доказательства теоремы Андерсона–Кадеца является доказательство Кадеца того, что любое бесконечномерное сепарабельное банахово пространство гомеоморфно${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }.}$

Из теоремы Эйдельхайта достаточно рассмотреть пространства Фреше, которые не изоморфны банахову пространству. В этом случае у них есть фактор, который изоморфен Результат Бартла-Грейвса-Майкла доказывает, что тогда для некоторого пространства Фреше${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }.}$$${\displaystyle E\simeq Y\times \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$$${\displaystyle Y.}$

С другой стороны, является замкнутым подпространством счетного бесконечного произведения сепарабельных банаховых пространств сепарабельных банаховых пространств. Тот же результат Бартла-Грейвса-Майкла, примененный к, дает гомеоморфизм для некоторого пространства Фреше. Из результата Кадеца счетное произведение бесконечномерных сепарабельных банаховых пространств гомеоморфно${\displaystyle E}$${\textstyle X=\prod _{n=1}^{\infty }X_{i}}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle X\simeq E\times Z}$$${\displaystyle З.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }.}$

Доказательство теоремы Андерсона–Кадеца состоит из последовательности эквивалентностей$${\displaystyle {\begin{align}\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }&\simeq (E\times Z)^{\mathbb {N} }\\&\simeq E^{\mathbb {N} }\times Z^{\mathbb {N} }\\&\simeq E\times E^{\mathbb {N} }\times Z^{\mathbb {N} }\\&\simeq E\times \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }\\&\simeq Y\times \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }\times \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }\\&\simeq Y\times \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }\\&\simeq E\end{align}}}$$

• Метризуемое топологическое векторное пространство  – топологическое векторное пространство, топология которого может быть определена метрикой.

• Бессага, К.; Пелчинский, А. (1975), Избранные темы бесконечномерной топологии , Monografie Matematyczne, Варшава: Panstwowe wyd. науке.
• Торунчик, Х. (1981), Характеристика топологии гильбертова пространства , Fundamenta Mathematicae, стр. 247–262.