2-значный морфизм

В математике 2-значный морфизм [ ^1] — это гомоморфизм , который переводит булеву алгебру B в двухэлементную булеву алгебру 2 = {0,1}. По сути, это то же самое, что и ультрафильтр на B , и, по-другому, то же самое, что и максимальный идеал B. 2-значные морфизмы также были предложены в качестве инструмента для унификации языка физики. [ ^2]

Предположим, что B — булева алгебра.

• Если s  : B → 2 является 2-значным морфизмом, то множество элементов B , которые отправляются в 1, является ультрафильтром на B , а множество элементов B , которые отправляются в 0, является максимальным идеалом B.
• Если U является ультрафильтром на B , то дополнение к U является максимальным идеалом B , и существует ровно один 2-значный морфизм s  : B → 2 , который переводит ультрафильтр в 1, а максимальный идеал в 0.
• Если M — максимальный идеал B , то дополнение к M является ультрафильтром на B , и существует ровно один 2-значный морфизм s  : B → 2 , который переводит ультрафильтр в 1, а максимальный идеал в 0.

Если элементы B рассматривать как «предложения о некотором объекте», то 2-значный морфизм на B можно интерпретировать как представление конкретного «состояния этого объекта», а именно того, где предложения B , отображаемые в 1, являются истинными, а предложения, отображаемые в 0, являются ложными. Поскольку морфизм сохраняет булевы операторы ( отрицание , конъюнкция и т. д.), множество истинных предложений не будет несогласованным, но будет соответствовать конкретной максимальной конъюнкции предложений, обозначающей (атомарное) состояние. (Истинные предложения образуют ультрафильтр, ложные предложения образуют максимальный идеал, как упоминалось выше.)

Переход между двумя состояниями s ₁ и s ₂ из B , представленный 2-значными морфизмами, может быть затем представлен автоморфизмом f из B в B , таким что s ₂ o f = s ₁ .

Возможные состояния различных объектов, определенные таким образом, можно рассматривать как представляющие потенциальные события. Набор событий затем можно структурировать таким же образом, как инвариантность каузальной структуры или локально-глобальные каузальные связи или даже формальные свойства глобальных каузальных связей.

Морфизмы между (нетривиальными) объектами можно рассматривать как представляющие причинные связи, ведущие от одного события к другому. Например, морфизм f выше ведет от события s ₁ к событию s ₂ . Последовательности или «пути» морфизмов, для которых нет обратного морфизма, можно тогда интерпретировать как определяющие хоризмотические или хронологические отношения предшествования. Эти отношения затем определяли бы временной порядок , топологию и, возможно, метрику .

Согласно ^[2] «Минимальная реализация такой реляционно определенной структуры пространства-времени может быть найдена». В этой модели, однако, нет явных различий. Это эквивалентно модели, где каждый объект характеризуется только одним различием: (наличие, отсутствие) или (существование, несуществование) события. Таким образом, «„стрелки“ или „структурный язык“ могут быть интерпретированы как морфизмы, которые сохраняют это уникальное различие». ^[2]

Однако если рассматривать более одного различия, модель становится гораздо более сложной, а интерпретация состояний различия как событий или морфизмов как процессов становится гораздо менее простой.

• «Репрезентация и изменение — метарепрезентативная структура для основ физической и когнитивной науки»