Присоединенный пучок

В математике присоединенное расслоение ^[1] — это векторное расслоение , естественным образом связанное с любым главным расслоением . Волокна присоединенного расслоения несут структуру алгебры Ли, превращая присоединенное расслоение в (неассоциативное) алгебраическое расслоение . Присоединенные расслоения имеют важные приложения в теории связностей , а также в калибровочной теории .

Пусть G — группа Ли с алгеброй Ли , а P — главное G -расслоение над гладким многообразием M. Пусть${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \mathrm {Ad} :G\to \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})\subset \mathrm {GL} ({\mathfrak {g}})}$

быть (левым) присоединенным представлением G. Присоединенное расслоение P является ассоциированным расслоением

${\displaystyle \mathrm {ad} P=P\times _ {\mathrm {Ad} {\mathfrak {g}}}$

Присоединенное расслоение также обычно обозначается как . Явно, элементы присоединенного расслоения являются классами эквивалентности пар [ p , X ] для p ∈ P и X ∈ таких, что${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{P}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle [p\cdot g,X]=[p,\mathrm {Ad} _{g}(X)]}$

для всех g ∈ G. Поскольку структурная группа присоединенного расслоения состоит из автоморфизмов алгебр Ли , слои естественным образом несут структуру алгебры Ли, превращая присоединенное расслоение в расслоение алгебр Ли над M.

Пусть G — любая группа Ли с алгеброй Ли , и пусть H — замкнутая подгруппа G. С помощью (левого) присоединенного представления G на , G становится топологической группой преобразований . Ограничивая присоединенное представление G подгруппой H, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \mathrm {Ad\vert _{H}} :H\hookrightarrow G\to \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})}$

также H действует как топологическая группа преобразований на . Для каждого h из H является автоморфизмом алгебры Ли.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle Ad\vert _{H}(h):{\mathfrak {g}}\mapsto {\mathfrak {g}}}$

Так как H является замкнутой подгруппой группы Ли G, однородное пространство M=G/H является базовым пространством главного расслоения с тотальным пространством G и структурной группой H. Таким образом, существование H-значных функций перехода гарантировано, где является открытым покрытием для M, а функции перехода образуют коцикл функции перехода на M. Соответствующее расслоение является расслоением алгебр Ли с типичным слоем , а непрерывное отображение индуцирует на каждом слое скобку Ли. ^[2]${\displaystyle G\to M}$${\displaystyle g_{ij}:U_{i}\cap U_{j}\rightarrow H}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle g_{ij}}$${\displaystyle \xi =(E,p,M,{\mathfrak {g}})=G[({\mathfrak {g}},\mathrm {Ad\vert _{H}})]}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \Theta :\xi \oplus \xi \rightarrow \xi }$

Дифференциальные формы на M со значениями в находятся во взаимно однозначном соответствии с горизонтальными, G -эквивариантными формами со значениями в алгебре Ли на P. Ярким примером является кривизна любой связности на P , которую можно рассматривать как 2-форму на M со значениями в .${\displaystyle \mathrm {объявление} P}$ ${\displaystyle \mathrm {объявление} P}$

Пространство сечений присоединенного расслоения является естественной (бесконечномерной) алгеброй Ли. Его можно рассматривать как алгебру Ли бесконечномерной группы Ли калибровочных преобразований P , которые можно рассматривать как сечения расслоения , где conj — действие G на себя посредством (левого) сопряжения .${\displaystyle P\times _{\mathrm {c} onj}G}$

Если — расслоение фрейма векторного расслоения , то имеет слой — общую линейную группу (действительную или комплексную, в зависимости от ), где . Эта структурная группа имеет алгебру Ли, состоящую из всех матриц , и их можно рассматривать как эндоморфизмы векторного расслоения . Действительно, существует естественный изоморфизм .${\displaystyle P={\mathcal {F}}(E)}$ ${\displaystyle E\to M}$${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (r)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \operatorname {ранг} (E)=r}$${\displaystyle r\times r}$${\displaystyle \operatorname {Мат} (r)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \operatorname {ad} {\mathcal {F}}(E)=\operatorname {End} (E)}$

• Кобаяши, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1996), Основы дифференциальной геометрии , том. 1, Wiley Interscience , ISBN 0-471-15733-3
• Коларж, Иван; Михор, Питер; Словак, Ян (1993), Естественные операторы в дифференциальной геометрии, Springer, стр. 161, 400, ISBN 978-3-662-02950-3. В формате PDF