Аффинно-правильный многоугольник

В геометрии аффинно -правильный многоугольник или аффинно правильный многоугольник — это многоугольник , который связан с правильным многоугольником аффинным преобразованием . Аффинные преобразования включают в себя переносы , равномерное и неравномерное масштабирование , отражения , вращения , сдвиги и другие подобия , а также некоторые, но не все линейные отображения .

Примеры

Все треугольники являются аффинно-правильными. Другими словами, все треугольники могут быть получены путем применения аффинных преобразований к равностороннему треугольнику . Четырехугольник является аффинно-правильным тогда и только тогда, когда он является параллелограммом , который включает прямоугольники и ромбы , а также квадраты . Фактически, аффинно-правильные многоугольники можно считать естественным обобщением параллелограммов. ^[1]

Характеристики

Многие свойства правильных многоугольников инвариантны относительно аффинных преобразований, и аффинно-правильные многоугольники обладают теми же свойствами. Например, аффинно-правильный четырехугольник может быть равнобедренным на равновеликие треугольники тогда и только тогда, когда является четным, по аффинной инвариантности равнобедренного сечения и теореме Монски о равнобедренном сечении квадратов. ^[2] В более общем случае -угольник с может быть равнобедренным на равновеликие треугольники тогда и только тогда, когда является кратным . ^[3] $м$ $м$ $n$ $n>4$ $м$ $м$ $n$

Ссылки

^ Коксетер, HSM (декабрь 1992 г.), «Аффинная регулярность», Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg , 62 (1): 249–253 , doi : 10.1007/BF02941630, S2CID 186234003. См. в частности стр. 249.
^ Монски, П. (1970), «О делении квадрата на треугольники», The American Mathematical Monthly , 77 (2): 161– 164, doi :10.2307/2317329, JSTOR 2317329, MR 0252233 .
^ Касиматис, Элейн А. (декабрь 1989 г.), «Разбиение правильных многоугольников на треугольники равной площади», Дискретная и вычислительная геометрия , 4 (1): 375–381 , doi : 10.1007/BF02187738 , Zbl 0675.52005.

[1] Коксетер, HSM (декабрь 1992 г.), «Аффинная регулярность», Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg , 62 (1): 249–253 , doi : 10.1007/BF02941630, S2CID 186234003. См. в частности стр. 249.

[2] Монски, П. (1970), «О делении квадрата на треугольники», The American Mathematical Monthly , 77 (2): 161– 164, doi :10.2307/2317329, JSTOR 2317329, MR 0252233 .

[3] Касиматис, Элейн А. (декабрь 1989 г.), «Разбиение правильных многоугольников на треугольники равной площади», Дискретная и вычислительная геометрия , 4 (1): 375–381 , doi : 10.1007/BF02187738 , Zbl 0675.52005.