Сопряженное уравнение — это линейное дифференциальное уравнение , обычно выведенное из его основного уравнения с помощью интегрирования по частям . Значения градиента относительно конкретной интересующей величины могут быть эффективно рассчитаны путем решения сопряженного уравнения. Методы, основанные на решении сопряженных уравнений, используются при оптимизации формы крыла , управлении потоком жидкости и количественной оценке неопределенности .
Пример: Адвекция-диффузия PDE Рассмотрим следующее линейное скалярное уравнение адвекции-диффузии для простого решения в области с граничными условиями Дирихле : ты ( х → ) {\displaystyle u({\vec {x}})} Ω {\displaystyle \Омега}
∇ ⋅ ( с → ты − μ ∇ ты ) = ф , х → ∈ Ω , ты = б , х → ∈ ∂ Ω . {\displaystyle {\begin{align}\nabla \cdot \left({\vec {c}}u-\mu \nabla u\right)&=f,\qquad {\vec {x}}\in \Omega,\\u&=b,\qquad {\vec {x}}\in \partial \Omega.\end{align}}} Пусть интересующий нас выход будет представлять собой следующий линейный функционал:
Дж. ( ты ) = ∫ Ω г ты г В . {\displaystyle J(u)=\int _ {\Omega }gu\ dV.} Выведите слабую форму , умножив простое уравнение на весовую функцию и выполнив интегрирование по частям: ж ( х → ) {\displaystyle w({\vec {x}})}
Б ( ты , ж ) = Л ( ж ) , {\displaystyle {\begin{align}B(u,w)&=L(w),\end{align}}} где,
Б ( ты , ж ) = ∫ Ω ж ∇ ⋅ ( с → ты − μ ∇ ты ) г В = ∫ ∂ Ω ж ( с → ты − μ ∇ ты ) ⋅ н → г А − ∫ Ω ∇ ж ⋅ ( с → ты − μ ∇ ты ) г В , (Интеграция по частям) Л ( ж ) = ∫ Ω ж ф г В . {\displaystyle {\begin{aligned}B(u,w)&=\int _{\Omega }w\nabla \cdot \left({\vec {c}}u-\mu \nabla u\right)dV\\&=\int _{\partial \Omega }w\left({\vec {c}}u-\mu \nabla u\right)\cdot {\vec {n}}dA-\int _{\Omega }\nabla w\cdot \left({\vec {c}}u-\mu \nabla u\right)dV,\qquad {\text{(Интеграл по частям)}}\\L(w)&=\int _{\Omega }wf\ dV.\end{aligned}}} Затем рассмотрим бесконечно малое возмущение , которое приводит к бесконечно малому изменению следующим образом: Л ( ж ) {\displaystyle L(ш)} ты {\displaystyle u}
Б ( ты + ты ′ , ж ) = Л ( ж ) + Л ′ ( ж ) Б ( ты ′ , ж ) = Л ′ ( ж ) . {\displaystyle {\begin{align}B(u+u',w)&=L(w)+L'(w)\\B(u',w)&=L'(w).\end{align}}} Обратите внимание, что возмущение решения должно исчезать на границе, поскольку граничное условие Дирихле не допускает вариаций на . ты ′ {\displaystyle u'} ∂ Ω {\displaystyle \partial \Омега}
Используя слабую форму выше и определение сопряженного оператора, данное ниже: ψ ( х → ) {\displaystyle \psi ({\vec {x}})}
Л ′ ( ψ ) = Дж. ( ты ′ ) Б ( ты ′ , ψ ) = Дж. ( ты ′ ) , {\displaystyle {\begin{aligned}L'(\psi )&=J(u')\\B(u',\psi )&=J(u'),\end{aligned}}} получаем:
∫ ∂ Ω ψ ( с → ты ′ − μ ∇ ты ′ ) ⋅ н → г А − ∫ Ω ∇ ψ ⋅ ( с → ты ′ − μ ∇ ты ′ ) г В = ∫ Ω г ты ′ г В . {\displaystyle {\begin{align}\int _{\partial \Omega }\psi \left({\vec {c}}u'-\mu \nabla u'\right)\cdot {\vec {n}}dA-\int _{\Omega }\nabla \psi \cdot \left({\vec {c}}u'-\mu \nabla u'\right)dV&=\int _{\Omega }gu'\ dV.\end{align}}} ты ′ {\displaystyle u'} ψ {\displaystyle \пси}
∫ ∂ Ω ψ ( с → ты ′ − μ ∇ ты ′ ) ⋅ н → г А − ∫ Ω ∇ ψ ⋅ ( с → ты ′ − μ ∇ ты ′ ) г В − ∫ Ω г ты ′ г В = 0 ∫ ∂ Ω ψ ( с → ты ′ − μ ∇ ты ′ ) ⋅ н → г А + ∫ Ω ты ′ ( − с → ⋅ ∇ ψ ) г В + ∫ Ω ∇ ты ′ ⋅ ( μ ∇ ψ ) г В − ∫ Ω г ты ′ г В = 0 ∫ ∂ Ω ψ ( с → ты ′ − μ ∇ ты ′ ) ⋅ н → г А + ∫ Ω ты ′ ( − с → ⋅ ∇ ψ ) г В + ∫ ∂ Ω ты ′ ( μ ∇ ψ ) ⋅ н → г А − ∫ Ω ты ′ ∇ ⋅ ( μ ∇ ψ ) г В − ∫ Ω г ты ′ г В = 0 (Повторяем интегрирование по частям по члену объема диффузии) ∫ Ω ты ′ [ − с → ⋅ ∇ ψ − ∇ ⋅ ( μ ∇ ψ ) − г ] г В + ∫ ∂ Ω ψ ( с → ты ′ − μ ∇ ты ′ ) ⋅ н → г А + ∫ ∂ Ω ты ′ ( μ ∇ ψ ) ⋅ н → г А = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\partial \Omega }\psi \left({\vec {c}}u'-\mu \nabla u'\right)\cdot {\vec {n}}dA-\int _{\Omega }\nabla \psi \cdot \left({\vec {c}}u'-\mu \nabla u'\right)dV-\int _{\Omega }gu'\ dV&=0\\\int _{\partial \Omega }\psi \left({\vec {c}}u'-\mu \nabla u'\right)\cdot {\vec {n}}dA+\int _{\Omega }u'\left(-{\vec {c}}\cdot \nabla \psi \right)dV+\int _{\Omega }\nabla u'\cdot \left(\mu \nabla \psi \right)dV-\int _{\Omega }gu'\ dV&=0\\\int _{\partial \Omega }\psi \left({\vec {c}}u'-\mu \nabla u'\right)\cdot {\vec {n}}dA+\int _{\Omega }u'\left(-{\vec {c}}\cdot \nabla \psi \right)dV+\int _{\partial \Omega }u'\left(\mu \nabla \psi \right)\cdot {\vec {n}}dA-\int _{\Omega }u'\nabla \cdot \left(\mu \nabla \psi \right)dV-\int _{\Omega }gu'\ dV&=0\qquad {\text{(Repeating integration by parts on diffusion volume term)}}\\\int _{\Omega }u'\left[-{\vec {c}}\cdot \nabla \psi -\nabla \cdot \left(\mu \nabla \psi \right)-g\right]dV+\int _{\partial \Omega }\psi \left({\vec {c}}u'-\mu \nabla u'\right)\cdot {\vec {n}}dA+\int _{\partial \Omega }u'\left(\mu \nabla \psi \right)\cdot {\vec {n}}dA&=0.\end{aligned}}} Сопряженное уравнение в частных производных и его граничные условия можно вывести из последнего уравнения выше. Поскольку в общем случае не равно нулю в области , требуется, чтобы было равно нулю в , чтобы объемный член обращался в нуль. Аналогично, поскольку первичный поток в общем случае не равен нулю на границе, мы требуем, чтобы было равно нулю там, чтобы первый граничный член обращался в нуль. Второй граничный член исчезает тривиально, поскольку первичное граничное условие требует на границе. u ′ {\displaystyle u'} Ω {\displaystyle \Omega } [ − c → ⋅ ∇ ψ − ∇ ⋅ ( μ ∇ ψ ) − g ] {\displaystyle \left[-{\vec {c}}\cdot \nabla \psi -\nabla \cdot \left(\mu \nabla \psi \right)-g\right]} Ω {\displaystyle \Omega } ( c → u ′ − μ ∇ u ′ ) ⋅ n → {\displaystyle \left({\vec {c}}u'-\mu \nabla u'\right)\cdot {\vec {n}}} ψ {\displaystyle \psi } u ′ = 0 {\displaystyle u'=0}
Следовательно, сопряженная задача имеет вид:
− c → ⋅ ∇ ψ − ∇ ⋅ ( μ ∇ ψ ) = g , x → ∈ Ω , ψ = 0 , x → ∈ ∂ Ω . {\displaystyle {\begin{aligned}-{\vec {c}}\cdot \nabla \psi -\nabla \cdot \left(\mu \nabla \psi \right)&=g,\qquad {\vec {x}}\in \Omega ,\\\psi &=0,\qquad {\vec {x}}\in \partial \Omega .\end{aligned}}} Обратите внимание, что член адвекции меняет знак конвективной скорости в сопряженном уравнении, тогда как член диффузии остается самосопряженным. c → {\displaystyle {\vec {c}}}
Смотрите также
Ссылки
Джеймсон, Энтони (1988). «Аэродинамическое проектирование с использованием теории управления». Журнал научных вычислений . 3 (3): 233–260. doi :10.1007/BF01061285. hdl : 2060/19890004037 . S2CID 7782485.
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\partial \Omega }\psi \left({\vec {c}}u'-\mu \nabla u'\right)\cdot {\vec {n}}dA-\int _{\Omega }\nabla \psi \cdot \left({\vec {c}}u'-\mu \nabla u'\right)dV-\int _{\Omega }gu'\ dV&=0\\\int _{\partial \Omega }\psi \left({\vec {c}}u'-\mu \nabla u'\right)\cdot {\vec {n}}dA+\int _{\Omega }u'\left(-{\vec {c}}\cdot \nabla \psi \right)dV+\int _{\Omega }\nabla u'\cdot \left(\mu \nabla \psi \right)dV-\int _{\Omega }gu'\ dV&=0\\\int _{\partial \Omega }\psi \left({\vec {c}}u'-\mu \nabla u'\right)\cdot {\vec {n}}dA+\int _{\Omega }u'\left(-{\vec {c}}\cdot \nabla \psi \right)dV+\int _{\partial \Omega }u'\left(\mu \nabla \psi \right)\cdot {\vec {n}}dA-\int _{\Omega }u'\nabla \cdot \left(\mu \nabla \psi \right)dV-\int _{\Omega }gu'\ dV&=0\qquad {\text{(Повторяем интегрирование по частям для члена диффузионного объема)}}\\\int _{\Omega }u'\left[-{\vec {c}}\cdot \nabla \psi -\nabla \cdot \left(\mu \nabla \psi \right)-g\right]dV+\int _{\partial \Omega }\psi \left({\vec {c}}u'-\mu \nabla u'\right)\cdot {\vec {n}}dA+\int _{\partial \Omega }u'\left(\mu \nabla \psi \right)\cdot {\vec {n}}dA&=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cce9f8d92055503b644a7e5c36fd3f492d330f8)
![{\displaystyle \left[-{\vec {c}}\cdot \nabla \psi -\nabla \cdot \left(\mu \nabla \psi \right)-g\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c140e9832bc6476c176b6ad2935af5b3255e144)
