Модель аффинной структуры термина

Модель аффинной временной структуры — это финансовая модель , которая связывает цены облигаций с нулевым купоном (т. е. кривую дисконтирования) с моделью спотовой ставки . Она особенно полезна для вывода кривой доходности — процесса определения входных данных модели спотовой ставки из наблюдаемых данных рынка облигаций . Аффинный класс моделей временной структуры подразумевает удобную форму, в которой логарифмические цены облигаций являются линейными функциями спотовой ставки [1] (и потенциально дополнительных переменных состояния).

Фон

Начнем со стохастической модели краткосрочных ставок с динамикой: г ( т ) {\displaystyle r(t)}

г г ( т ) = μ ( т , г ( т ) ) г т + σ ( т , г ( т ) ) г Вт ( т ) {\displaystyle dr(t)=\mu (t,r(t))\,dt+\sigma (t,r(t))\,dW(t)}

и безрисковая облигация с нулевым купоном, погашаемая в момент времени с ценой в момент времени . Цена облигации с нулевым купоном определяется по формуле: где , причем является сроком погашения облигации. Ожидание берется относительно меры вероятности, нейтральной по отношению к риску . Если цена облигации имеет вид: Т {\displaystyle Т} П ( т , Т ) {\displaystyle P(t,T)} т {\displaystyle т} П ( т , Т ) = Э В { эксп ⁡ [ − ∫ т Т г ( т ′ ) г т ′ ] } {\displaystyle P(t,T)=\mathbb {E} ^{\mathbb {Q} }\left\{\exp \left[-\int _{t}^{T}r(t')dt'\right]\right\}} Т = т + τ {\displaystyle T=t+\tau } τ {\displaystyle \тау} В {\displaystyle \mathbb {Q} }

П ( т , Т ) = е А ( т , Т ) − г Б ( т , Т ) {\displaystyle P(t,T)=e^{A(t,T)-rB(t,T)}}

где и являются детерминированными функциями, то говорят, что модель краткосрочной ставки имеет аффинную временную структуру . Доходность облигации со сроком погашения , обозначенная как , определяется по формуле: А {\displaystyle А} Б {\displaystyle Б} τ {\displaystyle \тау} у ( т , τ ) {\displaystyle y(t,\tau )} у ( т , τ ) = − 1 τ бревно ⁡ П ( т , τ ) {\displaystyle y(t,\tau )=-{1 \over {\tau }}\log P(t,\tau )}

Формула Фейнмана-Каца

На данный момент мы еще не выяснили, как явно вычислить цену облигации; однако определение цены облигации подразумевает связь с формулой Фейнмана-Каца , которая предполагает, что цена облигации может быть явно смоделирована с помощью частного дифференциального уравнения . Предположение, что цена облигации является функцией скрытых факторов, приводит к PDE: где — ковариационная матрица скрытых факторов, где скрытые факторы управляются стохастическим дифференциальным уравнением Ито в нейтральной по отношению к риску мере: Предположим, что решение для цены облигации имеет вид: Производные цены облигации по сроку погашения и каждому скрытому фактору равны: С этими производными PDE можно свести к серии обыкновенных дифференциальных уравнений: Для вычисления решения в замкнутой форме требуются дополнительные спецификации. х ∈ Р н {\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}} − ∂ П ∂ τ + ∑ я = 1 н μ я ∂ П ∂ х я + 1 2 ∑ я , дж = 1 н Ω я дж ∂ 2 П ∂ х я ∂ х дж − г П = 0 , П ( 0 , х ) = 1 {\displaystyle -{\partial P \over {\partial \tau }}+\sum _{i=1}^{n}\mu _{i}{\partial P \over {\partial x_{i}}}+{1 \over {2}}\sum _{i,j=1}^{n}\Omega _{ij}{\partial ^{2}P \over {\partial x_{i}\partial x_{j}}}-rP=0,\quad P(0,x)=1} Ω {\displaystyle \Омега} г х = μ В г т + Σ г Вт В , Ω = Σ Σ Т {\displaystyle dx=\mu ^{\mathbb {Q} }dt+\Sigma dW^{\mathbb {Q} },\quad \Omega =\Sigma \Sigma ^{T}} П ( τ , х ) = эксп ⁡ [ А ( τ ) + х Т Б ( τ ) ] , А ( 0 ) = Б я ( 0 ) = 0 {\displaystyle P(\tau ,x)=\exp \left[A(\tau )+x^{T}B(\tau )\right],\quad A(0)=B_{i}(0)=0} ∂ П ∂ τ = [ А ′ ( τ ) + х Т Б ′ ( τ ) ] П ∂ П ∂ х я = Б я ( τ ) П ∂ 2 П ∂ х я ∂ х дж = Б я ( τ ) Б дж ( τ ) П {\displaystyle {\begin{aligned}{\partial P \over {\partial \tau }}&=\left[A'(\tau )+x^{T}B'(\tau )\right]P\\{\partial P \over {\partial x_{i}}}&=B_{i}(\tau )P\\{\partial ^{2}P \over {\partial x_{i}\partial x_{j}}}&=B_{i}(\tau )B_{j}(\tau )P\\\end{aligned}}} − [ А ′ ( τ ) + х Т Б ′ ( τ ) ] + ∑ я = 1 н μ я Б я ( τ ) + 1 2 ∑ я , дж = 1 н Ω я дж Б я ( τ ) Б дж ( τ ) − г = 0 , А ( 0 ) = Б я ( 0 ) = 0 {\displaystyle -\left[A'(\tau )+x^{T}B'(\tau )\right]+\sum _{i=1}^{n}\mu _{i}B_{i}(\tau )+{1 \over {2}}\sum _{i,j=1}^{n}\Omega _{ij}B_{i}(\tau )B_{j}(\tau )-r=0,\quad A(0)=B_{i}(0)=0}

Существование

Используя формулу Ито, мы можем определить ограничения на и , которые приведут к аффинной структуре срока. Предполагая, что облигация имеет аффинную структуру срока и удовлетворяет уравнению структуры срока, мы получаем: μ {\displaystyle \мю} σ {\displaystyle \сигма} П {\displaystyle P}

А т ( т , Т ) − ( 1 + Б т ( т , Т ) ) г − μ ( т , г ) Б ( т , Т ) + 1 2 σ 2 ( т , г ) Б 2 ( т , Т ) = 0 {\displaystyle A_{t}(t,T)-(1+B_{t}(t,T))r-\mu (t,r)B(t,T)+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}(t,r)B^{2}(t,T)=0}

Граничное значение

П ( Т , Т ) = 1 {\displaystyle P(T,T)=1}

подразумевает

А ( Т , Т ) = 0 Б ( Т , Т ) = 0 {\displaystyle {\begin{align}A(T,T)&=0\\B(T,T)&=0\end{align}}}

Далее предположим, что и являются аффинными по : μ {\displaystyle \мю} σ 2 {\displaystyle \сигма ^{2}} г {\displaystyle r}

μ ( т , г ) = α ( т ) г + β ( т ) σ ( т , г ) = γ ( т ) г + δ ( т ) {\displaystyle {\begin{align}\mu (t,r)&=\alpha (t)r+\beta (t)\\\sigma (t,r)&={\sqrt {\gamma (t)r+\delta (t)}}\end{align}}}

Тогда дифференциальное уравнение принимает вид

А т ( т , Т ) − β ( т ) Б ( т , Т ) + 1 2 δ ( т ) Б 2 ( т , Т ) − [ 1 + Б т ( т , Т ) + α ( т ) Б ( т , Т ) − 1 2 γ ( т ) Б 2 ( т , Т ) ] г = 0 {\displaystyle A_{t}(t,T)-\beta (t)B(t,T)+{\frac {1}{2}}\delta (t)B^{2}(t,T)-\left[1+B_{t}(t,T)+\alpha (t)B(t,T)-{\frac {1}{2}}\gamma (t)B^{2}(t,T)\right]r=0}

Поскольку эта формула должна выполняться для всех , , , коэффициент при должен быть равен нулю. г {\displaystyle r} т {\displaystyle т} Т {\displaystyle Т} г {\displaystyle r}

1 + Б т ( т , Т ) + α ( т ) Б ( т , Т ) − 1 2 γ ( т ) Б 2 ( т , Т ) = 0 {\displaystyle 1+B_{t}(t,T)+\альфа (t)B(t,T)-{\frac {1}{2}}\гамма (t)B^{2}(t,T)=0}

Тогда другой член также должен исчезнуть.

А т ( т , Т ) − β ( т ) Б ( т , Т ) + 1 2 δ ( т ) Б 2 ( т , Т ) = 0 {\displaystyle A_{t}(t,T)-\beta (t)B(t,T)+{\frac {1}{2}}\delta (t)B^{2}(t,T)=0}

Тогда, предполагая, что и являются аффинными по , модель имеет аффинную структуру членов, где и удовлетворяют системе уравнений: μ {\displaystyle \мю} σ 2 {\displaystyle \сигма ^{2}} г {\displaystyle r} А {\displaystyle А} Б {\displaystyle Б}

1 + Б т ( т , Т ) + α ( т ) Б ( т , Т ) − 1 2 γ ( т ) Б 2 ( т , Т ) = 0 Б ( Т , Т ) = 0 А т ( т , Т ) − β ( т ) Б ( т , Т ) + 1 2 δ ( т ) Б 2 ( т , Т ) = 0 А ( Т , Т ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}1+B_{t}(t,T)+\alpha (t)B(t,T)-{\frac {1}{2}}\gamma (t)B^{2}(t,T)&=0\\B(T,T)&=0\\A_{t}(t,T)-\beta (t)B(t,T)+{\frac {1}{2}}\delta (t)B^{2}(t,T)&=0\\A(T,T)&=0\end{aligned}}}

Модели с ATS

Васичек

Модель Васичека имеет аффинную структуру термина, где d r = ( b − a r ) d t + σ d W {\displaystyle dr=(b-ar)\,dt+\sigma \,dW}

p ( t , T ) = e A ( t , T ) − B ( t , T ) r ( t ) B ( t , T ) = 1 a ( 1 − e − a ( T − t ) ) A ( t , T ) = ( B ( t , T ) − T + t ) ( a b − 1 2 σ 2 ) a 2 − σ 2 B 2 ( t , T ) 4 a {\displaystyle {\begin{aligned}p(t,T)&=e^{A(t,T)-B(t,T)r(t)}\\B(t,T)&={\frac {1}{a}}\left(1-e^{-a(T-t)}\right)\\A(t,T)&={\frac {(B(t,T)-T+t)(ab-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2})}{a^{2}}}-{\frac {\sigma ^{2}B^{2}(t,T)}{4a}}\end{aligned}}}

Безарбитражный Нельсон-Сигель

Один из подходов к моделированию аффинной терминологической структуры заключается в том, чтобы обеспечить безарбитражное условие для предлагаемой модели. В серии статей [2] [3] [4] была разработана предлагаемая модель динамической кривой доходности с использованием безарбитражной версии известной модели Нельсона-Зигеля [5] , которую авторы называют AFNS. Для вывода модели AFNS авторы делают несколько предположений:

  1. Существует три скрытых фактора, соответствующих уровню , наклону и кривизне кривой доходности .
  2. Скрытые факторы развиваются в соответствии с многомерными процессами Орнштейна-Уленбека . Конкретные спецификации различаются в зависимости от используемой меры:
    1. d x = K P ( θ − x ) d t + Σ d W P {\displaystyle dx=K^{\mathbb {P} }(\theta -x)dt+\Sigma dW^{\mathbb {P} }} (Реальные измерения ) P {\displaystyle \mathbb {P} }
    2. d x = − K Q x d t + Σ d W Q {\displaystyle dx=-K^{\mathbb {Q} }xdt+\Sigma dW^{\mathbb {Q} }} (Мера, нейтральная к риску ) Q {\displaystyle \mathbb {Q} }
  3. Матрица волатильности диагональна Σ {\displaystyle \Sigma }
  4. Краткосрочная ставка является функцией уровня и наклона ( ) r = x 1 + x 2 {\displaystyle r=x_{1}+x_{2}}

Из предполагаемой модели цены облигации с нулевым купоном: Доходность при погашении определяется как: И на основе перечисленных предположений набор ОДУ, которые должны быть решены для решения в замкнутой форме, определяется как: где и представляет собой диагональную матрицу с элементами . Сопоставляя коэффициенты, мы имеем набор уравнений: Чтобы найти поддающееся обработке решение, авторы предлагают принять вид: Решая набор связанных ОДУ для вектора , и допуская , мы находим, что: Затем воспроизводит стандартную модель кривой доходности Нельсона-Зигеля. Решение для фактора корректировки доходности более сложное, оно находится в Приложении B статьи 2007 года, но оно необходимо для обеспечения условия отсутствия арбитража. P ( τ , x ) = exp ⁡ [ A ( τ ) + x T B ( τ ) ] {\displaystyle P(\tau ,x)=\exp \left[A(\tau )+x^{T}B(\tau )\right]} τ {\displaystyle \tau } y ( τ ) = − A ( τ ) τ − x T B ( τ ) τ {\displaystyle y(\tau )=-{A(\tau ) \over {\tau }}-{x^{T}B(\tau ) \over {\tau }}} − [ A ′ ( τ ) + B ′ ( τ ) T x ] − B ( τ ) T K Q x + 1 2 B ( τ ) T Ω B ( τ ) − ρ T x = 0 , A ( 0 ) = B i ( 0 ) = 0 {\displaystyle -\left[A'(\tau )+B'(\tau )^{T}x\right]-B(\tau )^{T}K^{\mathbb {Q} }x+{1 \over {2}}B(\tau )^{T}\Omega B(\tau )-\rho ^{T}x=0,\quad A(0)=B_{i}(0)=0} ρ = ( 1 1 0 ) T {\displaystyle \rho ={\begin{pmatrix}1&1&0\end{pmatrix}}^{T}} Ω {\displaystyle \Omega } Ω i i = σ i 2 {\displaystyle \Omega _{ii}=\sigma _{i}^{2}} − B ′ ( τ ) = ( K Q ) T B ( τ ) + ρ , B i ( 0 ) = 0 A ′ ( τ ) = 1 2 B ( τ ) T Ω B ( τ ) , A ( 0 ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}-B'(\tau )&=\left(K^{\mathbb {Q} }\right)^{T}B(\tau )+\rho ,\quad B_{i}(0)=0\\A'(\tau )&={1 \over {2}}B(\tau )^{T}\Omega B(\tau ),\quad A(0)=0\end{aligned}}} K Q {\displaystyle K^{\mathbb {Q} }} K Q = ( 0 0 0 0 λ − λ 0 0 λ ) {\displaystyle K^{\mathbb {Q} }={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&\lambda &-\lambda \\0&0&\lambda \end{pmatrix}}} B ( τ ) {\displaystyle B(\tau )} B ( τ ) = − 1 τ B ( τ ) {\displaystyle {\mathcal {B}}(\tau )=-{1 \over {\tau }}B(\tau )} B ( τ ) = ( 1 1 − e − λ τ λ τ 1 − e − λ τ λ τ − e − λ τ ) T {\displaystyle {\mathcal {B}}(\tau )={\begin{pmatrix}1&{1-e^{-\lambda \tau } \over {\lambda \tau }}&{1-e^{-\lambda \tau } \over {\lambda \tau }}-e^{-\lambda \tau }\end{pmatrix}}^{T}} x T B ( τ ) {\displaystyle x^{T}{\mathcal {B}}(\tau )} A ( τ ) = − 1 τ A ( τ ) {\displaystyle {\mathcal {A}}(\tau )=-{1 \over {\tau }}A(\tau )}

Средняя ожидаемая краткосрочная ставка

Одной из интересующих величин, которая может быть получена из модели AFNS, является средняя ожидаемая краткосрочная ставка (AESR), которая определяется как: где — условное ожидание краткосрочной ставки, а — премия за срок, связанная с облигацией со сроком погашения . Чтобы найти AESR, напомним, что динамика скрытых факторов при реальном измерении такова: Общее решение многомерного процесса Орнштейна-Уленбека: Обратите внимание, что — экспоненциальная матрица . Из этого решения можно явно вычислить условное ожидание факторов в момент времени как: Отмечая, что , общее решение для AESR может быть найдено аналитически: AESR ≡ 1 τ ∫ t t + τ E t ( r s ) d s = y ( τ ) − TP ( τ ) {\displaystyle {\text{AESR}}\equiv {1 \over {\tau }}\int _{t}^{t+\tau }\mathbb {E} _{t}(r_{s})ds=y(\tau )-{\text{TP}}(\tau )} E t ( r s ) {\displaystyle \mathbb {E} _{t}(r_{s})} TP ( τ ) {\displaystyle {\text{TP}}(\tau )} τ {\displaystyle \tau } P {\displaystyle \mathbb {P} } d x = K P ( θ − x ) d t + Σ d W P {\displaystyle dx=K^{\mathbb {P} }(\theta -x)dt+\Sigma dW^{\mathbb {P} }} x t = θ + e − K P t ( x 0 − θ ) + ∫ 0 t e − K P ( t − t ′ ) Σ d W P {\displaystyle x_{t}=\theta +e^{-K^{\mathbb {P} }t}(x_{0}-\theta )+\int _{0}^{t}e^{-K^{\mathbb {P} }(t-t')}\Sigma dW^{\mathbb {P} }} e − K P t {\displaystyle e^{-K^{\mathbb {P} }t}} t + τ {\displaystyle t+\tau } E t ( x t + τ ) = θ + e − K P τ ( x t − θ ) {\displaystyle \mathbb {E} _{t}(x_{t+\tau })=\theta +e^{-K^{\mathbb {P} }\tau }(x_{t}-\theta )} r t = ρ T x t {\displaystyle r_{t}=\rho ^{T}x_{t}} 1 τ ∫ t t + τ E t ( r s ) d s = ρ T [ θ + 1 τ ( K P ) − 1 ( I − e − K P τ ) ( x t − θ ) ] {\displaystyle {1 \over {\tau }}\int _{t}^{t+\tau }\mathbb {E} _{t}(r_{s})ds=\rho ^{T}\left[\theta +{1 \over {\tau }}\left(K^{\mathbb {P} }\right)^{-1}\left(I-e^{-K^{\mathbb {P} }\tau }\right)(x_{t}-\theta )\right]}

Ссылки

  1. ^ Даффи, Даррелл; Кан, Руи (1996). «Модель процентных ставок с коэффициентом доходности». Математические финансы . 6 (4): 379–406. doi :10.1111/j.1467-9965.1996.tb00123.x. ISSN  1467-9965.
  2. ^ Кристенсен, Йенс Х. Э.; Диболд, Фрэнсис Х.; Рудебуш, Гленн Д. (01.09.2011). «Аффинный класс безарбитражных моделей временной структуры Нельсона–Зигеля». Журнал эконометрики . Выпуск Annals по прогнозированию. 164 (1): 4–20. doi :10.1016/j.jeconom.2011.02.011. ISSN  0304-4076.
  3. ^ Кристенсен, Йенс Х. Э.; Рудебуш, Гленн Д. (2012-11-01). «Реакция процентных ставок на количественное смягчение в США и Великобритании». The Economic Journal . 122 (564): F385–F414. doi :10.1111/j.1468-0297.2012.02554.x. ISSN  0013-0133. S2CID  153927550.
  4. ^ Кристенсен, Йенс Х. Э.; Крогструп, Сигне (01.01.2019). «Трансмиссия количественного смягчения: роль резервов центрального банка» (PDF) . The Economic Journal . 129 (617): 249–272. doi :10.1111/ecoj.12600. ISSN  0013-0133. S2CID  167553886.
  5. ^ Нельсон, Чарльз Р.; Сигел, Эндрю Ф. (1987). «Экономное моделирование кривых доходности». Журнал бизнеса . 60 (4): 473–489. doi :10.1086/296409. ISSN  0021-9398. JSTOR  2352957.

Дальнейшее чтение

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Affine_term_structure_model&oldid=1194778049"