Ноль в степени ноль
Математическое выражение со спорным статусом

Ноль в степени нуля , обозначаемый как 0 0 , — это математическое выражение , которое может принимать различные значения в зависимости от контекста. В некоторых областях математики, таких как комбинаторика и алгебра , 0 0 традиционно определяется как 1, поскольку это назначение упрощает многие формулы и обеспечивает согласованность в операциях с экспонентами . Например, в комбинаторике определение 0 0 = 1 согласуется с интерпретацией выбора 0 элементов из множества и упрощает полиномиальные и биномиальные разложения .

Однако в других контекстах, особенно в математическом анализе , 0 0 часто считается неопределенной формой . Это связано с тем, что значение x y , когда и x, и y стремятся к нулю, может привести к разным результатам в зависимости от предельного процесса . Выражение возникает в предельных задачах и может приводить к диапазону значений или расходиться до бесконечности , что затрудняет назначение единого последовательного значения в этих случаях.

Обработка 0 0 также различается в разных языках программирования и программном обеспечении . В то время как многие следуют соглашению о назначении 0 0 = 1 по практическим соображениям, другие оставляют его неопределенным или возвращают ошибки в зависимости от контекста использования, отражая неоднозначность выражения в математическом анализе.

Дискретные показатели степеней

Многие широко используемые формулы, включающие натуральные показатели , требуют, чтобы 0 0 было определено как 1. Например, следующие три интерпретации b 0 имеют такой же смысл для b = 0, как и для положительных целых чисел b :

Все три из них специализируются на выдаче 0 0 = 1 .

Многочлены и степенные ряды

При оценке многочленов удобно определять 0 0 как 1 . (Действительный) многочлен — это выражение вида a 0 x 0 + ⋅⋅⋅ + a n x n , где x — неопределенность, а коэффициенты a i — действительные числа . Многочлены складываются почленно и умножаются с применением распределительного закона и обычных правил для экспонент. С помощью этих операций многочлены образуют кольцо R [ x ] . Мультипликативное тождество R [ x ] — это многочлен x 0 ; то есть x 0 умноженное на любой многочлен p ( x ) есть просто p ( x ) . [2] Кроме того, многочлены можно оценить, специализировав x на действительном числе. Точнее, для любого заданного действительного числа r существует единственный унитальный гомоморфизм R -алгебры ev r  : R [ x ] → R такой, что ev r ( x ) = r . Поскольку ev r унитальна, ev r ( x 0 ) = 1 . То есть, r 0 = 1 для каждого действительного числа r , включая 0. Тот же аргумент применим к R, замененному любым кольцом . [3]

Определение 0 0 = 1 необходимо для многих полиномиальных тождеств. Например, биномиальная теорема справедлива для x = 0 только если 0 0 = 1 . [4] ( 1 + х ) н = ∑ к = 0 н ( н к ) х к {\textstyle (1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}}

Аналогично, кольца степенных рядов требуют , чтобы x 0 был определен как 1 для всех специализаций x . Например, тождества типа и справедливы для x = 0 только если 0 0 = 1 . [5] 1 1 − x = ∑ n = 0 ∞ x n {\textstyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}} e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! {\textstyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}

Для того чтобы многочлен x 0 определял непрерывную функцию R → R , необходимо определить 0 0 = 1 .

В исчислении правило мощности справедливо для n = 1 при x = 0 только если 0 0 = 1 . d d x x n = n x n − 1 {\textstyle {\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}}

Непрерывные показатели степеней

График z = x y . Красные кривые (с постоянным z ) дают разные пределы по мере того, как ( x , y ) приближается к (0, 0) . Зеленые кривые (с конечным постоянным наклоном, y = ax ) все дают предел 1 .

Пределы, включающие алгебраические операции, часто можно вычислить, заменив подвыражения их пределами; если полученное выражение не определяет исходный предел, выражение известно как неопределенная форма . [6] Выражение 0 0 является неопределенной формой: заданы действительные функции f ( t ) и g ( t ), стремящиеся к 0 (по мере того как t приближается к действительному числу или ±∞ ) с f ( t ) > 0 , предел f ( t ) g ( t ) может быть любым неотрицательным действительным числом или +∞ , или он может расходиться в зависимости от f и g . Например, каждый предел ниже включает функцию f ( t ) g ( t ) с f ( t ), g ( t ) → 0 при t → 0 + ( односторонний предел ), но их значения различны: lim t → 0 + t t = 1 , {\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}{t}^{t}=1,} lim t → 0 + ( e − 1 / t 2 ) t = 0 , {\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}\left(e^{-1/t^{2}}\right)^{t}=0,} lim t → 0 + ( e − 1 / t 2 ) − t = + ∞ , {\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}\left(e^{-1/t^{2}}\right)^{-t}=+\infty ,} lim t → 0 + ( e − 1 / t ) a t = e − a . {\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}\left(e^{-1/t}\right)^{at}=e^{-a}.}

Таким образом, функция двух переменных x y , хотя и непрерывна на множестве {( x , y ) : x > 0} , не может быть расширена до непрерывной функции на {( x , y ) : x > 0} ∪ {(0, 0)} , независимо от того, как мы определяем 0 0 . [7]

С другой стороны, если f и g являются аналитическими функциями в открытой окрестности числа c , то f ( t ) g ( t ) → 1 при приближении t к c с любой стороны, с которой f положительно. [8] Этот и более общие результаты могут быть получены путем изучения предельного поведения функции . [9] [10] log ⁡ ( f ( t ) g ( t ) ) = g ( t ) log ⁡ f ( t ) {\textstyle \log(f(t)^{g(t)})=g(t)\log f(t)}

Комплексные показатели степеней

В комплексной области функция z w может быть определена для ненулевого z путем выбора ветви log z и определения z w как e w log z . Это не определяет 0 w , поскольку нет ветви log z , определенной при z = 0 , не говоря уже о окрестности 0 . [11] [12] [13]

История

Как ценность

В 1752 году Эйлер в Introductio in analysin infinitorum написал, что a 0 = 1 [14] и прямо упомянул, что 0 0 = 1 . [15] Аннотация, приписываемая [16] Маскерони в издании 1787 года книги Эйлера Institutiones calculi Differentialis [17], предлагала «обоснование»

0 0 = ( a − a ) n − n = ( a − a ) n ( a − a ) n = 1 {\displaystyle 0^{0}=(a-a)^{n-n}={\frac {(a-a)^{n}}{(a-a)^{n}}}=1}

а также другое более сложное обоснование. В 1830-х годах Либри [18] [16] опубликовал несколько дополнительных аргументов, пытающихся оправдать утверждение 0 0 = 1 , хотя они были далеки от убедительности, даже по стандартам строгости того времени. [19]

Как предельная форма

Эйлер, устанавливая 0 0 = 1 , отметил, что, следовательно, значения функции 0 x совершают «огромный скачок» от ∞ при x < 0 до 1 при x = 0 и до 0 при x > 0. [14] В 1814 году Пфафф использовал аргумент теоремы сжатия , чтобы доказать, что x x → 1 при x → 0 + . [8]

С другой стороны, в 1821 году Коши [20] объяснил, почему предел x y , когда положительные числа x и y стремятся к 0 , будучи ограничены некоторым фиксированным отношением, может быть сделан принимающим любое значение между 0 и ∞, выбрав отношение соответствующим образом. Он вывел, что предел полной двухпеременной функции x y без указанного ограничения является «неопределенным». С этим обоснованием он перечислил 0 0 вместе с выражениями типа ⁠0/0⁠ в таблице неопределенных форм .

По-видимому, не зная о работе Коши, Мёбиус [8] в 1834 году, основываясь на аргументе Пфаффа, неверно утверждал, что f ( x ) g ( x ) → 1 всякий раз, когда f ( x ), g ( x ) → 0 , когда x приближается к числу c (предположительно, f предполагается положительным вдали от c ). Мёбиус свел дело к случаю c = 0 , но затем допустил ошибку, предположив, что каждое из f и g может быть выражено в виде Px n для некоторой непрерывной функции P, не исчезающей в 0, и некоторого неотрицательного целого числа n , что верно для аналитических функций, но не в общем случае. Анонимный комментатор указал на неоправданный шаг; [21] Затем другой комментатор, подписавшийся просто как «S», привел явные контрпримеры ( e −1/ x ) x → e −1 и ( e −1/ x ) 2 x → e −2 при x → 0 + и выразил ситуацию, написав, что « 0 0 может иметь много разных значений». [21]

Текущая ситуация

  • Некоторые авторы определяют 0 0 как 1 , потому что это упрощает многие утверждения теорем. Согласно Бенсону (1999), «Выбор определения 0 0 основан на удобстве, а не на корректности. Если мы воздержимся от определения 0 0 , то некоторые утверждения станут излишне неуклюжими. ... Консенсус заключается в том, чтобы использовать определение 0 0 = 1 , хотя есть учебники, которые воздерживаются от определения 0 0 ». [22] Кнут (1992) более решительно утверждает, что 0 0 « должно быть 1 »; он проводит различие между значением 0 0 , которое должно быть равно 1 , и предельной формой 0 0 (сокращение для предела f ( t ) g ( t ), где f ( t ), g ( t ) → 0 ), которая является неопределенной формой: «И Коши, и Либри были правы, но Либри и его защитники не понимали, почему истина была на их стороне». [19]
  • Другие авторы оставляют 0 0 неопределенным, поскольку 0 0 является неопределенной формой: f ( t ), g ( t ) → 0 не подразумевает f ( t ) g ( t ) → 1 . [23] [24]

Кажется, нет ни одного автора, который бы приписывал 0 0 определенное значение, отличное от 1. [22]

Лечение на компьютерах

Стандарт IEEE с плавающей точкой

Стандарт IEEE 754-2008 с плавающей точкой используется при проектировании большинства библиотек с плавающей точкой. Он рекомендует ряд операций для вычисления степени: [25]

  • pown(показатель степени которого является целым числом) обрабатывает 0 0 как 1 ; см. § Дискретные показатели степени.
  • pow(чье намерение состоит в том, чтобы вернуть результат, отличный от NaN , когда показатель степени является целым числом, например pown) обрабатывает 0 0 как 1 .
  • powrобрабатывает 0 0 как NaN (не число) из-за неопределенной формы; см. § Непрерывные показатели.

Вариант powвдохновлен функцией powиз C99 , в основном для совместимости. [26] Он полезен в основном для языков с единственной функцией мощности. Варианты pownи powrбыли введены из-за противоречивого использования функций мощности и различных точек зрения (как указано выше). [27]

Языки программирования

Стандарты C и C++ не определяют результат 0 0 (может возникнуть ошибка домена). Но для C, начиная с C99 , если поддерживается нормативное приложение F, результат для вещественных типов с плавающей точкой должен быть 1, поскольку существуют важные приложения, для которых это значение более полезно, чем NaN [28] (например, с дискретными показателями); результат для сложных типов не указан, даже если поддерживается информативное приложение G. Стандарт Java , [29] метод .NET Framework , [30] Julia и Python [31] [32] также рассматривают 0 0 как 1. Некоторые языки документируют, что их операция возведения в степень соответствует функции из математической библиотеки C ; это касается оператора Lua [33] и оператора Perl [34] (где явно указано, что результат зависит от платформы). System.Math.Pow pow^**0**0

Математическое и научное программное обеспечение

R , [35] SageMath , [36] и PARI/GP [37] оценивают x 0 до 1 . Mathematica [38] упрощает x 0 до 1 , даже если на x не наложено никаких ограничений ; однако, если 0 0 вводится напрямую, это рассматривается как ошибка или неопределенность. Mathematica [38] и PARI/GP [37] [39] дополнительно различают целые и плавающие значения: если показатель степени равен нулю целочисленного типа, они возвращают 1 типа основания; возведение в степень с плавающей точкой, имеющей значение ноль, рассматривается как неопределенная, неопределенная или ошибочная.

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Бурбаки, Николя (2004). "III.§3.5". Элементы математики, теория множеств . Springer-Verlag .
  2. ^ Бурбаки, Николя (1970). «§III.2 № 9». Алгебра . Спрингер . Уникальный мононом степени 0 - это единый элемент A [( X i ) i ∈ I ] ; на l'identify souvent à l'élement unité 1 de A
  3. ^ Бурбаки, Николя (1970). «§IV.1 № 3». Алгебра . Спрингер .
  4. ^ Грэм, Рональд ; Кнут, Дональд ; Паташник, Орен (1989-01-05). "Биномиальные коэффициенты". Конкретная математика (1-е изд.). Addison-Wesley Longman Publishing Co., стр. 162. ISBN 0-201-14236-8. Некоторые учебники оставляют величину 0 0 неопределенной, потому что функции x 0 и 0 x имеют разные предельные значения, когда x уменьшается до 0. Но это ошибка. Мы должны определить x 0 = 1 для всех x , если теорема о биноме должна быть справедливой, когда x = 0 , y = 0 и/или x = − y . Теорема о биноме слишком важна, чтобы ее произвольно ограничивать! Напротив, функция 0 x совершенно не важна.
  5. ^ Вон, Герберт Э. (1970). «Выражение 0 0 ». Учитель математики . 63 : 111– 112.
  6. ^ Малик, SC; Арора, Савита (1992). Математический анализ . Нью-Йорк, США: Wiley. стр. 223. ISBN 978-81-224-0323-7. В общем случае предел φ ( x )/ ψ ( x ) при x = a в случае, если пределы обеих функций существуют, равен пределу числителя, делённому на знаменатель. Но что происходит, когда оба предела равны нулю? Деление ( 0/0 ) тогда становится бессмысленным. Такой случай известен как неопределённая форма. Другими такими формами являются ∞/∞ , 0 × ∞ , ∞ − ∞ , 0 0 , 1 ∞ и ∞ 0 .
  7. ↑ Paige, LJ (март 1954 г.). «Заметка о неопределенных формах». American Mathematical Monthly . 61 (3): 189– 190. doi :10.2307/2307224. JSTOR  2307224.
  8. ^ abc Мёбиус, AF (1834). «Beweis der Gleichung 00 = 1, nach JF Pfaff» [Доказательство уравнения 0 0 = 1 по Дж. Ф. Пфаффу]. Журнал für die reine und angewandte Mathematik (на немецком языке). 1834 (12): 134–136 . doi :10.1515/crll.1834.12.134. S2CID  199547186.
  9. ^ Baxley, John V.; Hayashi, Elmer K. (июнь 1978). «Неопределенные формы экспоненциального типа». The American Mathematical Monthly . 85 (6): 484– 486. doi :10.2307/2320074. JSTOR  2320074. Получено 23 ноября 2021 г.
  10. ^ Сяо, Цзиньсэнь; Хэ, Цзяньсюнь (декабрь 2017 г.). «О неопределенных формах экспоненциального типа». Mathematics Magazine . 90 (5): 371– 374. doi :10.4169/math.mag.90.5.371. JSTOR  10.4169/math.mag.90.5.371. S2CID  125602000. Получено 23.11.2021 .
  11. ^ Кэрриер, Джордж Ф.; Крук, Макс; Пирсон, Карл Э. (2005). Функции комплексной переменной: теория и техника . стр. 15. ISBN 0-89871-595-4. Поскольку log(0) не существует, 0 z не определено. Для Re( z ) > 0 мы определяем его произвольно как 0 .
  12. ^ Гонсалес, Марио (1991). Классический комплексный анализ . Chapman & Hall . стр. 56. ISBN 0-8247-8415-4. Для z = 0 , w ≠ 0 , мы определяем 0 w = 0 , в то время как 0 0 не определено.
  13. ^ Мейерсон, Марк Д. (июнь 1996 г.). "The x x Spindle". Mathematics Magazine . Vol. 69, no. 3. pp.  198–206 . doi :10.1080/0025570X.1996.11996428. ... Начнем с x = 0. Здесь x x не определено.
  14. ^ ab Euler, Leonhard (1988). "Глава 6, §97". Введение в анализ бесконечности, Книга 1. Перевод Blanton, JD Springer. стр. 75. ISBN 978-0-387-96824-7.
  15. ^ Эйлер, Леонард (1988). "Глава 6, §99". Введение в анализ бесконечности, Книга 1. Перевод Блэнтона, Дж. Д. Спрингера. стр. 76. ISBN 978-0-387-96824-7.
  16. ^ аб Либри, Гийом (1833). «Mémoire sur les fonctions прекращает свое существование». Journal für die reine und angewandte Mathematik (на французском языке). 1833 (10): 303–316 . doi : 10.1515/crll.1833.10.303. S2CID  121610886.
  17. ^ Эйлер, Леонард (1787). Institutiones Calculi Differentialis, Vol. 2. Тичини. ISBN 978-0-387-96824-7.
  18. ^ Либри, Гийом (1830). «Примечание к значениям функции 0 0 x ». Journal für die reine und angewandte Mathematik (на французском языке). 1830 (6): 67–72 . doi :10.1515/crll.1830.6.67. S2CID  121706970.
  19. ^ ab Knuth, Donald E. (1992). «Две заметки о нотации». The American Mathematical Monthly . 99 (5): 403– 422. arXiv : math/9205211 . Bibcode :1992math......5211K. doi :10.1080/00029890.1992.11995869.
  20. ^ Коши, Огюстен-Луи (1821), Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique , Oeuvres Complètes: 2 (на французском языке), том. 3, стр.  65–69 .
  21. ^ аб Аноним (1834). «Bemerkungen zu dem Aufsatze überschrieben «Beweis der Gleichung 00 = 1 , nach JF Pfaff» » [Замечания к сочинению «Доказательство уравнения 0 0 = 1 по Дж. Ф. Пфаффу»]. Журнал für die reine und angewandte Mathematik (на немецком языке). 1834 (12): 292–294 . doi : 10.1515/crll.1834.12.292.
  22. ^ ab Benson, Donald C. (1999). Написано в Нью-Йорке, США. Момент доказательства: математические прозрения . Оксфорд, Великобритания: Oxford University Press . стр. 29. ISBN 978-0-19-511721-9.
  23. ^ Эдвардс; Пенни (1994). Исчисление (4-е изд.). Prentice-Hall . стр. 466.
  24. ^ Киди; Биттингер; Смит (1982). Алгебра Два . Эддисон-Уэсли . стр. 32.
  25. ^ Мюллер, Жан-Мишель; Бризебар, Николя; де Динешен, Флоран; Жаннерод, Клод-Пьер; Лефевр, Винсент; Мелькионд, Гийом; Револь, Натали ; Стеле, Дэмиен; Торрес, Серж (2010). Справочник по арифметике с плавающей запятой (1-е изд.). Биркхойзер . п. 216. дои : 10.1007/978-0-8176-4705-6. ISBN 978-0-8176-4704-9. LCCN  2009939668. S2CID  5693480. ISBN  978-0-8176-4705-6 (онлайн), ISBN 0-8176-4704-X (печатная версия) 
  26. ^ "Больше трансцендентальных вопросов". IEEE . Архивировано из оригинала 2017-11-14 . Получено 2019-05-27 .(Примечание. Начало обсуждения степенных функций для пересмотра стандарта IEEE 754, май 2007 г.)
  27. ^ "Re: Неопределенная спецификация". IEEE . Архивировано из оригинала 2017-11-14 . Получено 2019-05-27 .(Примечание. Предложение вариантов в обсуждении степенных функций для пересмотра стандарта IEEE 754, май 2007 г.)
  28. ^ Обоснование международного стандарта — Языки программирования — C (PDF) (Отчет). Редакция 5.10. Апрель 2003 г. стр. 182.
  29. ^ "Математика (Java Platform SE 8) pow". Oracle.
  30. ^ «Метод Math.Pow библиотеки классов .NET Framework». Microsoft.
  31. ^ "Built-in Types — Python 3.8.1 documentation" . Получено 2020-01-25 . Python определяет pow(0, 0) и 0 ** 0 как 1 , как это принято в языках программирования.
  32. ^ "math — Mathematical functions — Python 3.8.1 documentation" . Получено 2020-01-25 . Исключительные случаи следуют приложению 'F' стандарта C99, насколько это возможно. В частности, pow(1.0, x) и pow(x, 0.0) всегда возвращают 1.0, даже если x равен нулю или NaN .
  33. ^ "Lua 5.3 Справочное руководство" . Получено 2019-05-27 .
  34. ^ "perlop – Возведение в степень" . Получено 2019-05-27 .
  35. ^ Основная команда R (2023-06-11). "R: Язык и среда для статистических вычислений – Справочный указатель" (PDF) . Версия 4.3.0. стр. 25. Получено 2019-11-22 . и всегда равны 1.1 ^ yy ^ 0
  36. ^ Команда разработчиков Sage (2020). "Справочное руководство по Sage 9.2: Стандартные коммутативные кольца. Элементы кольца Z целых чисел" . Получено 21.01.2021 . Для согласованности с Python и MPFR 0^0 в Sage определено как 1.
  37. ^ ab "pari.git / commitdiff – 10- x ^ t_FRAC: вернуть точный результат, если это возможно; например, 4^(1/2) теперь равно 2" . Получено 10.09.2018 .
  38. ^ ab "Wolfram Language & System Documentation: Power". Wolfram . Получено 2018-08-02 .
  39. ^ Группа PARI (2018). "Руководство пользователя PARI/GP (версия 2.11.0)" (PDF) . стр. 10, 122 . Получено 04.09.2018 . Существует также оператор возведения в степень ^, когда показатель степени имеет тип integer; в противном случае он рассматривается как трансцендентная функция. ... Если показатель степени n является целым числом, то точные операции выполняются с использованием методов бинарного (сдвиг влево) возведения в степень. ... Если показатель степени n не является целым числом, возведение в степень рассматривается как трансцендентная функция exp( n log x ) .
  • FAQ по sci.math: Что такое 00?
  • Чему равно 00 (ноль в нулевой степени)? на AskAMathematician.com
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Zero_to_the_power_of_zero&oldid=1264388017"