Теорема об аналитической подгруппе

В математике теорема об аналитической подгруппе является значимым результатом в современной теории трансцендентных чисел . Ее можно рассматривать как обобщение теоремы Бейкера о линейных формах в логарифмах. Гисберт Вюстхольц доказал ее в 1980-х годах. ^{[1] [2]} Она ознаменовала прорыв в теории трансцендентных чисел. Многие давние открытые проблемы могут быть выведены как прямые следствия.

Если — коммутативная алгебраическая группа, определенная над полем алгебраических чисел , и является подгруппой Ли с алгеброй Ли, определенной над числовым полем, то не содержит ни одной ненулевой алгебраической точки, если только не содержит собственную алгебраическую подгруппу .${\displaystyle G}$ ${\displaystyle А}$${\displaystyle G}$${\displaystyle А}$${\displaystyle G}$${\displaystyle А}$

Одним из центральных новых компонентов доказательства стала теория оценок кратности групповых многообразий, разработанная Дэвидом Массером и Гисбертом Вюстхольцем в частных случаях и установленная Вюстхольцем в общем случае, что было необходимо для доказательства теоремы об аналитической подгруппе.

Одним из впечатляющих следствий теоремы об аналитической подгруппе стала теорема изогении, опубликованная Массером и Вюстхольцем. Прямым следствием является гипотеза Тейта для абелевых многообразий , которую Герд Фальтингс доказал совершенно другими методами, что имеет множество приложений в современной арифметической геометрии.

Используя оценки кратности для групповых многообразий, Вюстхольц сумел получить окончательную ожидаемую форму для нижней границы линейных форм в логарифмах. Это было представлено в эффективной форме в его совместной работе с Аланом Бейкером, которая знаменует собой современное состояние искусства. Помимо оценок кратности, еще одним новым ингредиентом было очень сложное использование геометрии чисел для получения очень точных нижних границ.

• Алгебраическая кривая

• Бейкер, Алан; Вюстхольц, Гисберт (1993), «Логарифмические формы и групповые многообразия», J. Reine Angew. Math. , 1993 (442): 19– 62, doi :10.1515/crll.1993.442.19, MR  1234835, S2CID  118335888
• Бейкер, Алан; Вюстхольц, Гисберт (2007). Логарифмические формы и диофантова геометрия . Новые математические монографии. Том 9. Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88268-2. МР  2382891.
• Masser, David; Wüstholz, Gisbert (1993), «Оценки изогении для абелевых многообразий и теоремы конечности», Annals of Mathematics , Вторая серия, 137 (3): 459– 472, doi :10.2307/2946529, JSTOR  2946529, MR  1217345