Расширенная действительная числовая прямая

В математике расширенная система действительных чисел ^[a] получается из действительной системы чисел путем добавления двух элементов, обозначенных и ^[b], которые соответственно больше и меньше любого действительного числа. Это позволяет рассматривать потенциальные бесконечности бесконечно возрастающих последовательностей и бесконечно убывающих рядов как фактические бесконечности . Например, бесконечная последовательность натуральных чисел бесконечно возрастает и не имеет верхней границы в действительной системе чисел (потенциальная бесконечность); в расширенной прямой действительных чисел последовательность имеет в качестве своей наименьшей верхней границы и в качестве своего предела (действительная бесконечность). В исчислении и математическом анализе использование и в качестве фактических пределов значительно расширяет возможные вычисления. ^[1] Это пополнение Дедекинда–МакНейла действительных чисел.${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle +\infty}$${\displaystyle -\infty}$ ${\displaystyle (1,2,\ldots)}$${\displaystyle +\infty}$${\displaystyle +\infty}$${\displaystyle -\infty}$

Расширенная система действительных чисел обозначается , , или . ^[2] Когда значение ясно из контекста, символ часто записывается просто как . ^[2]${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle [-\infty ,+\infty ]}$${\displaystyle \mathbb {R} \cup \left\{-\infty ,+\infty \right\}}$${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle \infty }$

Существует также отдельная проективно расширенная вещественная линия , где и не различаются, т.е. существует одна актуальная бесконечность как для бесконечно возрастающих последовательностей, так и для бесконечно убывающих последовательностей, которая обозначается просто как или как .${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle \pm \infty }$

Расширенная числовая прямая часто полезна для описания поведения функции , когда аргумент или значение функции становятся "бесконечно большими" в некотором смысле. Например, рассмотрим функцию, определенную как${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}}}}$.

График этой функции имеет горизонтальную асимптоту при . Геометрически, при движении все дальше вправо вдоль оси -, значение стремится к 0. Это предельное поведение похоже на предел функции , в которой действительное число приближается, за исключением того, что нет действительного числа, которое приближается при бесконечном увеличении. Присоединение элементов и к позволяет определить "пределы на бесконечности", которые очень похожи на обычное определение пределов, за исключением того, что заменяется на (для ) или (для ). Это позволяет доказать и записать${\displaystyle y=0}$${\displaystyle x}$${\textstyle {1}/{x^{2}}}$ ${\textstyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{0},}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle |x-x_{0}|<\varepsilon }$${\displaystyle x>N}$${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle x<-N}$${\displaystyle -\infty }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x^{2}}}&=0,\\\lim _{x\to -\infty }{\frac {1}{x^{2}}}&=0,\\\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{2}}}&=+\infty .\end{aligned}}}$

This section may be confusing or unclear to readers. In particular, since this is a subsection of section "Motivation", it must be understandable by readers who know nothing more than the basic definition of an integral. Please help clarify the section. There might be a discussion about this on the talk page. (September 2024) (Learn how and when to remove this message)

В теории меры часто бывает полезно допускать множества, имеющие бесконечную меру , и интегралы, значение которых может быть бесконечным.

Такие меры возникают естественным образом из исчисления. Например, при назначении меры , которая согласуется с обычной длиной интервалов , эта мера должна быть больше любого конечного действительного числа. Также при рассмотрении несобственных интегралов , таких как${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x}}}$

возникает значение "бесконечность". Наконец, часто бывает полезно рассмотреть предел последовательности функций, например,

${\displaystyle f_{n}(x)={\begin{cases}2n(1-nx),&{\mbox{if }}0\leq x\leq {\frac {1}{n}}\\0,&{\mbox{if }}{\frac {1}{n}}<x\leq 1\end{cases}}}$.

Если бы функции не принимали бесконечные значения, такие существенные результаты, как теорема о монотонной сходимости и теорема о доминируемой сходимости, не имели бы смысла.

Расширенная система действительных чисел , определяемая как или , может быть превращена в полностью упорядоченное множество , определяя для всех . С этой топологией порядка , обладает желаемым свойством компактности : каждое подмножество имеет супремум и инфимум ^[2] (инфимум пустого множества равен , а его супремум равен ). Более того, с этой топологией , гомеоморфно единичному интервалу . Таким образом, топология метризуема , соответствуя (для заданного гомеоморфизма) обычной метрике на этом интервале. Однако не существует метрики , которая является расширением обычной метрики на .${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle [-\infty ,+\infty ]}$${\displaystyle \mathbb {R} \cup \left\{-\infty ,+\infty \right\}}$${\displaystyle -\infty \leq a\leq +\infty }$${\displaystyle a\in {\overline {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

В этой топологии множество является окрестностью тогда и только тогда, когда оно содержит множество для некоторого действительного числа . Понятие окрестности может быть определено аналогично. Используя эту характеристику расширенно-действительных окрестностей, пределы, стремящиеся к или , и пределы, «равные» и , сводятся к общему топологическому определению пределов — вместо того, чтобы иметь специальное определение в системе действительных чисел.${\displaystyle U}$${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle \{x:x>a\}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle x}$${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle -\infty }$

Арифметические операции можно частично расширить следующим образом: ^[3]${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}a\pm \infty =\pm \infty +a&=\pm \infty ,&a&\neq \mp \infty \\a\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \cdot a&=\pm \infty ,&a&\in (0,+\infty ]\\a\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \cdot a&=\mp \infty ,&a&\in [-\infty ,0)\\{\frac {a}{\pm \infty }}&=0,&a&\in \mathbb {R} \\{\frac {\pm \infty }{a}}&=\pm \infty ,&a&\in (0,+\infty )\\{\frac {\pm \infty }{a}}&=\mp \infty ,&a&\in (-\infty ,0)\end{aligned}}}$$

Для возведения в степень см. Возведение в степень § Пределы степеней . Здесь означает и , а означает и .${\displaystyle a+\infty }$${\displaystyle a+(+\infty )}$${\displaystyle a-(-\infty )}$${\displaystyle a-\infty }$${\displaystyle a-(+\infty )}$${\displaystyle a+(-\infty )}$

Выражения , и (называемые неопределенными формами ) обычно остаются неопределенными . Эти правила смоделированы на основе законов для бесконечных пределов . Однако в контексте теории вероятностей или меры часто определяется как 0. ^[4]${\displaystyle \infty -\infty }$${\displaystyle 0\times (\pm \infty )}$${\displaystyle \pm \infty /\pm \infty }$${\displaystyle 0\times \pm \infty }$

При работе как с положительными, так и с отрицательными расширенными действительными числами выражение обычно остается неопределенным, поскольку, хотя верно, что для каждой действительной ненулевой последовательности , которая сходится к 0, обратная последовательность в конечном итоге содержится в каждой окрестности , неверно , что сама последовательность должна сходиться либо к , либо Другими словами, если непрерывная функция достигает нуля при определенном значении , то не обязательно, что стремится либо к , либо в пределе, когда стремится к . Это имеет место для пределов функции тождества, когда стремится к 0, и (для последней функции ни , ни не является пределом , даже если рассматриваются только положительные значения ).${\displaystyle 1/0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle 1/f}$${\displaystyle \{\infty ,-\infty \}}$${\displaystyle 1/f}$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle \infty .}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0},}$${\displaystyle 1/f}$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f(x)=x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)=x^{2}\sin \left(1/x\right)}$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle 1/f(x)}$${\displaystyle x}$

Однако в контекстах, где рассматриваются только неотрицательные значения, часто удобно определить . Например, при работе со степенными рядами радиус сходимости степенного ряда с коэффициентами часто определяется как обратная величина предела-супремума последовательности . Таким образом, если разрешить взять значение , то можно использовать эту формулу независимо от того, равен ли предел-супремум 0 или нет.${\displaystyle 1/0=+\infty }$ ${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle \left(|a_{n}|^{1/n}\right)}$${\displaystyle 1/0}$${\displaystyle +\infty }$

С арифметическими операциями, определенными выше, не является даже полугруппой , не говоря уже о группе , кольце или поле, как в случае . Однако у него есть несколько удобных свойств:${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

• ${\displaystyle a+(b+c)}$и либо равны, либо оба не определены.${\displaystyle (a+b)+c}$
• ${\displaystyle a+b}$и либо равны, либо оба не определены.${\displaystyle b+a}$
• ${\displaystyle a\cdot (b\cdot c)}$и либо равны, либо оба не определены.${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c}$
• ${\displaystyle a\cdot b}$и либо равны, либо оба не определены${\displaystyle b\cdot a}$
• ${\displaystyle a\cdot (b+c)}$и равны, если оба определены.${\displaystyle (a\cdot b)+(a\cdot c)}$
• Если и если оба и определены, то .${\displaystyle a\leq b}$${\displaystyle a+c}$${\displaystyle b+c}$${\displaystyle a+c\leq b+c}$
• Если и и если оба и определены, то .${\displaystyle a\leq b}$${\displaystyle c>0}$${\displaystyle a\cdot c}$${\displaystyle b\cdot c}$${\displaystyle a\cdot c\leq b\cdot c}$

В общем, все законы арифметики действительны до тех пор, пока определены все встречающиеся выражения.${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$

Несколько функций можно непрерывно расширить , взяв пределы. Например, можно определить экстремальные точки следующих функций как:${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$

${\displaystyle \exp(-\infty )=0}$,

${\displaystyle \ln(0)=-\infty }$,

${\displaystyle \tanh(\pm \infty )=\pm 1}$,

${\displaystyle \arctan(\pm \infty )=\pm {\frac {\pi }{2}}}$.

Некоторые сингулярности могут быть дополнительно удалены. Например, функция может быть непрерывно продолжена до (при некоторых определениях непрерывности), установив значение для , и 0 для и . С другой стороны, функция не может быть непрерывно продолжена, поскольку функция приближается при приближении к 0 снизу , и при приближении к 0 сверху, т. е. функция не сходится к тому же значению, что и ее независимая переменная, приближающаяся к тому же элементу области как со стороны положительного, так и отрицательного значения.${\displaystyle 1/x^{2}}$${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x=+\infty }$${\displaystyle x=-\infty }$${\displaystyle 1/x}$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle x}$${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle x}$

Похожая, но другая система вещественной прямой, проективно расширенная вещественная прямая , не различает и (т.е. бесконечность беззнаковая). ^[4] В результате функция может иметь предел на проективно расширенной вещественной прямой, в то время как в расширенной вещественной системе чисел предел имеет только абсолютное значение функции, например, в случае функции при . С другой стороны, на проективно расширенной вещественной прямой и соответствуют только пределу справа и одному слева соответственно, причем полный предел существует только тогда, когда они равны. Таким образом, функции и не могут быть сделаны непрерывными при на проективно расширенной вещественной прямой.${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle 1/x}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }{f(x)}}$${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{f(x)}}$${\displaystyle e^{x}}$${\displaystyle \arctan(x)}$${\displaystyle x=\infty }$

• Деление на ноль
• Расширенная комплексная плоскость
• Расширенные натуральные числа
• Неправильный интеграл
• Бесконечность
• Бревенчатое полукольцо
• Серия (математика)
• Проективно расширенная вещественная прямая
• Компьютерные представления расширенных действительных чисел, см. Арифметика с плавающей точкой § Бесконечности и IEEE с плавающей точкой

• Алипрантис, Хараламбос Д.; Беркиншоу, Оуэн (1998), Принципы реального анализа (3-е изд.), Сан-Диего, Калифорния: Academic Press, Inc., стр. 29, ISBN 0-12-050257-7, г-н  1669668
• Дэвид В. Кантрелл. «Аффинно расширенные действительные числа». MathWorld .