Выравнивание случайных точек

Изучение выравниваний случайных точек на плоскости стремится обнаружить подмножества точек, которые занимают приблизительно прямую линию внутри большего набора точек, которые случайным образом размещены в плоской области. Исследования показали, что такие почти выравнивания происходят случайно с большей частотой, чем можно было бы интуитивно ожидать.

Это было выдвинуто как демонстрация того, что лей-линии и другие подобные таинственные выравнивания, которые некоторые считают явлениями глубокого значения, могут существовать исключительно благодаря случайности, в отличие от сверхъестественных или антропологических объяснений, выдвигаемых их сторонниками. Эта тема также изучалась в области компьютерного зрения и астрономии .

В ряде исследований изучалась математика выравнивания случайных точек на плоскости. ^{[1] [2] [3] [4]} Во всех из них важна ширина линии — допустимое смещение положений точек от идеальной прямой линии. Она допускает тот факт, что реальные объекты мира не являются математическими точками, и что их положения не обязательно должны точно совпадать, чтобы их можно было считать выровненными. Альфред Уоткинс в своей классической работе о лей-линиях The Old Straight Track использовал ширину карандашной линии на карте в качестве порога для допуска того, что можно было бы считать выравниванием. Например, при использовании карандашной линии толщиной 1 мм для рисования выравниваний на карте Ordnance Survey масштаба 1:50 000 соответствующая ширина на земле будет составлять 50 м. ^[5]

Вопреки интуиции, нахождение выравниваний между случайно расположенными точками на ландшафте становится все проще по мере увеличения рассматриваемой географической области. Один из способов понять это явление — увидеть, что увеличение числа возможных комбинаций наборов точек в этой области перевешивает уменьшение вероятности того, что любой заданный набор точек в этой области выстроится в линию.

Одно из определений, выражающее общепринятое значение термина «выравнивание», выглядит следующим образом:

Набор точек, выбранных из заданного набора ориентиров, все из которых лежат в пределах по крайней мере одного прямого пути заданной ширины.

Точнее, путь шириной w можно определить как множество всех точек в пределах расстояния w/2 от прямой линии на плоскости, или большого круга на сфере, или вообще от любой геодезической на любом другом типе многообразия . Обратите внимание, что, как правило, любой заданный набор точек, выровненных таким образом, будет содержать большое количество бесконечно мало различных прямых путей. Поэтому для определения, является ли набор точек выравниванием, необходимо только существование хотя бы одного прямого пути. По этой причине легче подсчитать наборы точек, а не сами пути. Количество найденных выравниваний очень чувствительно к допустимой ширине w , увеличиваясь примерно пропорционально w ^{k −2} , где k — количество точек в выравнивании.

Ниже приведена весьма приблизительная оценка порядка величины вероятности выравнивания, предполагающая, что плоскость покрыта равномерно распределенными «значимыми» точками.

Рассмотрим набор из n точек в компактной области с приблизительным диаметром L и площадью приблизительно L ^2. Будем считать допустимой линию, где каждая точка находится в пределах расстояния w /2 от линии (то есть лежит на пути шириной w , где w ≪ L ).

Рассмотрим все неупорядоченные наборы из k точек из n точек, среди которых имеются:

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{(nk)!\,k!}}}$

(см. обозначения факториала и биномиального коэффициента ).

Чтобы сделать грубую оценку вероятности того, что любое заданное подмножество из k точек приблизительно коллинеарно , как определено выше, рассмотрим линию между «самой левой» и «самой правой» двумя точками в этом подмножестве (для некоторой произвольной оси слева/справа: верх и низ могут быть выбраны для исключительного вертикального случая). Прямую линию можно тривиально провести через эти две точки. Для каждой из оставшихся k -2 точек в подмножестве вероятность того, что точка находится «достаточно близко» к линии, составляет примерно w / L , что можно увидеть, рассмотрев отношение площади зоны допуска линии (примерно wL ) и общей площади (примерно L ² ).

Таким образом, основываясь на приблизительных оценках, приведенных выше, ожидаемое число выравниваний k-точек в общем наборе можно оценить как очень приблизительно равное

${\displaystyle {\frac {n!}{(nk)!\,k!}}\left({\frac {w}{L}}\right)^{k-2}}$

Помимо прочего, это можно использовать для того, чтобы показать, что, вопреки интуиции, число k -точечных линий, ожидаемых случайным образом на плоскости, покрытой точками с заданной плотностью, для заданной ширины линии, увеличивается гораздо больше, чем линейно, с размером рассматриваемой области, поскольку комбинаторный взрывной рост числа возможных комбинаций точек более чем компенсирует увеличение сложности выстраивания любой заданной комбинации.

Используя аналогичный, но более тщательный анализ, можно найти более точное выражение для числа 3-точечных рядов максимальной ширины w и максимальной длины d, ожидаемых случайно среди n точек, размещенных случайным образом на квадрате со стороной L, как ^[2]

${\displaystyle \mu ={\frac {\pi }{3}}{\frac {w}{L}}\left({\frac {d}{L}}\right)^{3}n(n-1)(n-2)}$

Если d ≈ L и k = 3, то можно увидеть, что это дает тот же прогноз, что и грубая оценка выше, с точностью до постоянного множителя.

Если включить краевые эффекты (потерянные выравнивания за пределами квадрата), то выражение становится

${\displaystyle \mu ={\frac {\pi }{3}}{\frac {w}{L}}\left({\frac {d}{L}}\right)^{3}n(n-1)(n-2)\left(1-{\frac {3}{\pi }}\left({\frac {d}{L}}\right)+{\frac {3}{5}}\left({\frac {4}{\pi }}-1\right)\left({\frac {d}{L}}\right)^{2}\right)}$

Обобщение для k -точечных выравниваний (без учета краевых эффектов) выглядит следующим образом ^[3]

${\displaystyle \mu ={\frac {\pi n(n-1)(n-2)\cdots (n-(k-1))}{k(k-2)!}}\left({\frac {w}{L}}\right)^{k-2}\left({\frac {d}{L}}\right)^{k}}$

что имеет примерно такие же асимптотические масштабные свойства, как и грубое приближение в предыдущем разделе, по той же причине: этот комбинаторный взрыв при больших n подавляет эффекты других переменных.

Компьютерное моделирование показывает, что точки на плоскости имеют тенденцию формировать выравнивания, подобные тем, которые были найдены охотниками за лей, в числах, соответствующих оценкам порядка величины, приведенным выше, что предполагает, что лей-линии также могут быть сгенерированы случайно. Это явление происходит независимо от того, генерируются ли точки псевдослучайно компьютером или из наборов данных обыденных объектов, таких как пиццерии или телефонные будки .

На карте шириной в десятки километров легко найти выравнивания из 4–8 точек даже в относительно небольших наборах объектов с w = 50 м. Выбор более крупных областей, более плотных наборов объектов или больших значений w позволяет легко найти выравнивания из 20 и более точек.

• Апофения
• Иллюзия кластеризации
• Совпадение
• Полная пространственная случайность
• Общая позиция
• Распознавание образов
• Прокрустов анализ
• Теория Рамсея , для понятия «неизбежных совпадений»
• Статистический анализ формы