Абстрактное m-пространство

В математике, в частности в теории порядка и функциональном анализе , абстрактное m -пространство или AM-пространство — это банахова решетка , норма которой удовлетворяет для всех x и y в положительном конусе X.${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$${\displaystyle \left\|\sup\{x,y\}\right\|=\sup \left\{\|x\|,\|y\|\right\}}$

Мы говорим, что AM-пространство X является AM-пространством с единицей , если, кроме того, существует некоторое u ≥ 0 в X, такое, что интервал [− u , u ] := { z ∈ X  : − u ≤ z и z ≤ u } равен единичному шару X ; такой элемент u является единственным и порядковой единицей X . [ ^1]

Сильно двойственным пространством AL-пространства является AM-пространство с единицей. ^[1]

Если X — архимедова упорядоченная векторная решетка , u — порядковая единица X , а p _u — функционал Минковского , то полное полунормированное пространство ( X , p _u ) является AM-пространством с единицей u . ^[1]${\displaystyle [u,-u]:=\{x\in X:-u\leq x{\text{ и }}x\leq x\},}$

Каждое AM-пространство изоморфно (как банахова решетка) некоторой замкнутой векторной подрешетке некоторого подходящего . ^[1] Сильное сопряженное пространство AM-пространства с единицей является AL-пространством . ^[1]${\displaystyle C_{\mathbb {R} }\left(X\right)}$

Если X ≠ { 0 } — AM-пространство с единицей, то множество K всех крайних точек положительной грани двойственного единичного шара является непустым и слабо компактным (т.е. -компактным) подмножеством и, кроме того, оценочное отображение, определяемое (где определяется как ), является изоморфизмом. ^[1]${\displaystyle \сигма \left(X^{\prime},X\right)}$${\displaystyle X^{\prime}}$${\displaystyle I:X\to C_{\mathbb {R} }\left(K\right)}$${\displaystyle I(x):=I_{x}}$${\displaystyle I_{x}:K\to \mathbb {R} }$${\displaystyle I_{x}(t)=\langle x,t\rangle }$

• Векторная решетка
• AL-пространство

• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.