Воздушный процесс

Процессы Эйри представляют собой семейство стационарных стохастических процессов , которые появляются как предельные процессы в теории моделей случайного роста и теории случайных матриц . Предполагается, что они являются универсальными пределами , описывающими долговременные, крупномасштабные пространственные флуктуации моделей в (1+1)-мерном классе универсальности KPZ (уравнение Кардара–Паризи–Чжана) для многих начальных условий (см. также неподвижную точку KPZ ).

Первоначальный процесс Эйри ₂ был представлен в 2002 году математиками Михаэлем Прехофером и Гербертом Споном . ^[1] Они доказали, что функция высоты модели из (1+1)-мерного класса универсальности КПЗ — капли PNG — сходится при подходящем масштабировании и начальном условии к процессу Эйри ₂ и что это стационарный процесс с почти наверняка непрерывными траекториями выборки.

Процесс Эйри назван в честь функции Эйри . Процесс можно определить через его конечномерное распределение с определителем Фредгольма и так называемым расширенным ядром Эйри . Оказывается, что одноточечное маргинальное распределение процесса Эйри 2 _{является} распределением Трейси-Уидома GUE .

Существует несколько процессов Эйри. Процесс Эйри ₁ был введен Томохиро Сасомото ^[2] , а одноточечное предельное распределение Эйри ₁ является скалярным произведением распределения Трейси-Уидома GOE. ^{[3] Другой процесс Эйри — это} _{статистический} процесс Эйри . ^[4]

Пусть будет внутри .${\displaystyle t_{1}<t_{2}<\точки <t_{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

Процесс Эйри ₂ имеет следующее конечномерное распределение${\displaystyle A_{2}(т)}$

${\displaystyle P(A_{2}(t_{1})<\xi _{1},\dots ,A_{2}(t_{n})<\xi _{n})=\det(1-f^{1/2}K_{\operatorname {Ai} }^{\operatorname {ext} }f^{1/2})_{L^{2}(\{t_{1},\dots ,t_{n}\}\times \mathbb {R} )}}$

где

${\ displaystyle f (t_ {j}, \ xi): = 1 _ {\ {(\ xi _ {j}, \ infty ) \}} (\ xi)}$

и является расширенным ядром Эйри${\displaystyle K_{\operatorname {Ai} }^{\operatorname {ext} }(t_{i},x;t_{j},y)}$

${\displaystyle K_{\operatorname {Ai} }^{\operatorname {ext} }(t_{i},x;t_{j},y):={\begin{cases}{\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-z(t_{i}-t_{j})}\operatorname {Ai} (x+z)\operatorname {Ai} (y+z)\mathrm {d} z}&{\text{if }}\;t_{i}\geq t_{j},\\{\displaystyle -\int _{-\infty }^{0}e^{-z(t_{i}-t_{j})}\operatorname {Ai} (x+z)\operatorname {Ai} (y+z)\mathrm {d} z}&{\text{if }}\;t_{i}<t_{j}.\end{cases}}}$

• Если расширенное ядро ​​Эйри сводится к ядру Эйри и, следовательно,${\displaystyle t_{i}=t_{j}}$

${\displaystyle P(A_{2}(t)\leq \xi )=F_{2}(\xi ),}$

где — распределение Трейси-Уидома для GUE.${\displaystyle F_{2}(\xi )}$

• ${\displaystyle f^{1/2}K_{\operatorname {Ai} }^{\operatorname {ext} }f^{1/2}}$является оператором класса следа на с мерой подсчета на и мерой Лебега на , ядром является . ^[5]${\displaystyle L^{2}(\{t_{1},\dots ,t_{n}\}\times \mathbb {R} )}$${\displaystyle \{t_{1},\dots ,t_{n}\}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle f^{1/2}K_{\operatorname {Ai} }^{\operatorname {ext} }(t_{i},x;t_{j},y)f^{1/2}}$

• Prähofer, Michael; Spohn, Herbert (2002). «Масштабная инвариантность капли PNG и процесса Эйри». Журнал статистической физики . 108. Springer. arXiv : math/0105240 .
• Йоханссон, Курт (2003). «Дискретный полинуклеарный рост и детерминантные процессы». Commun. Math. Phys . 242. Springer: 290. arXiv : math/0206208 . doi :10.1007/s00220-003-0945-y.
• Трейси, Крейг; Видом, Гарольд (2003). «Система дифференциальных уравнений для процесса Эйри». Electron. Commun. Probab . 8 : 93– 98. arXiv : math/0302033 . doi :10.1214/ECP.v8-1074.