Расширенное z-преобразование

В математике и обработке сигналов расширенное z-преобразование является расширением z-преобразования , чтобы включить идеальные задержки, которые не кратны времени выборки . Расширенное z-преобразование широко применяется, например, для точного моделирования задержек обработки в цифровом управлении . Оно также известно как модифицированное z-преобразование .

Он принимает форму

${\displaystyle F(z,m)=\sum _{k=0}^{\infty }f(kT+m)z^{-k}}$

где

• T — период выборки
• m («параметр задержки») — это часть периода выборки${\displaystyle [0,T].}$

Если параметр задержки m считается фиксированным, то все свойства z-преобразования сохраняются для расширенного z-преобразования.

${\displaystyle {\mathcal {Z}}\left\{\sum _{k=1}^{n}c_{k}f_{k}(t)\right\}=\sum _{k=1}^{n}c_{k}F_{k}(z,m).}$

${\displaystyle {\mathcal {Z}}\left\{u(t-nT)f(t-nT)\right\}=z^{-n}F(z,m).}$

${\displaystyle {\mathcal {Z}}\left\{f(t)e^{-a\,t}\right\}=e^{-a\,m}F(e^{a\,T}z,m).}$

${\displaystyle {\mathcal {Z}}\left\{t^{y}f(t)\right\}=\left(-Tz{\frac {d}{dz}}+m\right)^{y}F(z,m).}$

${\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty } f (kT + m) = \ lim _ {z \ to 1} (1-z ^ {- 1}) F (z, m).}$

Рассмотрим следующий пример, где :${\displaystyle f(t)=\cos(\omega t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F(z,m)&={\mathcal {Z}}\left\{\cos \left(\omega \left(kT+m\right)\right)\right\}\\&={\mathcal {Z}}\left\{\cos(\omega kT)\cos(\omega m)-\sin(\omega kT)\sin(\omega m)\right\}\\&=\cos(\omega m){\mathcal {Z}}\left\{\cos(\omega kT)\right\}-\sin(\omega m){\mathcal {Z}}\left\{\sin(\omega kT)\right\}\\&=\cos(\omega m){\frac {z\left(z-\cos(\omega T)\right)}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}}-\sin(\omega m){\frac {z\sin(\omega T)}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}}\\&={\frac {z^{2}\cos(\omega m)-z\cos(\omega (Tm))}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}}.\end{aligned}}}$

Если тогда сводится к преобразованию${\displaystyle м=0}$${\displaystyle F(z,m)}$

${\displaystyle F(z,0)={\frac {z^{2}-z\cos(\omega T)}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}},}$

что, очевидно, является просто z -преобразованием .${\displaystyle f(t)}$

• Жюри, Элиаху Ибрагим (1973). Теория и применение метода z-преобразования . Кригер. ISBN 0-88275-122-0. OCLC  836240.