Аналитическая способность

В математической дисциплине комплексного анализа аналитическая емкость компактного подмножества K комплексной плоскости — это число, которое обозначает, «насколько большой» может стать ограниченная аналитическая функция на C  \  K. Грубо говоря, γ ( K ) измеряет размер единичного шара пространства ограниченных аналитических функций вне K .

Впервые он был введен Ларсом Альфорсом в 1940-х годах при изучении устранимости особенностей ограниченных аналитических функций.

Определение

Пусть K ⊂ C компактно . Тогда его аналитическая емкость определяется как

γ ( К ) = Как дела { | ф ′ ( ∞ ) | ;   ф ∈ ЧАС ∞ ( С ∖ К ) ,   ‖ ф ‖ ∞ ≤ 1 ,   ф ( ∞ ) = 0 } {\displaystyle \gamma (K)=\sup\{|f'(\infty)|;\ е\in {\mathcal {H}}^{\infty }(\mathbf {C} \setminus K),\ \|f\|_{\infty }\leq 1,\ f(\infty )=0\}}

Здесь обозначает множество ограниченных аналитических функций U → C , когда U — открытое подмножество комплексной плоскости . Далее, ЧАС ∞ ( У ) {\displaystyle {\mathcal {H}}^{\infty }(U)}

ф ′ ( ∞ ) := лим з → ∞ з ( ф ( з ) − ф ( ∞ ) ) {\ displaystyle f '(\ infty): = \ lim _ {z \ to \ infty} z \ left (f (z) -f (\ infty) \ right)}
ф ( ∞ ) := лим з → ∞ ф ( з ) {\ displaystyle f (\ infty): = \ lim _ {z \ to \ infty } f (z)}

Обратите внимание, что , где . Однако, как правило . ф ′ ( ∞ ) = г ′ ( 0 ) {\displaystyle f'(\infty)=g'(0)} г ( з ) = ф ( 1 / з ) {\displaystyle g(z)=f(1/z)} ф ′ ( ∞ ) ≠ лим з → ∞ ф ′ ( з ) {\displaystyle f'(\infty)\neq \lim _ {z\to \infty }f'(z)}

Эквивалентно аналитическая емкость может быть определена как [1]

γ ( К ) = Как дела | 1 2 π ∫ С ф ( з ) г з | {\displaystyle \gamma (K)=\sup \left|{\frac {1}{2\pi }}\int _{C}f(z)dz\right|}

где C — контур, охватывающий K , а супремум берется по f, удовлетворяющему тем же условиям, что и выше: f ограниченно аналитична вне K , граница равна единице, и ф ( ∞ ) = 0. {\displaystyle f(\infty)=0.}

Если A ⊂ C — произвольное множество, то мы определяем

γ ( А ) = Как дела { γ ( К ) : К ⊂ А , К  компактный } . {\displaystyle \gamma (A)=\sup\{\gamma (K):K\subset A,\,K{\text{ compact}}\}.}

Съемные множества и проблема Пенлеве

Компактное множество K называется устранимым , если всякий раз, когда Ω — открытое множество, содержащее K , каждая функция, ограниченная и голоморфная на множестве Ω \  K, имеет аналитическое продолжение на все Ω. По теореме Римана для устранимых особенностей каждый синглтон устраним. Это побудило Пенлеве в 1880 году поставить более общий вопрос: «Какие подмножества C устранимы?»

Легко видеть, что K является устранимым тогда и только тогда, когда γ ( K ) = 0. Однако аналитическая емкость является чисто комплексно-аналитическим понятием, и необходимо проделать гораздо больше работы, чтобы получить более геометрическую характеристику.

Функция Альфорса

Для каждого компактного K ⊂ C существует единственная экстремальная функция, т.е. такая , что f (∞) = 0 и f′ (∞) = γ ( K ). Эта функция называется функцией Альфорса для K . Ее существование можно доказать, используя обычный семейный аргумент, включающий теорему Монтеля . ф ∈ ЧАС ∞ ( С ∖ К ) {\displaystyle f\in {\mathcal {H}}^{\infty }(\mathbf {C} \setminus K)} ‖ ф ‖ ≤ 1 {\displaystyle \|f\|\leq 1}

Аналитическая емкость в терминах размерности Хаусдорфа

Пусть dim H обозначает размерность Хаусдорфа , а H 1 обозначает одномерную меру Хаусдорфа . Тогда H 1 ( K ) = 0 влечет γ ( K ) = 0, в то время как dim H ( K ) > 1 гарантирует γ ( K ) > 0. Однако случай, когда dim H ( K ) = 1 и H 1 ( K ) ∈ (0, ∞], более сложен.

Положительная длина, но нулевая аналитическая емкость

Учитывая частичное соответствие между одномерной мерой Хаусдорфа компактного подмножества C и его аналитической емкостью, можно предположить, что γ ( K ) = 0 влечет H 1 ( K ) = 0. Однако эта гипотеза ложна. Контрпример был впервые приведен А. Г. Витушкиным , а гораздо более простой — Джоном Б. Гарнеттом в его статье 1970 года. Этот последний пример — линейное множество Кантора из четырех углов , построенное следующим образом:

Пусть K 0  := [0, 1] × [0, 1] будет единичным квадратом. Тогда K 1 является объединением 4 квадратов со стороной 1/4, и эти квадраты расположены в углах K 0 . В общем случае K n является объединением 4 n квадратов (обозначаемых как ) со стороной 4 − n , каждый из которых находится в углу некоторого . Возьмем K как пересечение всех K n , тогда γ ( K ) = 0. В н дж {\displaystyle Q_{n}^{j}} В н дж {\displaystyle Q_{n}^{j}} В н − 1 к {\displaystyle Q_{n-1}^{k}} ЧАС 1 ( К ) = 2 {\displaystyle H^{1}(K)={\sqrt {2}}}

Гипотеза Витушкина

Пусть K ⊂ C — компактное множество. Гипотеза Витушкина утверждает, что

γ ( К ) = 0   ⟺   ∫ 0 π ЧАС 1 ( проект θ ⁡ ( К ) ) г θ = 0 {\displaystyle \gamma (K)=0\ \ifl \ \int _{0}^{\pi }{\mathcal {H}}^{1}(\operatorname {proj} _{\theta }(K))\,d\theta =0}

где обозначает ортогональную проекцию в направлении θ. Согласно результатам, описанным выше, гипотеза Витушкина верна, когда dim H K ≠ 1. проект θ ⁡ ( х , у ) := х потому что ⁡ θ + у грех ⁡ θ {\displaystyle \operatorname {proj} _ {\theta }(x,y):=x\cos \theta +y\sin \theta }

В 1998 году Гай Дэвид опубликовал доказательство гипотезы Витушкина для случая dim H K = 1 и H 1 ( K ) < ∞. В 2002 году Ксавье Толса доказал, что аналитическая емкость счетно-полуаддитивна. То есть существует абсолютная константа C > 0 такая, что если K ⊂ C — компактное множество и , где каждое K i — борелевское множество, то . К = ⋃ я = 1 ∞ К я {\displaystyle K=\bigcup _{i=1}^{\infty }K_{i}} γ ( К ) ≤ С ∑ я = 1 ∞ γ ( К я ) {\displaystyle \гамма (К)\leq C\сумма _{i=1}^{\infty }\гамма (К_{i})}

Теоремы Дэвида и Толсы вместе подразумевают, что гипотеза Витушкина верна, когда K является H 1 - сигма-конечным .

В не- H 1 -сигма-конечном случае Пертти Маттила доказал в 1986 году [2] , что гипотеза ложна, но его доказательство не уточняло, какое следствие гипотезы не выполняется. Последующая работа Джонса и Мурая [3] дала пример множества с нулевой длиной Фавара и положительной аналитической емкостью, явно опровергнув одно из направлений гипотезы. По состоянию на 2023 год неизвестно, выполняется ли другое следствие, но Чанг и Толса достигли определенного прогресса в направлении положительного ответа. [4]

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Соломенцев, Э.Д. (2001) [1994], «Емкость», Энциклопедия математики , EMS Press
  2. ^ Маттила, Пертти (1986). «Гладкие отображения, нулевые множества для интегральной геометрической меры и аналитической емкости». Annals of Mathematics . 123 (2): 303–309. doi :10.2307/1971273. ISSN  0003-486X.
  3. ^ Джонс, Питер В.; Мурай, Такафуми. «Положительная аналитическая способность, но нулевая вероятность иглы Бюффона» (PDF) . Тихоокеанский математический журнал . 133 (1): 99–114.
  4. ^ Чанг, Алан; Толса, Ксавье (2020-10-05). «Аналитическая емкость и проекции». Журнал Европейского математического общества . 22 (12): 4121–4159. arXiv : 1712.00594 . doi : 10.4171/JEMS/1004. ISSN  1435-9855.
  • Маттила, Пертти (1995). Геометрия множеств и мер в евклидовых пространствах . Cambridge University Press. ISBN 0-521-65595-1.
  • Pajot, Hervé (2002). Аналитическая емкость, выпрямляемость, кривизна Менгера и интеграл Коши . Конспект лекций по математике. Springer-Verlag.
  • Дж. Гарнетт, Положительная длина, но нулевая аналитическая емкость, Proc. Amer. Math. Soc. 21 (1970), 696–699
  • G. David, Неисправляемые 1-множества имеют исчезающую аналитическую емкость, Rev. Math. Iberoam. 14 (1998) 269–479
  • Дудзяк, Джеймс Дж. (2010). Гипотеза Витушкина для съемных множеств . Universitext. Springer-Verlag. ISBN 978-14419-6708-4.
  • Толса, Ксавье (2014). Аналитическая емкость, преобразование Коши и неоднородная теория Кальдерона–Зигмунда . Прогресс в математике. Birkhäuser Basel. ISBN 978-3-319-00595-9.
Получено с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Аналитическая_емкость&oldid=1203401931"