Карта Абеля–Якоби

В математике отображение Абеля–Якоби — это конструкция алгебраической геометрии , которая связывает алгебраическую кривую с ее якобиевым многообразием . В римановой геометрии это более общая конструкция, отображающая многообразие в его тор Якоби. Название происходит от теоремы Абеля и Якоби о том, что два эффективных дивизора линейно эквивалентны тогда и только тогда, когда они неразличимы относительно отображения Абеля–Якоби.

В комплексной алгебраической геометрии якобиан кривой C строится с помощью интегрирования по траектории. А именно, предположим, что C имеет род g , что топологически означает, что

${\displaystyle H_{1}(C,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} ^{2g}.}$

Геометрически эта группа гомологии состоит из (классов гомологии) циклов в C , или, другими словами, замкнутых петель. Поэтому мы можем выбрать 2 g петель, порождающих ее. С другой стороны, другой более алгебро-геометрический способ сказать, что род C равен g, заключается в том, что${\displaystyle \гамма _{1},\ldots,\гамма _{2g}}$

${\displaystyle H^{0}(C,K)\cong \mathbb {C} ^{g},}$

где K — каноническое расслоение на C.

По определению, это пространство глобально определенных голоморфных дифференциальных форм на C , поэтому мы можем выбрать g линейно независимых форм . Заданные формы и замкнутые контуры мы можем интегрировать, и мы определяем 2 g векторов${\displaystyle \omega _{1},\ldots ,\omega _{g}}$

${\displaystyle \Omega _{j}=\left(\int _{\gamma _{j}}\omega _{1},\ldots ,\int _{\gamma _{j}}\omega _{g}\right)\in \mathbb {C} ^{g}.}$

Из билинейных соотношений Римана следует , что порождают невырожденную решетку (то есть являются действительным базисом для ), а якобиан определяется как${\displaystyle \Омега _{j}}$ ${\displaystyle \Лямбда}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{g}\cong \mathbb {R} ^{2g}}$

${\displaystyle J(C)=\mathbb {C} ^{g}/\Лямбда .}$

Карта Абеля–Якоби определяется следующим образом. Мы выбираем некоторую базовую точку и, почти копируя определение, определяем карту${\displaystyle p_{0}\in C}$${\displaystyle \Лямбда,}$

${\displaystyle {\begin{cases}u:C\to J(C)\\u(p)=\left(\int _{p_{0}}^{p}\omega _{1},\dots ,\int _{p_{0}}^{p}\omega _{g}\right){\bmod {\Lambda }}\end{cases}}}$

Хотя это, по-видимому, зависит от пути от до любые два таких пути определяют замкнутый контур в и, следовательно, элемент так что интегрирование по нему дает элемент Таким образом, разница стирается при переходе к частному по . Изменение базовой точки действительно меняет карту, но только путем переноса тора.${\displaystyle p_{0}}$${\displaystyle p,}$${\displaystyle C}$${\displaystyle H_{1}(C,\mathbb {Z} ),}$${\displaystyle \Lambda .}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle p_{0}}$

Пусть будет гладким компактным многообразием . Пусть будет его фундаментальной группой. Пусть будет его отображением абелианизации . Пусть будет подгруппой кручения . Пусть будет фактором по кручению. Если — поверхность, то неканонически изоморфно , где — род; в более общем случае неканонически изоморфно , где — первое число Бетти . Пусть будет составным гомоморфизмом.${\displaystyle M}$${\displaystyle \pi =\pi _{1}(M)}$${\displaystyle f:\pi \to \pi ^{ab}}$${\displaystyle \operatorname {tor} =\operatorname {tor} (\pi ^{ab})}$${\displaystyle \pi ^{ab}}$${\displaystyle g:\pi ^{ab}\to \pi ^{ab}/\operatorname {tor} }$${\displaystyle M}$${\displaystyle \pi ^{ab}/\operatorname {tor} }$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2g}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \pi ^{ab}/\operatorname {tor} }$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{b}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \varphi =g\circ f:\pi \to \mathbb {Z} ^{b}}$

Определение. Покрытие многообразия, соответствующее подгруппе, называется универсальным (или максимальным) свободным абелевым покрытием.${\displaystyle {\bar {M}}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \ker(\varphi )\subset \pi }$

Теперь предположим, что имеет риманову метрику . Пусть будет пространством гармонических 1-форм на , с дуальным канонически отождествленным с . Интегрируя интегральную гармоническую 1-форму по путям из базовой точки , мы получаем отображение на окружность .${\displaystyle M}$${\displaystyle E}$${\displaystyle M}$${\displaystyle E^{*}}$${\displaystyle H_{1}(M,\mathbb {R} )}$${\displaystyle x_{0}\in M}$${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} =S^{1}}$

Аналогично, чтобы определить отображение без выбора базиса для когомологий, мы рассуждаем следующим образом. Пусть будет точкой в ​​универсальном покрытии . Таким образом, представляется точкой из вместе с путем от до нее. Интегрируя по пути , мы получаем линейную форму на : ${\displaystyle M\to H_{1}(M,\mathbb {R} )/H_{1}(M,\mathbb {Z} )_{\mathbb {R} }}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\tilde {M}}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x}$${\displaystyle M}$${\displaystyle c}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle E}$

${\displaystyle h\to \int _{c}h.}$

Это дает начало карте

${\displaystyle {\tilde {M}}\to E^{*}=H_{1}(M,\mathbb {R} ),}$

которая, кроме того, сводится к карте

${\displaystyle {\begin{cases}{\overline {A}}_{M}:{\overline {M}}\to E^{*}\\c\mapsto \left(h\mapsto \int _{c}h\right)\end{cases}}}$

где — универсальное свободное абелево покрытие.${\displaystyle {\overline {M}}}$

Определение. Многообразие Якоби (тор Якоби) — это тор${\displaystyle M}$

${\displaystyle J_{1}(M)=H_{1}(M,\mathbb {R} )/H_{1}(M,\mathbb {Z} )_{\mathbb {R} }.}$

Определение. Карта Абеля–Якоби

${\displaystyle A_{M}:M\to J_{1}(M),}$

получается из карты выше путем перехода к частным.

Отображение Абеля–Якоби уникально с точностью до трансляций тора Якоби. Отображение имеет приложения в систолической геометрии . Отображение Абеля–Якоби риманова многообразия проявляется в большой временной асимптотике теплового ядра на периодическом многообразии (Kotani & Sunada (2000) и Sunada (2012)).

Во многом таким же образом можно определить теоретико-графовый аналог отображения Абеля–Якоби как кусочно-линейное отображение конечного графа в плоский тор (или граф Кэли, связанный с конечной абелевой группой), которое тесно связано с асимптотическим поведением случайных блужданий на кристаллических решетках и может быть использовано для проектирования кристаллических структур.

Мы предлагаем аналитическое построение отображения Абеля-Якоби на компактных римановых поверхностях.

Пусть обозначает компактную риманову поверхность рода . Пусть будет каноническим гомологическим базисом на , а двойственный базис для , который является размерным комплексным векторным пространством и состоит из голоморфных дифференциальных форм . Двойственный базис мы имеем в виду , для . Мы можем образовать симметричную матрицу, элементы которой равны , для . Пусть будет решеткой, порожденной -столбцами матрицы , элементы которой состоят из для , где . Мы называем якобианом многообразие , которое является компактной коммутативной -мерной комплексной группой Ли.${\displaystyle M}$${\displaystyle g>0}$${\displaystyle \{a_{1},...,a_{g},b_{1},...,b_{g}\}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \{\zeta _{1},...,\zeta _{g}\}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}^{1}(M)}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \int _{a_{k}}\zeta _{j}=\delta _{jk}}$${\displaystyle j,k=1,...,g}$${\displaystyle \int _{b_{k}}\zeta _{j}}$${\displaystyle j,k=1,...,g}$${\displaystyle L}$${\displaystyle 2g}$${\displaystyle g\times 2g}$${\displaystyle \int _{c_{k}}\zeta _{j}}$${\displaystyle j,k=1,...,g}$${\displaystyle c_{k}\in \{a_{k},b_{k}\}}$${\displaystyle J(M)={\mathbb {C}}^{g}/L(M)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle g}$

Мы можем определить отображение , выбрав точку и установив , что является хорошо определенным голоморфным отображением с рангом 1 (максимальный ранг). Затем мы можем естественным образом расширить это до отображения классов дивизоров;${\displaystyle \varphi :M\to J(M)}$${\displaystyle P_{0}\in M}$${\displaystyle \varphi (P)=\left(\int _{P_{0}}^{P}\zeta _{1},...,\int _{P_{0}}^{P}\zeta _{g}\right).}$

Если мы обозначим группу классов делителей , то определим отображение , установив${\displaystyle \mathrm {Div} (M)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \varphi :\mathrm {Div} (M)\to J(M)}$${\displaystyle \varphi (D)=\sum _{j=1}^{r}\varphi (P_{j})-\sum _{j=1}^{s}\varphi (Q_{j}),\quad D=P_{1}\cdots P_{r}/Q_{1}\cdots Q_{s}.}$

Обратите внимание, что если то это отображение не зависит от выбора базовой точки, поэтому мы можем определить независимую от базовой точки карту , где обозначает делители нулевой степени числа .${\displaystyle r=s}$${\displaystyle \varphi _{0}:\mathrm {Div} ^{(0)}(M)\to J(M)}$${\displaystyle \mathrm {Div} ^{(0)}(M)}$${\displaystyle M}$

Приведенная ниже теорема Абеля показывает, что ядро ​​отображения — это в точности подгруппа главных делителей. Вместе с проблемой обращения Якоби мы можем сказать, что изоморфна как группа группе делителей степени ноль по модулю ее подгруппы главных делителей.${\displaystyle \varphi _{0}}$${\displaystyle J(M)}$

Следующая теорема была доказана Абелем (известна как теорема Абеля): Предположим, что

${\displaystyle D=\sum \nolimits _{i}n_{i}p_{i}}$

является делителем (имеется в виду формальная целочисленно-линейная комбинация точек C ). Мы можем определить

${\displaystyle u(D)=\sum \nolimits _{i}n_{i}u(p_{i})}$

и поэтому говорят о значении отображения Абеля–Якоби на делителях. Теорема тогда заключается в том, что если D и E — два эффективных делителя, то есть все они — положительные целые числа, то${\displaystyle n_{i}}$

${\displaystyle u(D)=u(E)}$тогда и только тогда, когда линейно эквивалентно Это означает , что отображение Абеля-Якоби индуцирует инъективное отображение (абелевых групп) из пространства классов дивизоров нулевой степени в якобиан.${\displaystyle D}$${\displaystyle E.}$

Якоби доказал, что это отображение также является сюръективным (это известно как проблема обращения Якоби), поэтому две группы естественным образом изоморфны.

Теорема Абеля–Якоби подразумевает, что многообразие Альбанезе компактной комплексной кривой (дуальное голоморфным 1-формам по модулю периодов) изоморфно ее многообразию Якоби (делителям степени 0 по модулю эквивалентности). Для компактных проективных многообразий большей размерности многообразие Альбанезе и многообразие Пикара являются дуальными, но не обязаны быть изоморфными.

• Э. Арбарелло; М. Корнальба; П. Гриффитс; Дж. Харрис (1985). «1.3, Теорема Абеля ». Геометрия алгебраических кривых, Том. 1 . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Спрингер-Верлаг . ISBN 978-0-387-90997-4.
• Котани, Мотоко ; Сунада, Тошиказу (2000), «Отображения Альбанезе и недиагональная долговременная асимптотика для теплового ядра», Comm. Math. Phys. , 209 : 633– 670, Bibcode : 2000CMaPh.209..633K, doi : 10.1007/s002200050033
• Сунады, Тошикадзу (2012), «Лекция по топологической кристаллографии», Япония. J. Math. , 7 : 1– 39, doi :10.1007/s11537-012-1144-4
• Фаркас, Гершель М; Кра, Ирвин (23 декабря 1991 г.), Римановы поверхности , Нью-Йорк: Springer, ISBN 978-0387977034