Аддитивное разложение состояния

Аддитивная декомпозиция состояния происходит, когда система разлагается на две или более подсистем с той же размерностью , что и у исходной системы. ^[1]^[2] Обычно используемая декомпозиция в области управления — это разложение системы на две или более подсистем низшего порядка, называемое здесь декомпозицией подсистем низшего порядка. Напротив, аддитивная декомпозиция состояния — это разложение системы на две или более подсистем с той же размерностью, что и у исходной системы. ^[3]

Взяв, к примеру, систему $P$ , мы разложим ее на две подсистемы: $P p$ и $P s$ , где $dim(P p) = n p$ и $dim(P s) = n s$ , соответственно. Разложение подсистемы низшего порядка удовлетворяет

n=n_{p}+n_{s}{\text{ и }}P=P_{p}\oplus P_{s}

Напротив, аддитивное разложение состояния удовлетворяет

n=n_{p}=n_{s}{\text{ и }}P=P_{p}+P_{s}

О динамической системе управления

Рассмотрим «оригинальную» систему следующим образом:

{\dot {x}}=f(t,x,u),x(0)=x_{0}

1

где . $x\in \mathbb {R} ^{n}$

Сначала вводится «первичная» система, имеющая ту же размерность, что и исходная система:

{\dot {x}}_{p}=f_{p}(t,x_{p},u_{p}),

x_{p}(0)=x_{p,0}

2

где $x_{p}\in \mathbb {R} ^{n}.$

Из исходной системы и первичной системы получается следующая «вторичная» система:

{\dot {x}}-{\dot {x}}_{p}=f(t,x,u)-f_{p}(t,x_{p},u_{p}),x(0)=x_{0}

Новые переменные определяются следующим образом: $x_{s}\in \mathbb {R} ^{n}$

x_{s}=x-x_{p},

u_{s}=u-u_{p}.

3

Тогда вторичную систему можно записать следующим образом:

{\dot {x}}_{s}=f(t,x_{p}+x_{s},u_{p}+u_{s})

-f_{p}(t,x_{p},u_{p}),x_{s}(0)=x_{0}-x_{p,0},

4

Из определения ( 3 ) следует

x(t)=x_{p}(t)+x_{s}(t),

t\geq 0.

Процесс показан на этой картинке:

Примеры

Пример 1

Фактически, идея аддитивного разложения состояния неявно упоминается в существующей литературе. Существующим примером является проектирование контроллера слежения, которое часто требует опорной системы для получения динамики ошибок. Предполагается, что опорная система (первичная система) задана следующим образом:

{\dot {x}}_{r}=f(t,x_{r},u_{r}),

x_{r}(0)=x_{r,0}

На основе системы отсчета динамика ошибок (вторичной системы) выводится следующим образом:

{\dot {x}}_{e}=f(t,x_{e}+x_{r},u)-f(t,x_{r},u_{r}),

x_{e}(0)=x_{0}-x_{r,0}

где $x_{e}=x-x_{r}$

Это широко используемый шаг для преобразования задачи отслеживания в задачу стабилизации при использовании адаптивного управления.

Пример 2

Рассмотрим класс систем следующим образом:

{\dot {x}}(t)=\left(A+\Delta A(t)\right)x(t)+A_{d}x(tT)+Br(t)

$e(t)=-\left(C+\Delta C(t)\right)x(t)+r(t)$

x(\theta )=\phi (\theta ),\theta \in [-T,0]

5

Выберите ( 5 ) в качестве исходной системы и спроектируйте первичную систему следующим образом:

{\dot {x}}_{p}(t)=Ax_{p}(t)+A_{d}x_{p}(tT)+Br(t)

$e_{p}(t)=-Cx_{p}(t)+r(t)$

x_{p}(\theta )=\phi (\theta ),\theta \in [-T,0]

6

Тогда вторичная система определяется по правилу ( 4 ):

{\dot {x}}_{s}(t)=\left(A+\Delta A(t)\right)x_{s}(t)+A_{d}x_{s}(tT)+\Delta A(t)x_{p}(t)

$e_{s}(t)=-\left(C+\Delta C(t)\right)x_{s}(t)-\Delta C(t)x_{p}(t)$

x_{s}(\theta )=0,\theta \in [-T,0]

7

Путем аддитивного разложения состояния

e(t)=e_{p}(t)+e_{s}(t)

С

\|e(t)\|\leq \|e_{p}(t)\|+\|e_{s}(t)\|

ошибка отслеживания $e (t)$ может быть проанализирована с помощью $e p (t)$ и $e s (t)$ по отдельности. Если $e p (t)$ и $e s (t)$ ограничены и малы, то и $e (t)$ тоже . К счастью, следует отметить, что ( 6 ) является линейной системой, не зависящей от времени, и не зависит от вторичной системы ( 7 ), для анализа которой доступно множество инструментов, таких как передаточная функция. Напротив, инструмент передаточной функции не может быть напрямую применен к исходной системе ( 5 ), поскольку она изменяется во времени.

Пример 3

Рассмотрим класс нелинейных систем следующим образом:

{\dot {x}}=Ax+bu+\phi (y)+d,x(0)=x_{0}

y=c^{T}x

8

где $x, y, u$ представляют состояние, выход и вход соответственно; функция $φ (•)$ нелинейна. Цель состоит в том, чтобы спроектировать $u$ таким образом, чтобы $y - r \to 0$ при $t \to \infty$ . Выберем ( 8 ) в качестве исходной системы и спроектируем первичную систему следующим образом:

{\dot {x}}_{p}=Ax_{p}+bu_{p}+\phi (r)+d,x_{p}(0)=x_{0}

y_{p}=c^{T}x_{p}

9

Тогда вторичная система определяется по правилу ( 4 ):

{\dot {x}}_{s}=Ax_{s}+bu_{s}+\phi \left(c^{T}x_{p}+c^{T}x_{s}\right)-\phi (r),x_{s}(0)=0

y_{s}=c^{T}x_{s}

10

где $u s = u p$ . Тогда $x = x p + x s$ и $y = y p + y s$ . Здесь задача $y p \to 0$ назначается линейной стационарной системе ( 9 ) (линейная стационарная система проще нелинейной). С другой стороны, задача $x s \to 0$ назначается нелинейной системе ( 10 ) (задача стабилизирующего управления проще задачи отслеживания). Если обе задачи выполнены, то $y = y p + y s \to 0$ . Основная идея состоит в том, чтобы разложить исходную систему на две подсистемы, отвечающие за более простые подзадачи. Затем проектируются контроллеры для двух подзадач и, наконец, объединяются для достижения исходной задачи управления. Процесс показан на этой картинке:

Сравнение с принципом суперпозиции

Известным примером неявного использования аддитивного разложения состояния является принцип суперпозиции, широко используемый в физике и технике.
Принцип суперпозиции гласит: для всех линейных систем чистый ответ в данном месте и времени, вызванный двумя или более стимулами, является суммой ответов, которые были бы вызваны каждым стимулом по отдельности. Для простой линейной системы:

{\dot {x}}=Ax+B(u_{1}+u_{2})

,

x(0)=0

утверждение принципа суперпозиции означает $x = x p + x s$ , где

{\dot {x}}_{p}=Ax_{p}+Bu_{1},x_{p}(0)=0

{\dot {x}}_{s}=Ax_{s}+Bu_{2},x_{s}(0)=0

Очевидно, этот результат может быть получен также из аддитивной декомпозиции состояния. Более того, принцип суперпозиции и аддитивная декомпозиция состояния имеют следующую связь. Из Таблицы 1 аддитивная декомпозиция состояния может быть применена не только к линейным системам, но и к нелинейным системам.

	Подходящие системы	Акцент
Принцип суперпозиции	Линейный	Суперпозиция
Аддитивное разложение состояния	Линейный/нелинейный	Разложение

Приложения

Аддитивное разложение состояния используется при стабилизирующем управлении ^{[4] и может быть расширено до аддитивного разложения выхода}^[5] .

Ссылки

^ Олоф Стаффанс (24 февраля 2005 г.). Well-Posed Linear Systems . Cambridge University Press. стр. 13–. ISBN 978-0-521-82584-9.
^ Обеспечение качества обслуживания в гетерогенных средах. Elsevier. стр. 626–. ISBN 978-0-444-51455-4.
↑ Дэвид Эйзенбуд (1 июля 1999 г.). Коммутативная алгебра, алгебраическая геометрия и вычислительные методы. Springer Singapore. стр. 67–. ISBN 978-981-4021-50-0.
^ Куан Куан, Гуансюнь Ду, Кай-Юань Кай. «Аддитивно-декомпозиционное динамическое инверсионное стабилизированное управление для класса неопределенных систем MIMO», https://arxiv.org/abs/1211.6821
^ Куан Куан, Кай-Юань Кай. «Динамическое управление отслеживанием инверсии на основе аддитивной декомпозиции выходных данных для класса неопределенных линейных систем, инвариантных по времени», 51-я конференция IEEE по принятию решений и управлению, 2012, Мауи, Гавайи, США, 2866–2871.

Дальнейшее чтение

Quan, Quan и Kai-Yuan Cai (2009). «Аддитивная декомпозиция и ее применение к отслеживанию на основе внутренних моделей». Совместная 48-я конференция IEEE по принятию решений и управлению и 28-я Китайская конференция по управлению , Шанхай, Китай. 817–822.
Куан Куан, Хай Линь, Кай-Юань Кай (2014). «Управление отслеживанием обратной связи на выходе с помощью аддитивной декомпозиции состояний для класса неопределенных систем», Международный журнал системной науки 45 (9): 1799–1813.
Куан Куан, Кай-Юань Кай, Хай Линь (2015). «Структура управления отслеживанием на основе аддитивного разложения состояний для класса систем с неминимальной фазой с измеримыми нелинейностями и неизвестными возмущениями», Международный журнал надежного и нелинейного управления 25 (2):163–178
Куан Куан, Лу Цзян, Кай-Юань Кай. «Надежное повторяющееся управление с дискретным временем и обратной связью по выходу для класса нелинейных систем с помощью аддитивной декомпозиции состояний»

[Staffans2005-1] Олоф Стаффанс (24 февраля 2005 г.). Well-Posed Linear Systems . Cambridge University Press. стр. 13–. ISBN 978-0-521-82584-9.

[2] Обеспечение качества обслуживания в гетерогенных средах. Elsevier. стр. 626–. ISBN 978-0-444-51455-4.

[Eisenbud1999-3] Дэвид Эйзенбуд (1 июля 1999 г.). Коммутативная алгебра, алгебраическая геометрия и вычислительные методы. Springer Singapore. стр. 67–. ISBN 978-981-4021-50-0.

[4] Куан Куан, Гуансюнь Ду, Кай-Юань Кай. «Аддитивно-декомпозиционное динамическое инверсионное стабилизированное управление для класса неопределенных систем MIMO», https://arxiv.org/abs/1211.6821

[5] Куан Куан, Кай-Юань Кай. «Динамическое управление отслеживанием инверсии на основе аддитивной декомпозиции выходных данных для класса неопределенных линейных систем, инвариантных по времени», 51-я конференция IEEE по принятию решений и управлению, 2012, Мауи, Гавайи, США, 2866–2871.