Абсолютно и полностью монотонные функции и последовательности

В математике понятия абсолютно монотонной функции и полностью монотонной функции являются двумя очень тесно связанными понятиями. Оба подразумевают очень сильные свойства монотонности. Оба типа функций имеют производные всех порядков. В случае абсолютно монотонной функции функция, а также ее производные всех порядков должны быть неотрицательными в своей области определения, что означало бы, что функция, а также ее производные всех порядков являются монотонно возрастающими функциями в своей области определения. В случае полностью монотонной функции функция и ее производные должны быть попеременно неотрицательными и неположительными в своей области определения, что означало бы, что функция и ее производные являются попеременно монотонно возрастающими и монотонно убывающими функциями.

Такие функции впервые были изучены С. Бернштейном в 1914 году, и терминология также принадлежит ему. [1] [2] [3] Существует несколько других связанных понятий, таких как понятия почти полностью монотонной функции, логарифмически полностью монотонной функции, сильно логарифмически полностью монотонной функции, сильно полностью монотонной функции и почти сильно полностью монотонной функции. [4] [5] Другое связанное понятие — это понятие полностью/абсолютно монотонной последовательности . Это понятие было введено Хаусдорфом в 1921 году.

Понятия полностью и абсолютно монотонной функции/последовательности играют важную роль в нескольких областях математики. Например, в классическом анализе они встречаются при доказательстве положительности интегралов, включающих функции Бесселя, или положительности средних Чезаро некоторых рядов Якоби. [6] Такие функции встречаются и в других областях математики, таких как теория вероятностей, численный анализ и эластичность. [7]

Определения

Функции

Действительная функция, определенная на интервале действительной прямой, называется абсолютно монотонной функцией, если она имеет производные всех порядков и для всех из . [1] Функция называется полностью монотонной функцией, если для всех из . [1] ф ( х ) {\displaystyle f(x)} я {\displaystyle Я} ф ( н ) ( х ) {\displaystyle f^{(n)}(x)} н = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle n=0,1,2,\ldots} ф ( н ) ( х ) ≥ 0 {\displaystyle f^{(n)}(x)\geq 0} х {\displaystyle x} я {\displaystyle Я} ф ( х ) {\displaystyle f(x)} ( − 1 ) н ф ( н ) ( х ) ≥ 0 {\displaystyle (-1)^{n}f^{(n)}(x)\geq 0} х {\displaystyle x} я {\displaystyle Я}

Эти два понятия взаимосвязаны. Функция полностью монотонна тогда и только тогда, когда она абсолютно монотонна на , где интервал, полученный путем отражения относительно начала координат. (Таким образом, если есть интервал , то есть интервал .) ф ( х ) {\displaystyle f(x)} ф ( − х ) {\displaystyle f(-x)} − я {\displaystyle -I} − я {\displaystyle -I} я {\displaystyle Я} я {\displaystyle Я} ( а , б ) {\displaystyle (а,б)} − я {\displaystyle -I} ( − б , − а ) {\displaystyle (-b,-a)}

В приложениях интервал на действительной прямой, который обычно рассматривается, представляет собой замкнуто-открытую правую половину действительной прямой, то есть интервал . [ 0 , ∞ ) {\displaystyle [0,\infty )}

Примеры

Следующие функции абсолютно монотонны в указанных областях. [8] : 142–143 

  1. ф ( х ) = с {\displaystyle f(x)=c} , где неотрицательная константа, в области с {\displaystyle с} − ∞ < х < ∞ {\displaystyle -\infty <x<\infty }
  2. ф ( х ) = ∑ к = 0 ∞ а к х к {\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}} , где для всех , в регионе а к ≥ 0 {\displaystyle a_{k}\geq 0} к {\displaystyle к} 0 ≤ х < ∞ {\displaystyle 0\leq x<\infty }
  3. ф ( х ) = − бревно ⁡ ( − х ) {\displaystyle f(x)=-\log(-x)} в регионе − 1 ≤ х < 0 {\displaystyle -1\leqx<0}
  4. ф ( х ) = грех − 1 ⁡ х {\displaystyle f(x)=\sin ^{-1}x} в регионе 0 ≤ х ≤ 1 {\displaystyle 0\leq x\leq 1}

Последовательности

Последовательность называется абсолютно монотонной, если ее элементы неотрицательны и все ее последовательные разности неотрицательны, то есть если { μ н } н = 0 ∞ {\displaystyle \{\mu _{n}\}_{n=0}^{\infty }}

Δ к μ н ≥ 0 , н , к = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle \Delta ^{k}\mu _{n}\geq 0,\quad n,k=0,1,2,\ldots }

где . Δ к μ н = ∑ м = 0 к ( − 1 ) м ( к м ) μ н + к − м {\displaystyle \Delta ^{k}\mu _{n}=\sum _{m=0}^{k}(-1)^{m}{k \choose m}\mu _{n+km}}

Последовательность называется полностью монотонной, если ее элементы неотрицательны, а ее последовательные разности попеременно неположительны и неотрицательны, [8] : 101  то есть, если { μ н } н = 0 ∞ {\displaystyle \{\mu _{n}\}_{n=0}^{\infty }}

( − 1 ) к Δ к μ н ≥ 0 , н , к = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle (-1)^{k}\Delta ^{k}\mu _{n}\geq 0,\quad n,k=0,1,2,\ldots }

Примеры

Последовательности и для являются полностью монотонными последовательностями. { 1 н + 1 } 0 ∞ {\displaystyle \left\{{\frac {1}{n+1}}\right\}_{0}^{\infty }} { с н } 0 ∞ {\displaystyle \{c^{n}\}_{0}^{\infty }} 0 ≤ с ≤ 1 {\displaystyle 0\leq c\leq 1}

Некоторые важные свойства

Как расширения, так и приложения теории абсолютно монотонных функций вытекают из теорем.

  • Малая теорема Бернштейна: Функция, абсолютно монотонная на замкнутом интервале, может быть расширена до аналитической функции на интервале, определяемом соотношением . [ а , б ] {\displaystyle [а,б]} | х − а | < б − а {\displaystyle |xa|<ba}
  • Функцию, которая абсолютно монотонна на , можно расширить до функции, которая не только аналитична на действительной прямой, но и является ограничением целой функции на действительную прямую. [ 0 , ∞ ) {\displaystyle [0,\infty )}
  • Большая теорема Бернштейна : Функция , которая абсолютно монотонна на , может быть представлена ​​там в виде интеграла Лапласа в виде ф ( х ) {\displaystyle f(x)} ( − ∞ , 0 ] {\displaystyle (-\infty ,0]}
ф ( х ) = ∫ 0 ∞ е х т г μ ( т ) {\displaystyle f(x)=\int _{0}^{\infty }e^{xt}\,d\mu (t)}
где не убывает и ограничена на . μ ( т ) {\displaystyle \мю (т)} [ 0 , ∞ ) {\displaystyle [0,\infty )}
  • Последовательность является полностью монотонной тогда и только тогда, когда существует возрастающая функция на такая, что { μ н } 0 ∞ {\displaystyle \{\mu _{n}\}_{0}^{\infty }} α ( т ) {\displaystyle \альфа (т)} [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]}
μ н = ∫ 0 1 т н г α ( т ) , н = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle \mu _{n}=\int _{0}^{1}t^{n}\,d\альфа (t),\quad n=0,1,2,\ldots }
Определение этой функции из последовательности называется проблемой моментов Хаусдорфа .

Дальнейшее чтение

Ниже приведена выборка из большого объема литературы по абсолютно/полностью монотонным функциям/последовательностям.

  • Рене Л. Шиллинг, Ренминг Сонг и Зоран Вондрачек (2010). Теория и приложения функций Бернштейна . Де Грютер. стр.  1–10 . ISBN 978-3-11-021530-4.(Глава 1. Преобразования Лапласа и полностью монотонные функции)
  • DV Widder (1946). Преобразование Лапласа . Princeton University Press.См. главу III Проблема моментов (стр. 100 - 143) и главу IV Абсолютно и вполне монотонные функции (стр. 144 - 179).
  • Милан Меркле (2014). Аналитическая теория чисел, теория приближений и специальные функции . Springer. С.  347–364 . arXiv : 1211.0900 .(Глава: «Полностью монотонные функции: дайджест»)
  • Арвинд Махаджан и Дитер К Росс (1982). «Заметка о полностью и абсолютно монотонных функциях» (PDF) . Канадский математический вестник . 25 (2): 143– 148. doi :10.4153/CMB-1982-020-x . Получено 28 декабря 2023 г. .
  • Сенлин Го, Хари М. Шривастава и Недждет Батир (2013). «Определенный класс полностью монотонных последовательностей» (PDF) . Достижения в области разностных уравнений . 294 : 1– 9. doi : 10.1186/1687-1847-2013-294 . Получено 29 декабря 2023 г. .
  • Яджима, С.; Ибараки, Т. (март 1968 г.). «Теория полностью монотонных функций и ее применение к пороговой логике». Труды IEEE по компьютерам . C-17 (3): 214– 229. doi :10.1109/tc.1968.229094.

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ abc "Абсолютно монотонная функция". encyclopediaofmath.org . Энциклопедия математики . Получено 28 декабря 2023 г. .
  2. ^ С. Бернштейн (1914). «Определение и свойства аналитических функций переменной величины». Математические Аннален . 75 (4): 449–468 . doi : 10.1007/BF01563654.
  3. ^ С. Бернштейн (1928). «Sur les fonctions absolument monotones». Акта Математика . 52 : 1–66 . doi : 10.1007/BF02592679 .
  4. ^ Го, Сенлинь (2017). «Некоторые свойства функций, связанные с полностью монотонными функциями» (PDF) . Filomat . 31 (2): 247– 254. doi :10.2298/FIL1702247G . Получено 29 декабря 2023 г. .
  5. ^ Го, Сенлин; Лафорджиа, Андреа; Батир, Недждет; Ло, Цю-Мин (2014). «Полностью монотонные и связанные с ними функции: их приложения» (PDF) . Журнал прикладной математики . 2014 : 1– 3. doi : 10.1155/2014/768516 . Получено 28 декабря 2023 г. .
  6. ^ Р. Эски (1973). «Суммируемость рядов Якоби». Труды Американского математического общества . 179 : 71– 84. doi :10.1090/S0002-9947-1973-0315351-7.
  7. ^ Уильям Феллер (1971). Введение в теорию вероятностей и ее приложения, т. 2 (3-е изд.). Нью-Йорк: Wiley. ISBN 9780471257097. OCLC  279852.
  8. ^ ab Widder, David Vernon (1946). Преобразование Лапласа . Princeton University Press. ISBN 9780486477558. OCLC  630478002.
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Абсолютно_и_совершенно_монотонные_функции_и_последовательности&oldid=1242645727"