прямоугольник Айллеса

Прямоугольник Эйллеса — это прямоугольник, построенный из четырех прямоугольных треугольников , который обычно используется на уроках геометрии для нахождения значений тригонометрических функций 15° и 75°. ^[1] Он назван в честь Дугласа С. Эйллеса, который был учителем средней школы в институте Киплинга в Торонто . ^{[2] [3]}

Треугольник с углами 30°–60°–90° имеет стороны длиной 1, 2 и . Когда два таких треугольника помещаются в положения, показанные на рисунке, наименьший прямоугольник, который может их охватить, имеет ширину и высоту . Проведение линии, соединяющей верхние углы исходных треугольников, создает между ними треугольник с углами 45°–45°–90° и сторонами длиной 2, 2 и (по теореме Пифагора ) . Оставшееся пространство в верхней части прямоугольника представляет собой прямоугольный треугольник с острыми углами 15° и 75° и сторонами , , и .${\displaystyle {\sqrt {3}}}$${\displaystyle 1+{\sqrt {3}}}$${\displaystyle {\sqrt {3}}}$${\displaystyle 2{\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\sqrt {3}}-1}$${\displaystyle {\sqrt {3}}+1}$${\displaystyle 2{\sqrt {2}}}$

Из построения прямоугольника следует, что

${\displaystyle \sin 15^{\circ }=\cos 75^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}={\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}},}$

${\displaystyle \sin 75^{\circ }=\cos 15^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}+1}{2{\sqrt {2}}}}={\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}},}$

${\displaystyle \tan 15^{\circ }=\cot 75^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}-1}{{\sqrt {3}}+1}}={\frac {({\sqrt {3}}-1)^{2}}{3-1}}=2-{\sqrt {3}},}$

и

${\displaystyle \tan 75^{\circ }=\cot 15^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}+1}{{\sqrt {3}}-1}}={\frac {({\sqrt {3}}+1)^{2}}{3-1}}=2+{\sqrt {3}}.}$

Альтернативная конструкция (также Эйллеса) помещает в середину треугольник с углами 30°–60°–90° и длинами сторон , и . Каждый из его катетов является гипотенузой треугольника с углами 45°–45°–90°, один с катетами длиной , а другой с катетами длиной . ^{[4] [5]} Треугольник с углами 15°–75°–90° такой же, как и выше.${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\sqrt {6}}}$${\displaystyle 2{\sqrt {2}}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle {\sqrt {3}}}$

• Точные тригонометрические значения